第三章数字滤波器的设计上ppt课件

1、对信号进行分析和处理时，常遇到有用信号被噪声污染的问题。因而，从信号中消除或减弱噪声，成为信号传输与处理中十分重要的问题。根据有用信号与噪声的不同特性，消除或减弱噪声，提取有用信号的过程称为滤波。实现滤波功能的系统或装置称滤波器。经典的滤波器是具有选颁特性的电路，当噪声与有用的信号具有不同的频带时，它们通过滤波器后，噪声将被衰减乃至消除，有用的信号得以保留。当噪声与有用信号的频带重叠时，上述滤波器(或称为经典滤波器)就无法实现既消除噪声，又保留信号的功能。信号在传输的过程中，由于传输系统的影响，总会产生某种程度的失真。信号的不失真传输，是指系统的零状态响应与激励的波形相比，只有幅度的大小和出现

2、的时刻有所不同，不存在形状上的变化。若系统的激励信号为x(t)，响应为y(t)，则不失真传输的含义用数学公式表示为式中，K为常数，t0为滞后时间上式表明，与激励信号x(t)相比，系统的响应信号y(t)的幅度变为原信号的K倍，在时间上延迟t0，波形的形状不变。 )()(0tKxtty关于信号通过线性系统不失真的条件，不加以证明地给出以下结论0)(|)(|tKjH|H(j)|H(j)| ()()x(t)x(t)y(t)y(t)t tt tt0 t0-t0-t0说明：信号不失真传输时要求系统的幅频特性|H(j)|为一常数，且相频特性()为过原点的直线(即具有线性相位特性)，如上图所示 。用于处理模拟

3、信号的滤波器称为模拟滤波器模拟滤波器分为低通滤波器、高通滤波器、带通滤波器、带阻滤波器和全通滤波器等类型，幅频特性曲线如下图所示。理想滤波器通带内的幅频特性均具有不失真传输的特性。这种特性实际上不可实现。实际滤波特性的通带与阻带之间没有明显的界限，而是逐渐过渡的。求H(j)的傅立叶逆变换，可得该滤波器的冲激响应为h(t) 。0)(| 0 1)(tjHcc)()(0ttSathcc可见， 冲激响应是一个延时t0的抽样函数Sac(t-t0) 。由于冲激响应在激励出现之前(t0)就已出现，因此该滤波器为非因果系统；在物理上不可实现。 ()()|H(j)|H(j)|-t0-t03.1.3 理想低通滤波

4、器的冲激响应常见一种理想低通滤波器具有矩形幅频特性和线性相位特性物理上可实现与不可实现系统的界定佩利-维纳准则。一个系统的|H(j)|如果满足 |H(j)|物理可实现的必要条件佩利-维纳准则。djH2| )(|djH21|)(|ln|对于物理可实现系统， 可以允许|H(j)|在某些不连续的频率点上为0，但不允许在一个有限频带范围内为0。理想滤波器是非因果系统，物理不可实现。但有一些线性时不变因果系统的幅频特性与理想滤波器的幅频特性相近似，而这样的系统又是物理上可实现的。这一条件限制了频率特性不能衰减过快。工程上使用的无源或有源滤波器都不是理想滤波器，而是按一定规则构成的实际滤波器。如巴特沃斯滤

5、波器、切比雪夫滤波器、椭圆滤波器等，其幅频特性与理想滤波器的幅频特性相似 。巴特沃斯滤波器切比雪夫滤波器椭圆滤波器频选滤波器的基本特征(功能、电路、方式、实现模型)根据滤波器幅频特性的通带与阻带的范围，可将其划分为低通、高通、带通、带阻和全通(主要用途是改变信号频谱的相位)等类型。根据构成滤波器元件的性质，可将其划分为无源与有源滤波器，前者仅由无源元件(不产生能量)组成，后者则含有源器件。|H(j)|H(j)|H(j)|H(j)|根据滤波器所处理的信号性质，可将其划分为模拟滤波器和数字滤波器，模拟滤波器用于处理模拟信号(连续时间信号)，数字滤波器用于处理离散时间信号 。根据滤波器实现的数学模型

6、划分，有巴特沃斯滤波器、切比雪夫滤波器、椭圆滤波器。1|H(j)|1|H(j)|1|H(j)|工程上使用的无源或有源滤波器都不是理想滤波器，而是按一定规则构成的实际滤波器。如巴特沃兹滤波器、切贝雪夫滤波器、椭圆滤波器等，其幅频特性与理想滤波器的幅频特性相似 。以低通滤波器为例：如果滤波器的频率特性满足某种要求，我们就认为它达到要求。1|H(j)|1|H(j)|1|H(j)|所需要探讨的是：如何提出要求？如何满足要求？3.2.2工程用滤波器的性能指标由于工程上使用的无源或有源滤波器都不是理想滤波器，而是按一定规则构成的实际滤波器。因而，为了满足一个工程滤波器设计的要求，往往给出一个逼近理想滤波器

