数字信号处理及MATLAB实现数字滤波器设计方法ppt课件

1、数字信号处置 第六章无限长单位冲激呼应IIR数字滤波器的设计方法 w 6.1引言引言w 6.2最小与最大相位延时系统，最小与最大最小与最大相位延时系统，最小与最大相位超前系统相位超前系统 w 6.3全通系统全通系统 w 6.4用模拟滤波器设计用模拟滤波器设计IIR数字滤波器数字滤波器w 6.5冲激呼应不变法冲激呼应不变法w 6.6阶跃呼应不变法阶跃呼应不变法w 6.7双线性变换法双线性变换法本章主要讨论逼迫性性能要求或系统函数的设计问题。数字滤波器按频率特性划分为为低通、高通、带通、带阻、全通等。其理想幅度频率呼应如图6.1。w数字滤波器在复频率呼应下三个参量分析：w1.幅度平方呼应 (6.3

2、)w由于的极点既是共轭的，又是以单位圆对称的，故只取单位圆内的极点作为的极点。w假设选在z平面单位圆的零点作为零点，那么得到是最小相位延迟滤波器。*1()()()()()( )()jjjjjjz eH eH eHeH eH eH z H z()jH e1( )()H z H z( )H z1( )()H z H z( )H z2.相位呼应w由于w6.4w所以6.5w由于w所以又有w6.6)(Im)(Re)()()(jjejjjeHjeHeeHeHj)(Re)(Im)(jjjeHeHarctge*()()()jjjjeHeH eejezjjjjjzHzHjeHeHjeHeHje)()(ln21)

3、()(ln21)()(ln21)(1*3.群延迟呼应w它是滤波器平均延迟的一个度量w6.7w可以化为w6.8w由于w所以w因此又有w6.9()()|()|jjjjeIn H eIn H eededejj)()(jjezezjdzzdjzddzdzzde)()()()Im()jjeH e)(lnIm)(jjeHdde同样可化为6.10当滤波器为线性相位呼应特性时，那么通带内延迟特性为常数。jjjjezezezezjzHdzzdHzzHdzdzdzzHdjzddzdzzHde)(1)(Re)(lnRe)(lnIm)(lnIm)(IIR滤波器逼迫问题wIIR系统函数w6.11w就是去求出滤波器的各系

4、数，使得在规定意义上，逼近所要求特性。在z平面上逼近，得到数字滤波器。w设计方法：w1先设计一个适宜的模拟滤波器，然后变换成满足目的的数字滤波器。w2计算机辅助设计方法。NkkkMkkkzazbzH101)(,kka b6.2最小与最大相位延时系统，最小与最大相位超前系统w任一个线性时不变系统，其系统函数为w6.12w系统频率呼应表达式w6.13w我们对进展研讨。NkkMmmMNNkkMmmNkkkMmmmdzczKzzdzcKzazbzH11111100)()()1 ()1 ()()(arg11)()()()()(jeHjjNkkjMmmjMNjjeeHdeceKeeH()jH eKw的模为

5、w6.14w其相角为w6.15w假设分别表示单位圆内外的零极点数那么w注：零极矢是指零极点指向z平面单位圆上频率点的矢量。当从0到时，只需单位圆内的零极点对相角有影响。()jH eK11|()|()|()|MjmjmNjkkecH eKed各零矢量模的连乘积各极矢量模的连乘积11()argargarg()jMMjjmkmmH eecedNMK,ioiom mp p,ioioMmmNpp2w零点、极点的分布对系统相角影响的讨论w1对因果稳定系统，此时w当从0变到时，那么辐角变化量w它称为相位延时系统。wa 当全部零点在单位圆内，即有w其相位变化最小，称为最小相位系统。00,ippN222()ar

6、g2 2 ()222jiiioH empNMKmMm (0)iomM m2()arg0jH eKwb 当全部零点在单位圆外，即有w这时相位变化最大，又是负数，即最大相位延时系统，是因果稳定系统。w2对逆因果挪动系统，此时w当从0变到时，那么辐角变化量为w称为相位超前系统。0()iommM2()arg2jH eMK 0,0ipNp222()arg22 ()jiH emNMKwa 当全部零点在单位圆内时，即有w这时相位变化最大，称最大相位超前系统，是逆因果稳定系统。wb 当全部零点在单位圆外时即有w这时相位超前最小，称最小相位超前系统，是逆因果挪动系统。(0)iomM m02()arg22jH e