7、的容限，只要满足这个容限即认为该滤波器设计满足要求。在通带内：在阻带内：ppjpeH 1)(1当ssjeH )(当|H(ej)|1+p1-p1sps通带通带过渡带过渡带阻带阻带c巴特沃斯滤波器是根据在通带幅频特性内具有最平坦特性而定义的滤波器对一个N阶滤波器来说，其平方幅频特性函数的前(2N-1)阶导数在=0处都为零。巴特沃斯低通滤波器的幅频特性为NcjH22)/(11)(式中，N为滤波器阶数；c为滤波器的截止频率。滤波器阶数N越高，幅频特性越接近理想低通滤波器。|H(j)|2/c10.501对于所有的N：对于所有的N：|H (j)|2是的单调下降函数|H (j)|2随着阶数 N的增大而更接近

8、理想低通滤波器令c=1得到其归一化的传递函数HN(j)。其频率响应为：1)(20jHdB0103.3)( lg20 707.0)( 2/1)(2cccjHjHjH)1 /(1)()( )(22NNNNjHjHjH其极点为：)/(1 /1)()(2 NNNjssHsH122)1()(1NNNjs由于模拟系统的传递函数与频率响应之间以s=j相联系，将=s / j代入归一化的传递函数表达式，有半功率点注意：注意：s s是一个复平面是一个复平面该系统应有该系统应有2N2N个极点且偶对称！个极点且偶对称！线性坐标分贝坐标其极点在S平面上的分布如图所示。12,2, 1 ,0 为N当 为N当 2/222/2

9、222Nkese seese s esNNkjkNkjkjNkjkNkjkjN极点偶数时极点奇数时Im(s)Re(s)起始极点起始极点位置不同；位置不同；极点间相极点间相差的角度差的角度都为都为/N/N。N为奇数为了保证滤波器系统为了保证滤波器系统HN(s)HN(s)稳定，要求它的所有极点均在稳定，要求它的所有极点均在S S平面平面的左半部分。构造系统的左半部分。构造系统HN(s)HN(s)具有左半平面极点；具有左半平面极点； HN(-s) HN(-s)具有具有右半平面极点。右半平面极点。模为1在复平面上是一个单位园；极点应在单位园上对称分布。Im(s)Re(s)N为偶数由于随着阶数的变化，各

10、极点值为已知，所以通过造表、查表，可以构成各阶归一化(c=1)的巴特沃斯滤波器的传递函数。巴特沃斯低通滤波器的设计方法设计步骤(1)根据实际参数确定模拟滤波器的阶数N。(2) 查表构造归一化的滤波器传递函数HN(s)。(3)根据变换关系给出的变换公式置换HN(s)中的变量s得到最终的滤波器传递函数。(4)用电子电路实现该传递函数。)(1)(1)(10sBsssHNNkkNsk在左半S平面中巴特沃斯多项式例例 设计一个低通巴特沃斯滤波器，以满足：设计一个低通巴特沃斯滤波器，以满足：通带截止频率：通带截止频率：1=20 rad/s1=20 rad/s，通带内衰减，通带内衰减k1 -2dBk1 -2

11、dB阻带截止频率：阻带截止频率：2 =30 rad/s2 =30 rad/s，阻带内衰减，阻带内衰减k2 -10dBk2 -10dB解：根据已知条件有解：根据已知条件有NcjH22)/(11)(110)/(110)/(211.0221.021kNckNc化简为两式相除消去c，得Hzff kkjHHzff kkjH77. 4230 2 32. 010 10dB)(lg2018. 3220 2 79. 010 2dB)(lg20022222010*221111202*11当当将两式带入得联立方程222121)/(1/1lg10)(lg20)/(1/1lg10)(lg20kjHkjHNcNc0k1=

12、-2k2=-101 c 2 1 c 2 dBdB10.790.324.77 Hz 3.18 Hz|H(j)|H(j)|取对数乘取对数乘10)110/()110()/(211.01.0221kkN将N解出371.330/20lg2)110/()110lg()/lg(2)110/()110lg(12.0211.01.021kkN选N=4，查表得4阶归一化c1巴特沃斯低通滤波器的传递函数为)848.11)(765.01(1)(224sssssH值得指出的是，此时的滤波器为截至频率c1 rad/s(f=0.16Hz)时的低通滤波器。将N4，带入对应的式子求解c。如果要求通带在1处刚好达到指标k1，则将

13、N带入(a)式；如果要求通带在2处刚好达到指标k2，则将N带入(b)式求取c (实际滤波器的截止频率)。)( 110)/()( 110)/(211.0221.021bakNckNc假设，本题在求解c时应使用(a)式。 解得c21.387 (fc=3.4Hz)此c是衰减为3dB时的频率(截止频率)。当c21.387时，用s/c置换H4(s)中的s并化简得)52.394 .457)(37.164 .457()387.21()387.21()(2222387.21/4sssssHss上式就是所设计的滤波器传递函数。从系统得角度而言，此滤波系统为一四阶系统，为了实现得方便，可用两个二阶系统串连构成。1

14、10)/(11 .021kNc2252.394 .4574 .457)( 37.164 .4574 .457)(sssHsssHBA)()()(4sHsHsHBAclose all;clear all;num=457.42den=conv(1,16.37,457.4,1,39.52,457.4)figure;freqs(num,den); h,w=freqs(num,den,500);%加大点密度figure;plot(w/2/pi,abs(h);grid on;figure;plot(w/2/pi,unwrap(angle(h)*360/2/pi);grid on;figure;impuls

15、e(num,den); grid on;figure;step(num,den); grid on;figure;pzmap(num,den) ; grid on;printsys(num,den); 低通巴特沃斯滤波低通巴特沃斯滤波器设计结果校核器设计结果校核例：试确定一低通巴特沃斯滤波器的传递函数。要求在通带频率fc=2kHz处，衰减3db，阻带始点频率fs=4kHz处，衰减15db0k1k2c 2c 2dBdB10.7070.1784kHz 2kHz|H(j)|H(j)|sradfkkjHsradfkkjHcc/ 2513340002 2 178. 01010 15dB)(lg20/ 1

16、256620002 2 707. 01010 3dB)(lg200222275. 02015*22111115. 0203*11当当468.2)2/1lg(2)110/()110lg( )/lg(2)110/()110lg(5.13.0211.01.021kkN选N=3，查表得3阶归一化c1巴特沃斯低通滤波器的传递函数为当c12566 rad/s时，用s/c置换H3(s)中的s并化简得)1)(1(1)(23ssssH)12566157913670(157913670)12566(12566)()()(23ssssHsHsHBA常用巴特沃斯低通滤波器传递函数常用巴特沃斯低通滤波器传递函数H HN

17、 N(s)(s)分母多项式分母多项式B BN N(s)(s)的因式分解表的因式分解表NBN(s)1s+12s2+1.4142s+13(s+1)(s2+s+1)4(s2+0.7654s+1)(s2+1.8478s+1)5(s+1) (s2+0.6180s+1)(s2+1.6180s+1)6(s2+0.5176s+1)(s2+1.4142s+1) (s2+1.9319s+1)高通滤波器、带通、带阻滤波器可由低通滤波器转换而成高通滤波器、带通、带阻滤波器可由低通滤波器转换而成常用巴特沃斯低通滤波器传递函数常用巴特沃斯低通滤波器传递函数H HN N(s)(s)分母多项式分母多项式B BN N(s)(s

18、)系数表系数表( (b b0 0=1=1) )Nb1b2b3b4b5b6b721.414232.00002.000042.61313.41422.613153.23615.23615.23613.236163.86377.46419.14167.46413.863774.4939 10.0978 14.5918 14.5918 10.09784.493985.1258 13.1371 21.8462 25.6884 21.8462 13.13715.1258011222211101)(1)(1)(bsbsbsbsbssBsssHNNNNNNNkkNclose all;clear all;den

19、1=1,12566;den2=1,12566,157913670;den=conv(den1,den2);num=12566*157913670;figure;freqs(num,den); h,w=freqs(num,den);figure;plot(w/2/pi,abs(h);grid on;figure;plot(w/2/pi,unwrap(angle(h)*360/2/pi);grid on;figure;impulse(num,den); grid on;figure;step(num,den); grid on;figure;pzmap(num,den) ; grid on;pri

20、ntsys(num,den); 低通巴特沃斯滤波低通巴特沃斯滤波器设计结果校核器设计结果校核得到归一化低通滤波器的模型后，可以通过频率变换的方法得到实际滤波器模型。变换类型变换类型变换关系式变换关系式注释注释低通原型低通原型低通低通s s /cc：高、低通截止频率：高、低通截止频率l：通带低端截止频率：通带低端截止频率h：通带高端截止频率：通带高端截止频率02=hl低通原型低通原型高通高通s c / s低通原型低通原型带通带通s (s2+02)/s(h-l)低通原型低通原型带阻带阻s s(h-l)/(s2+02)至此，我们已经解决了巴特沃斯滤波器模型的问题。剩下的问题是如何实现所设计的滤波器。

21、例：设计一阶巴特沃斯低通滤波器，在此基础上按给定指标设计高通、带通、带阻滤波器。低通滤波器：截止频率fc=4kHz (c25133 rad/s )归一化低通滤波器的数学模型为低通滤波器的数学模型为(fc=4kHz)1(1)(1ssH2513325133)/1(1)()(1ssssHsHcccssc高通滤波器的数学模型为(fc=4kHz)25133)/1(1)()(1ssssssHsHccssc带通滤波器的数学模型为(fl=2kHz， fh=6kHz， f0=4kHz)4737256342513325133)()()(/()(1 1)(2202202sssssssssHlhlhlh带阻滤波器的数

22、学模型为(fl=2kHz， fh=6kHz， f0=4kHz)47372563425133473725634)()/()(1 1)(22202202202sssssssssHlhlhl=12566H=3769902=473725634close all;clear all;h1,w1=freqs(1,1,1);figure;plot(w1/2/pi,abs(h1);grid on;hlp,w2=freqs(25133,1,25133);figure;plot(w2/2/pi,abs(hlp);grid on;hhp,w3=freqs(1,0,1,25133);figure;plot(w3/2/

23、pi,abs(hhp);grid on;hbp,w4=freqs(25133,0,1,25133,473725634);figure;plot(w4/2/pi,abs(hbp);grid on;hbs,w5=freqs(1,0,473725634,1,25133,473725634);figure;plot(w5/2/pi,abs(hbs);grid on;各类滤波器频率特性巴特沃斯模拟滤波器的巴特沃斯模拟滤波器的matlab设计设计设计通带截止频率设计通带截止频率(wp)为为1500Hz、阻带截止频、阻带截止频率率(ws)为为2000Hz、通带衰减、通带衰减 (rp)最大为最大为2dB、阻、