7、NpK0()iommM02()arg2 ()joH epmK表6.1四种系统及其因果性、稳定性、零点、极点的关系。最小相位系统重要性质w1在傅里叶变换一样的一切系统中，它的负相位最小。w2最小相位系统能量集中在n=0附近。w3一样傅里叶变换幅度的各序列，最小相位序列的最大。w4在幅度呼应一样的系统中，只需独一的一个最小相位延时系统。w5利用级联全通的方法，可将最小相位系统的零点反射到单位圆外，构成幅度呼应一样的非最小相位延时系统。()jH emin(0)h()jH e6.3全通系统w定义：是指系统频率呼应的幅度在一切频率下均为1或某一常数的系统。满足w简单一阶全通系统函数wA为实数6.16w零

8、极点如图6.3|()| 1japHe1|0 ,1)(11aazazzHap高阶全通系统包含实零点实极点系统；还包括复数零点极点系统；复数零点极点的全通节的系统函数a为实数6.17如图6.4所示。1|0 ,11*1aazaz当h(n)是实函数，因此其系统函数的复数极点零点必需共轭出现。实系数有理二阶全能系统函数6.18如图6.5。1| ,11)(1111azaazazazzHapw普通来说，N阶数字全通系统的系统函数频率呼应的模都为1。w证明：N阶全通系统函数为w式中w当时，满足w6.21w所以有6.22)()(11)(1)1(111)1(111*111zDzDzzdzdzdzzdzddzaaz

9、zHNNNNNNNNNkkNkNNNNzdzdzdzD)1(1111)(jze)()(*jjeDeD1| )(|jeH全通系统运用w1任何一个因果稳定的非最小相位延时系统的H(z)都可以表示为全通系统和最小相位延时系统的时延。w6.24w它们频率呼应的相位一样，相位不同。即w6.25min( )Hz( )apHzmin( )( )( )apH zHzHz| )(| )(| )(| )(|minminjjapjjeHeHeHeHw证明：设一个因果稳定的非最小相位延时系统H(z)为w6.24w将6.24式表示为w6.25w由于，所以是最小相位延时，是全通级联。所以可表示为6.23式。*11100(

10、 ) (1) (1)H zz zz z)()()()(*01011zzzzzHzH10*011*001101*011010*01*0*0101111)1 ()1 ()(1111)()()()(zzzzzzzzzzzzzHzzzzzzzzzzzzHzH11*00*110011zzzzz zz z0| 1z w2假设设计出的滤波器是非稳定的，那么可用级联全通函数的方法将它变成一个稳定系统。w例：原滤波器有一对极点在单位圆外w级联一个全通系统w那么可将单位圆外极点抵消，但不改动系统幅度特性。1jzer1111( )11jjapjjzrezreHzrezre zw3可以作为相位平衡器群时延平衡器用，来

11、得到线性相位，但不改动幅度特性。w设全通滤波器为，系统为级联后H(z)w即w相位关系( )( )( )apdH zHz Hz( )apHz( )dHz()()()()()()()apdjjjjjjapdapdH eHeHeHeHee( )( )( )apdy w按得w当通带中满足是常数w那么逼近误差的平方值( )( )dd ( )( )( )apd 0( ) 22200( )( )( )apde 6.4用模拟滤波器设计IIR数字滤波器w方法：利用模拟滤波器设计数字滤波器就是要把s平面映射到z平面，使模拟系统函数变换成所需的数字滤波器的系统函数。w根本要求：w1的频响特性应能模拟的频率呼应w2因