24、阻带衰减带衰减(rs)最小为最小为10dB的低通巴特沃斯模拟滤波的低通巴特沃斯模拟滤波器，并绘制幅频与相频曲线并绘制滤波器的冲激器，并绘制幅频与相频曲线并绘制滤波器的冲激响应曲线与阶跃响应曲线。响应曲线与阶跃响应曲线。步骤：步骤：1.求低通巴特沃斯模拟滤波器的最小阶数和固有求低通巴特沃斯模拟滤波器的最小阶数和固有频率。频率。2.求巴特沃斯模拟滤波器的原型滤波器求巴特沃斯模拟滤波器的原型滤波器3.将原型滤波器转化为现实滤波器将原型滤波器转化为现实滤波器close all;clear all;wp=1500;ws=2000;rp=2;rs=10; %给定参数。截止频率单位为Hz。n,wn=butt

25、ord(2*pi*wp,2*pi*ws,rp,rs,s) %频率参数的单位为rad/sz,p,k=buttap(n); %wn为增益下降至0.707时的频率num,den=zp2tf(z,p,k); %wn称为固有频率单位为rad/snum1,den1=lp2lp(num,den,wn);figure;freqs(num1,den1); %幅频特性和相频特性h,w=freqs(num1,den1); %幅频特性和相频特性,w的单位为rad/sfigure;plot(w/2/pi,abs(h);grid on;figure;plot(w/2/pi,unwrap(angle(h)*360/2/pi

26、);grid on;figure;impulse(num1,den1); grid on;%冲激响应figure;step(num1,den1);grid on;%阶跃响应figure;pzmap(num1,den1) ; grid on;%零极点分布图printsys(num1,den1); %传递函数。3-4 切比雪夫滤波器切比雪夫滤波器有两种：通带等波纹滤波器切比雪夫I型滤波器阻带等波纹滤波器切比雪夫II型滤波器从巴特沃什滤波器滤波器的幅频曲线可以看出，再通带内的误差分布是不均匀的，靠近频带边缘时误差最大。而切比雪夫I型滤波器的逼进原则是使依据通带内的误差分布均匀。其低通滤波器幅频响应的

27、平方为：0ccdBdB)/(11)(222cNaTjH当c=1时：)(11)(222NaTjH切比雪夫多项式可以用递推公式产生TN (x)=2x TN-1(x)- TN-2(x)，N2当N2时的初始式为T0 (x)=1，T1 (x)=x (可查表)通过|H(j)|2图形可以看出一些共同点：1)在|H(j)|2=1和|H(j)|21/(1+2)之间做等幅振荡，与|H(j)|2=1和|H(j)|21/(1+2)相交的点数为N；2)N为奇数时|H(j0)|2=1 ，N为偶数时|H(j0)|2 1/(1+2)；3)波纹振荡周期不相等；4)在过渡区和阻带区内单调下降。 |H(js )|=1/A2其中，T

28、N ()为切比雪夫N阶多项式。 为限定的波纹系数。注意截至注意截至频率定义频率定义可以证明，若设极点的位置位于s平面上，即sk=k+jk，则sk的分布在一椭圆上。其方程为)(1( /1)()( )(222NnnnTjHjHjH)/(1 /1)()(22jsTsHsHNnn将=s / j代入归一化的传递函数表达式，有1/2222bakk可以解出2N个极点，左右平面各占N个。利用左半平面的极点构造HN(s)。jj常数项的值其中为切比雪夫多项式为偶数时为奇数时)()0(:)()1/()0()0( )()()(2/1210sVVsVVKNVKNsVKssKsHNNNNNNNkkNl根据 、N值得到归一

29、化的切比雪夫多项式Vn(s)；l构造归一化的切比雪夫滤波器传递函数；l根据变换关系用给定变换公式置换传递函数中的s得到满足要求的滤波器传递函数；l传递函数的物理实现；|j/|HA/Ag ggNsNss)(1)1( )1(lg1lg2222其中设计一个低通切比雪夫I型滤波器，以满足截止频率p= 0.2，通带波动1dB，当r =0.3时，衰减16dB解：归一化截止频率c=p / 0.2=1 s= r / 0.2=0.3 / 0.2 =1.5当=c时当=s时4N 06.24/)1(22Ag 5088.01101)1/(1lg20| )(|lg201 .02/12cjH 6.309616)/1lg(2

30、0|)5.1(|lg202/12AAjHc43242/12952.0453.1742.0275.0258.01/275.0)( )0( )1/()0(sssssHNVNVKNN为奇数时为偶数时查表(切比雪夫滤波器设计参数表N=4，波动1dB)见p288、p290。根据变换关系给出的变换公式，用s/p1.59s置换传递函数中的s，最终得到满足要求的现实滤波器。4324952. 0453. 1742. 0275. 00.245)(sssssH得到归一化模型275. 0179. 1673. 3827. 3391. 60.245)(2344sssssHpcclose all;clear all;num

31、=0.245;den=6.391,3.827,3.6733,1.1798,0.275;figure;freqs(num,den); h,w=freqs(num,den,0:0.01:10);figure;plot(w/2/pi,abs(h);grid on;figure;plot(w/2/pi,unwrap(angle(h)*360/2/pi);grid on;figure;impulse(num,den); grid on;figure;step(num,den); grid on;figure;pzmap(num,den) ; grid on;printsys(num,den); 切比雪夫

32、低通滤波器设计校核10.89波动切比雪夫切比雪夫I型模拟滤波器的型模拟滤波器的matlab设计设计设计通带截止频率设计通带截止频率(wp)为为2000Hz、阻带截止频、阻带截止频率率(ws)为为1500Hz、通带衰减、通带衰减 (rp)最大为最大为2dB、阻、阻带衰减带衰减(rs)最小为最小为10dB ，并绘制幅频与相频曲线，并绘制幅频与相频曲线并绘制滤波器的冲激响应曲线与阶跃响应曲线。并绘制滤波器的冲激响应曲线与阶跃响应曲线。步骤：步骤：1.求低通切比雪夫求低通切比雪夫I型模拟滤波器的最小阶数和固型模拟滤波器的最小阶数和固有频率。有频率。2.求切比雪夫求切比雪夫I型模拟滤波器的原型滤波器型模

33、拟滤波器的原型滤波器3.将原型滤波器转化为现实滤波器将原型滤波器转化为现实滤波器close all;clear all;wp=2000;ws=1500;rp=2;rs=10; %给定参数。截止频率单位为给定参数。截止频率单位为Hz。n,wn=cheb1ord(2*pi*wp,2*pi*ws,rp,rs,s) %频率参数的单位为频率参数的单位为rad/sz,p,k=cheb1ap(n,rp); num,den=zp2tf(z,p,k); %wn称为固有频率单位为称为固有频率单位为rad/snum1,den1=lp2hp(num,den,wn);figure;freqs(num1,den1); %

34、幅频特性和相频特性幅频特性和相频特性h,w=freqs(num1,den1); %幅频特性和相频特性幅频特性和相频特性,w的单位为的单位为rad/sfigure;plot(w/2/pi,abs(h);grid on; %幅频特性，单位为幅频特性，单位为Hzfigure;plot(w/2/pi,unwrap(angle(h)*360/2/pi);grid on;figure;impulse(num1,den1); grid on;%冲激响应冲激响应figure;step(num1,den1);grid on;%阶跃响应阶跃响应figure;pzmap(num1,den1) ; grid on;%

35、零极点分布图零极点分布图printsys(num1,den1); %传递函数。传递函数。切比雪夫切比雪夫II型模拟滤波器的型模拟滤波器的matlab设计设计设计通带截止频率为设计通带截止频率为2000Hz、3000Hz，阻带截止，阻带截止频率为频率为1600Hz、3400Hz、通带衰减、通带衰减 (rp)最大为最大为2dB、阻带衰减阻带衰减(rs)最小为最小为20dB，并绘制幅频与相频曲线并，并绘制幅频与相频曲线并绘制滤波器的冲激响应曲线与阶跃响应曲线。绘制滤波器的冲激响应曲线与阶跃响应曲线。步骤：步骤：1.求低通切比雪夫求低通切比雪夫II型模拟滤波器的最小阶数和固有型模拟滤波器的最小阶数和固

36、有频率。频率。2.求切比雪夫求切比雪夫II型模拟滤波器的原型滤波器型模拟滤波器的原型滤波器3.将原型滤波器转化为现实滤波器将原型滤波器转化为现实滤波器close all;clear all;wp=2000,3000;ws=1600,3400;rp=2;rs=20; %给定参数。截止频给定参数。截止频率单位为率单位为Hz。n,wn=cheb2ord(2*pi*wp,2*pi*ws,rp,rs,s) %频率参数的单位为频率参数的单位为rad/sz,p,k=cheb2ap(n,rs); num,den=zp2tf(z,p,k); %wn称为固有频率单位为称为固有频率单位为rad/sbw=(wp(2)

37、-wp(1)*2*pi;cent=sqrt(wp(1)*wp(2)*2*pi;num1,den1=lp2bp(num,den,cent,bw);figure;freqs(num1,den1); %幅频特性和相频特性幅频特性和相频特性h,w=freqs(num1,den1); %幅频特性和相频特性幅频特性和相频特性,w的单位为的单位为rad/sfigure;plot(w/2/pi,abs(h);grid on;figure;plot(w/2/pi,unwrap(angle(h)*360/2/pi);grid on;figure;impulse(num1,den1); grid on;%冲激响应冲

38、激响应figure;step(num1,den1);grid on;%阶跃响应阶跃响应figure;pzmap(num1,den1) ; grid on;%零极点分布图零极点分布图printsys(num1,den1); %传递函数。传递函数。椭圆滤波器的通带和阻带均呈现出等波动响应，对于给定的指标，它们可使N最小(换言之，给定阶数N，使过渡带最陡)，从这个意义上说，椭圆滤波器是最优滤波器。其平方幅度响应为：)(11)(222cNaEjHMiiiiNCsBsAssDHsH12200)()(归一化后椭圆低通滤波器的传递函数为椭圆模拟滤波器的椭圆模拟滤波器的matlab设计设计设计通带截止频率为设