12、果稳定的就能映射成因果稳定w几种映射方法：冲激呼应不变法、阶跃呼应不变法、双线性变换法。( )aHs( )H z( )aHs( )aHs( )H z( )H z6.5冲激呼应不变法w一、变换原理w冲激呼应不变法是使数字滤波器的单位冲激呼应序列h(n)模拟模拟滤波器的单位冲激呼应。即抽样满足w6.27w利用2.53式，得w6.28w它与2.5节从s平面到z平面2.51式一致。如图6.7( )ah T)()(nThnha)2(1)(kTjsHTzHkaezsT二、混叠失真数字滤波器和模拟滤波器频率呼应之间关系6.29只需当6.30才干在折叠频率内重现模拟滤波器呼应而不产生混叠失真，即6.31)2(

13、1)(TkjHTeHakj2, 0)(Tjha)(1)(TjHTeHajw留意：w1模拟滤波器频率呼应在折叠频率以上衰减快、大，变换后混叠失真越小。w2当添加，可减小混叠效应。w3当滤波器目的用数字域给定时，假设不变，用减小T的方法就不能处理混叠问题。sfc三、模拟滤波器的数字化方法w冲激呼应不变法所呵斥的s平面和z平面的对应关系w设模拟滤波器的系统函数只需单阶极点，且假定分母的阶次大于分子的阶次。展开部分分式w6.32w其相应的冲激呼应是的拉普拉斯变换即w6.33w对h(n)求z变换，得数字滤波器系统函数w6.34( )aHsNkkkassAsH1)( )aHs( )ah tNknTskNk

14、nTskanueAnueAnThnhkk11)()()()()(NkTsknnnTsNkknTsNkknnzeAzeAzeAznhzHkkk110011111)()()()(w6.32式的和6.34式的H(z)比较结果分析：w1s平面的单极点变换到z平面上处的单极点。w2两者部分分式的系数是一样的，都是w3假设模拟滤波器是稳定的，那么数字滤波器也是稳定的。w4能保证两者极点代数对应关系，但不保证整个s与z的代数对应关系。零点就没有这种关系。而是随的极点及系数两者而变化。( )aHskssks TzekA( )aHsw6.31式看出，数字滤波器频率呼应还与抽样间隔T成反比。当抽样频率高时，滤波器

15、增益会太高。w修正方法：w令6.35w那么有6.36w及6.37w因共轭极点，其变成h(z)关系kss)()(nTThnhaNkTskzeTAzHk111)(kajTjHkTjTjeH),()2()(*kss( )aHs*1*1,11kkkkkks Ts TkkAAAAssezssezw例6.1设模拟滤波器的系统函数为w试利用冲激呼应不变法，设计IIR数字滤波器。w解：直接利用6.36式可得数字滤波器的系统函数为w设T1，那么有2211( )4313aHssss)( )111()TTTTTTTTzeeH zezezzeez e1120.318( )1 0.41770.

16、01831zH zzzw模拟滤波器与数字滤波器的频率呼应分别为w画在图6.8上。222()(3)40.3181()1 0.41770.01831ajjjjHjjeH eee () ,()jaHjH e冲激不变呼应法优缺陷：数字滤波器的冲激呼应完全模拟模拟滤波器的冲激呼应，也就是时域逼近良好，模拟频率和数字频率之间呈线性关系。只顺应限带的模拟滤波器。6.6阶跃呼应不变法w该方法是使数字滤波器的阶跃呼应g(n)模拟模拟滤波器的阶跃呼应。使g(n)满足w6.38w因此满足w将此式取z变换可得wG ( n ) = g ( n ) =z H ( z )/ ( z -1) 6.39w所以6.40( )ag

17、 t( )( )* ( )g nu nh n)()()(nTgtgnganTta)(1)(zGzzzHw对于模拟滤波器其系统函数为，其阶跃呼应如图6.10。因此满足( )( )*( )aag tu th t( )aHsw对上式两端取拉普拉斯变换可得w6.41w即6.42w要满足阶跃呼应不变，那么应有w 6.43w将6.43式取z变换，并代入6.40得数字滤波器系统函数w6.44w这就是阶跃呼应不变法公式。1( )( )( )aaaG sL g tHss11( )( )aag tLHss11( )()( )aat nTg ngnTLHss111( )( )at nTzH zL LHszsw阶跃呼