39、计通带截止频率为1600Hz、3400Hz ，阻带，阻带截止频率为截止频率为2000Hz、3000Hz 、通带衰减、通带衰减 (rp)最最大为大为2dB、阻带衰减、阻带衰减(rs)最小为最小为20dB，并绘制幅，并绘制幅频与相频曲线并绘制滤波器的冲激响应曲线与阶频与相频曲线并绘制滤波器的冲激响应曲线与阶跃响应曲线。跃响应曲线。步骤：步骤：1.求低椭圆模拟滤波器的最小阶数和固有频率。求低椭圆模拟滤波器的最小阶数和固有频率。2.求椭圆模拟滤波器的原型滤波器求椭圆模拟滤波器的原型滤波器3.将原型滤波器转化为现实滤波器将原型滤波器转化为现实滤波器close all;clear all;wp=1600,

40、3400;ws=2000,3000;rp=2;rs=20; %给定参数。截止频率单位给定参数。截止频率单位为为Hz。n,wn=ellipord(2*pi*wp,2*pi*ws,rp,rs,s) %频率参数的单位为频率参数的单位为rad/sz,p,k=ellipap(n,rp,rs); num,den=zp2tf(z,p,k); %wn称为固有频率单位为称为固有频率单位为radbw=(wp(2)-wp(1)*2*pi;cent=sqrt(wp(1)*wp(2)*2*pi;num1,den1=lp2bs(num,den,cent,bw);figure;freqs(num1,den1); %幅频特性

41、和相频特性幅频特性和相频特性h,w=freqs(num1,den1); %幅频特性和相频特性幅频特性和相频特性,w的单位为的单位为rad/sfigure;plot(w/2/pi,abs(h);grid on;figure;plot(w/2/pi,unwrap(angle(h)*360/2/pi);grid on;figure;impulse(num1,den1); grid on;%冲激响应冲激响应figure;step(num1,den1);grid on;%阶跃响应阶跃响应figure;pzmap(num1,den1) ;grid on;%零极点分布图零极点分布图printsys(num1

42、,den1); %传递函数。传递函数。附附1：IIR模拟滤波器的模拟滤波器的Matlab设计设计1.IIR模拟滤波器原型设计模拟滤波器原型设计z,p,k=buttap(n)设计设计n阶巴特沃斯模拟滤波阶巴特沃斯模拟滤波器原型。器原型。z,p,k=cheb1ap(n,rp)设计设计n阶在通带内最大阶在通带内最大衰减不大于衰减不大于rp分贝的切比雪夫分贝的切比雪夫I型模拟滤波器原型。型模拟滤波器原型。z,p,k=cheb2ap(n,rs)设计设计n阶在阻带内最小阶在阻带内最小衰减不小于衰减不小于rs分贝的切比雪夫分贝的切比雪夫II型模拟滤波器原型。型模拟滤波器原型。z,p,k=ellipap(n,

43、rp,rs)设计设计n阶在通带内最大阶在通带内最大衰减不大于衰减不大于rp分贝且在阻带内最小衰减不小于分贝且在阻带内最小衰减不小于rs分分贝的椭圆模拟滤波器原型。贝的椭圆模拟滤波器原型。2.IIR模拟模拟/数字滤波器阶数的确定数字滤波器阶数的确定设计指标：通带截止频率设计指标：通带截止频率wp、阻带截止频率、阻带截止频率ws、通带内最大衰、通带内最大衰减不大于减不大于rp(分贝分贝)、阻带内最小衰减不小于、阻带内最小衰减不小于rs(分贝分贝)来确定对应来确定对应模拟滤波器的最小阶数模拟滤波器的最小阶数n。 s表示模拟滤波器设计表示模拟滤波器设计n,wn=buttord(wp,ws,rp,rs,

44、s)得到在指定技术参数下巴得到在指定技术参数下巴特沃斯模拟滤波器的最小阶数特沃斯模拟滤波器的最小阶数n和滤波器固有频率参数和滤波器固有频率参数wn。n,wn=cheb1ord(wp,ws,rp,rs,s)得到在指定技术参数下得到在指定技术参数下切比雪夫切比雪夫I型模拟滤波器的最小阶数型模拟滤波器的最小阶数n和滤波器固有频率和滤波器固有频率wn。n,wn=cheb2ord(wp,ws,rp,rs,s)得到在指定技术参数下得到在指定技术参数下切比雪夫切比雪夫II型模拟滤波器的最小阶数型模拟滤波器的最小阶数n和滤波器固有频率和滤波器固有频率wn。n,wn=ellipord(wp,ws,rp,rs,s

45、)得到在指定技术参数下椭得到在指定技术参数下椭圆模拟滤波器的最小阶数圆模拟滤波器的最小阶数n和滤波器固有频率和滤波器固有频率wn。3.IIR模拟滤波器原型到现实模拟滤波器转换模拟滤波器原型到现实模拟滤波器转换num1,den1=lp2lp(num,den,wo)将模拟低通滤波器原型将模拟低通滤波器原型的传递函数模型转换为截止频率为的传递函数模型转换为截止频率为wo(求阶时得到的固有频率求阶时得到的固有频率wn)的模拟低通滤波器的传递函数模型。的模拟低通滤波器的传递函数模型。num1,den1=lp2hp(num,den,wo)将模拟低通滤波器原将模拟低通滤波器原型的传递函数模型转换为截止频率为

46、型的传递函数模型转换为截止频率为wo(求阶时得到的固有频求阶时得到的固有频率率wn)的模拟高通滤波器的传递函数模型。的模拟高通滤波器的传递函数模型。num1,den1=lp2bp(num,den,cent,bw)将模拟低通滤波将模拟低通滤波器原型的传递函数模型转换为中心频率为器原型的传递函数模型转换为中心频率为cent、带宽为、带宽为bw的的模拟带通滤波器的传递函数模型。模拟带通滤波器的传递函数模型。 Cent=sqrt(wp1*wp2)num1,den1=lp2bs(num,den,cent,bw)将模拟低通滤波将模拟低通滤波器原型的传递函数模型转换为中心频率为器原型的传递函数模型转换为中心

47、频率为cent、带宽为、带宽为bw的的模拟带阻滤波器的传递函数模型。模拟带阻滤波器的传递函数模型。 Cent=sqrt(wp1*wp2)4.模拟滤波器性能的观察与分析模拟滤波器性能的观察与分析h,w=freqs(num,den,n)显示由分子多项式系数向量显示由分子多项式系数向量num和分和分母多项式系数向量母多项式系数向量den构成的模拟滤波器传递函数频率特性，频率构成的模拟滤波器传递函数频率特性，频率范围自动确定。如果省略范围自动确定。如果省略n，函数自动选择，函数自动选择200个频率点。如果选个频率点。如果选择择n，函数根据选择的频率点数在自动确定的频率范围内计算、显，函数根据选择的频率

48、点数在自动确定的频率范围内计算、显示模拟滤波器传递函数的频率特性。示模拟滤波器传递函数的频率特性。n越大，计算越精确，曲线越越大，计算越精确，曲线越平滑。平滑。h,w=freqs(num,den,w0)频率范围由向量频率范围由向量w0指定指定(如用形如如用形如w0=ws:s:we的命令生成的命令生成)，单位为弧度，单位为弧度/秒。秒。alfa=angle(h)得到相频特性向量得到相频特性向量alfa，单位为弧度。向量，单位为弧度。向量h为为模拟滤波器频率特性。本函数既可用于模拟滤波器，也可用于数模拟滤波器频率特性。本函数既可用于模拟滤波器，也可用于数字滤波器。字滤波器。alfa_u=unwra

49、p(alfa)得到解缠绕后的相频特性向量得到解缠绕后的相频特性向量alfa_u，单，单位为弧度。本函数既可用于模拟滤波器，也可用于数字滤波器。位为弧度。本函数既可用于模拟滤波器，也可用于数字滤波器。y,t0=impulse(num,den,t)返回冲激响应向量返回冲激响应向量y和时间向量和时间向量t0。 5.IIR模拟滤波器的直接设计模拟滤波器的直接设计num,den=butter(n,wp,s)设计设计n阶低通或阶低通或2n阶阶带通巴特沃斯模拟滤波器并得到传递函数模型。带通巴特沃斯模拟滤波器并得到传递函数模型。num,den=butter(n,wp,high,s)设计设计n阶高通巴阶高通巴特

50、沃斯模拟滤波器并得到传递函数模型。特沃斯模拟滤波器并得到传递函数模型。num,den=butter(n,ws,stop,s)设计设计2n阶带阻阶带阻巴特沃斯模拟滤波器并得到传递函数模型。巴特沃斯模拟滤波器并得到传递函数模型。num,den=cheby1(n,r,wp,s)设计设计n阶低通或阶低通或2n阶带通切比雪夫阶带通切比雪夫I型模拟滤波器并得到传递函数模型。型模拟滤波器并得到传递函数模型。num,den=cheby1(n,r,wp,high,s)设计设计n阶高阶高通切比雪夫通切比雪夫I型模拟滤波器并得到传递函数模型。型模拟滤波器并得到传递函数模型。num,den=cheby1(n,r,ws

51、,stop,s)设计设计2n阶带阶带阻切比雪夫阻切比雪夫I型模拟滤波器并得到传递函数模型。型模拟滤波器并得到传递函数模型。num,den=cheby2(n,r,wp,s)设计设计n阶低通或阶低通或2n阶带通切比雪夫阶带通切比雪夫II型模拟滤波器并得到传递函数模型。型模拟滤波器并得到传递函数模型。num,den=cheby2(n,r,wp,high,s)设计设计n阶高阶高通切比雪夫通切比雪夫II型模拟滤波器并得到传递函数模型。型模拟滤波器并得到传递函数模型。num,den=cheby2(n,r,ws,stop,s)设计设计2n阶带阶带阻切比雪夫阻切比雪夫II型模拟滤波器并得到传递函数模型。型模拟

52、滤波器并得到传递函数模型。num,den=ellip(n,rp,rs,wp,s)设计设计n阶低通或阶低通或2n阶带通椭圆模拟滤波器并得到传递函数模型。阶带通椭圆模拟滤波器并得到传递函数模型。num,den=ellip(n, rp,rs,wp,high,s)设计设计n阶高阶高通椭圆模拟滤波器并得到传递函数模型。通椭圆模拟滤波器并得到传递函数模型。num,den=ellip(n, rp,rs,ws,stop,s)设计设计2n阶阶带阻椭圆模拟滤波器并得到传递函数模型。带阻椭圆模拟滤波器并得到传递函数模型。在matlab中，所谓固有频率截止频率(n)对不同的滤波器而言，含义不同。对巴特沃斯滤波器而言，