18、应不变法频率呼应周期延拓及混叠景象讨论：w理想抽样信号拉氏变换为w6.45w而阶跃呼应序列的z变换为w6.46w比较6.45及6.46式，可知w6.47( )( )()snTaaanGsL gtgnT ennzngzG)()()()(sGzGaezsT同样模拟阶跃信号与理想抽样信号两者拉普拉氏变换关系6.48由6.47,48式，代入6.39,41式，得6.49可以看出，不是严厉限带情况下仍有周期延拓及混叠失真景象，但比冲激呼应不变法要小。kaaTjksGTsG)2(1)(kakaezTjksTjksHTTjksGTzHzzsT2)2(1)2(1)(1w例6.2知模拟二阶巴特沃思低通滤波器的归一

19、化3dB截止频率为1的模拟系统函数为w而3dB截止频率为50Hz的模拟滤波器，需将归一化中的s变量用来替代，即w设系统抽样频率为，要求从这一低通模拟滤波器设计一个低通滤波器，采用阶跃呼应不变法。21( )1 1.414136aHsss250s4249.8696044 10( )()250444.288309.8696044 10aasHsHss500sfHz( )aHs( )aHsw解：按6.41式，模拟滤波器阶跃呼应的拉普拉斯变换为w由于4242219.8696044 10( )( )(444.288309.8696044 10 )1(222.14415)222.14415(222.1441

20、5)222.14415aaG sHsss sssss002200220sin() ( )()cos() ( )()1 ( )atatL et u tsasaL et u tsaL u tsw故w那么w利用以下z变换关系1222.14415( )( )1sin(222.14415 )cos(222.14415 ) ( )aatgtLG settu t222.14415( )()1sin(222.14415)cos(222.14415) ( )anTg ngnTenTnTu n222 ( )( )( )()sin(sin) ( )2 cos1sin(cos) ( )2 cos1 ( )1naTaT

21、L x nX zL ex nX ezzaTLnaT u nzzaTzzaTLnaT u nzzaTzL u nzw且代入得阶跃呼应的z变换w再由6.40式可得数字低通滤波器的系统函数为311222.14415,2 10500saTsf22220.30339071( ) ( )11.15804590.411240700.145344810.10784999(1)(1.15804590.41124070)zzzG zL g nzzzzzzzz121210.145344810.10784999( )( )1 1.15804590.41124070zzzH zG zzzz6.7双线性变换法目的：主要用

22、来抑制混叠景象。一、变换原理w双线性变换法是使数字滤波器的频率呼应与模拟滤波器的频率呼应相应的一种变换方法。w首先把整个s平面紧缩变换到某一中介的平面的一条横带里，其次再经过上面讨论过的规范变换关系将此横带变换到整个z平面上去，这样就使s平面与z平面一一对应来消除混叠。1s1s Tew将s平面整个 轴紧缩变换到上的到一段变换关系：w6.50w这样，变到变到，可将6.50式变换成w解析延拓到s平面和平面，令那么w6.51j1sTT)2tan(1T 1T 0 10 11112222TTTTeejee 11,js js TsTsTsTsTsTseeTstheeees11111111212222w再将

23、平面经过以下规范变换关系映射到z平面w6.52w从而得到s平面和z变换的单值映射关系w6.53w6.54w为使模拟滤波器的某一频率与数字滤波器的任一频率有对应关系引入待定常数c，使50,51式变成w6.55w6.561sTsez11111zzsssz11)2tan(1TcTsTseecTcths1111)2(1w仍将代入6.56式，可得w6.57w6.58w上两式是s平面与z平面之间的单值映射关系，这种变换就称为双线性变换。1s Tze1111zzcsscscz二、变换常数c的选择w不同c可以调理频带间的对应关系。有两种方法w1使两种滤波器在低频处有较明确的对应关系。即低频时，当较小有w由6.55式及可得w因此得到w6.59w此时两者低频特性近似。1 111tan()22TT1 112Tc Tc2w2采用数字滤波器的某一特定频率与模拟原型滤波器的一个特定频率相对应，即w那么有w6.60w这种方法的主要优点是在特定的模拟和数字频