53、截止频率指的是通带增益下降3分贝时的频率。对切比雪夫I型滤波器而言，截止频率指的是通带增益进入过渡带下降至等于给定的通带最大衰减值时的频率。对切比雪夫II型滤波器而言，截止频率指的是阻带增益进入过渡带上升至等于给定的阻带最小衰减值时的频率。对椭圆滤波器而言，截止频率指的是通带增益进入过渡带下降至等于给定的通带最大衰减值时的频率。注：使用matlab设计带通、带阻滤波器时有频率的偏移。3-6 三类滤波器的比较在同样的通带衰减、过渡带宽和阻带衰减指标下，三种滤波器所需要的阶数为：巴特沃斯滤波器阶数最高；切比雪夫滤波器次之；椭圆滤波器阶数最低。因而，用椭圆滤波器使用的元器件最少，切比雪夫滤波器次之，

54、巴特沃斯滤波器使用的元器件最多。从相频特性而言，巴特沃斯滤波器线性度最好，切比雪夫滤波器次之，椭圆滤波器最差。例：设计通带截止频率(wp)为1500Hz、阻带截止频率(ws)为2000Hz、通带衰减 (rp)最大为2dB、阻带衰减(rs)最小为10dB的低通模拟滤波器。比较各类滤波器的设计结果。 close all;clear all;wp=1500;ws=2000;rp=2;rs=10; %给定参数。截止频率单位为Hz。n1,wn1=buttord(2*pi*wp,2*pi*ws,rp,rs,s) %频率参数的单位为rad/sz,p,k=buttap(n1); %wn为增益下降至0.707时

55、的频率num,den=zp2tf(z,p,k); %wn称为固有频率单位为rad/snum1,den1=lp2lp(num,den,wn1);h,w=freqs(num1,den1); %幅频特性和相频特性,w的单位为rad/sfigure;plot(w/2/pi,abs(h);grid on;%横轴坐标单位为Hzfigure;plot(w/2/pi,unwrap(angle(h)*360/2/pi);grid on;wp=1500;ws=2000;rp=2;rs=10; %给定参数。截止频率单位为Hz。n2,wn2=cheb1ord(2*pi*wp,2*pi*ws,rp,rs,s);z,p,

56、k=cheb1ap(n2,rp); %wn为通带增益进入过渡带下降至等于给定的通带最大衰减值时的频率。num,den=zp2tf(z,p,k); %wn称为固有频率单位为rad/snum2,den2=lp2lp(num,den,wn2);h,w=freqs(num2,den2); %幅频特性和相频特性,w的单位为rad/sfigure;plot(w/2/pi,abs(h);grid on;%横轴坐标单位为Hzfigure;plot(w/2/pi,unwrap(angle(h)*360/2/pi);grid on;wp=1500;ws=2000;rp=2;rs=10; %给定参数。截止频率单位为

57、Hz。n3,wn3=cheb2ord(2*pi*wp,2*pi*ws,rp,rs,s);z,p,k=cheb2ap(n3,rs); %wn为阻带增益进入过渡带上升至等于给定的阻带最小衰减值时的频率。num,den=zp2tf(z,p,k); %wn称为固有频率单位为rad/snum3,den3=lp2lp(num,den,wn3);h,w=freqs(num3,den3); %幅频特性和相频特性,w的单位为rad/sfigure;plot(w/2/pi,abs(h);grid on;%横轴坐标单位为Hzfigure;plot(w/2/pi,unwrap(angle(h)*360/2/pi);g

58、rid on;wp=1500;ws=2000;rp=2;rs=10; %给定参数。截止频率单位为Hz。n4,wn4=ellipord(2*pi*wp,2*pi*ws,rp,rs,s) %频率参数的单位为rad/sz,p,k=ellipap(n4,rp,rs); num,den=zp2tf(z,p,k); %wn为通带增益进入过渡带下降至等于给定的通带最大衰减值时的频率。num4,den4=lp2lp(num,den,wn4);h,w=freqs(num4,den4); %幅频特性和相频特性,w的单位为rad/sfigure;plot(w/2/pi,abs(h);grid on;%横轴坐标单位为

59、Hzfigure;plot(w/2/pi,unwrap(angle(h)*360/2/pi);grid on;根据对滤波器的了解，可以得出一个结论：只要系统输出信号的频谱与输入信号的频谱不一致频率成分发生了变化(某些频率成分得到加强、某些频率成分被削弱甚至阻断)，我们就可以将此系统广义地视为是一个滤波器系统。手机、收音机、电视机、雷达。换言之，只要系统包含有零、极点，就可以将此系统广义地视为是一个滤波器系统。对于无源元件构成的电路滤波器系统(元件本身并不释放额外的能量)而言，常见的是R、L、C电路。如何根据给定的模型用R、L、C电路构造滤波器就是我们要解决的问题。无源系统的可实现条件网络函数(

60、传递函数)可以写出多种多样的形式，但并不是每一种形式都可以实现。R(s)Y(s)H2(s)H1(s)H (s)H (s)R(s)Y(s)H1(z)H2(s)+mjjjniiinjjmiissKsLsRsYsHssssKsRsYsH11111)()()()( )()()()()(若某二端传递函数为阻抗函数如右式。将其改写为1132)()()(2ssssIsUsH)()(11)21(1132)()()()(212sZsZssssssZsIsUsH系统I(s)U(s)12H1F1sssIsUsH1)()()(11)()()(ssIsUsH显然，该系统应是由1F电容与-1电阻串联组成，由于负电阻不是耗