微分方程(可分离变量的微分方程)

1、12dxxfdyyg)()( 5422yxdxdy 例如例如,2254dxxdyy 解法解法设设函函数数)(yg和和)(xf是是连连续续的的, dxxfdyyg)()(分离变量法分离变量法设设函函数数)(yG和和)(xF是是依依次次为为)(yg和和)(xf的的原原函函数数,CxFyG )()(为微分方程的解为微分方程的解.3例例1 1 求解微分方程求解微分方程的通解xydxdy2解解分离变量分离变量,2xdxydy 两端积分两端积分,2 xdxydyCxy2ln.2为所求通解为所求通解xCey 4n例例2 2 求解微分方程求解微分方程的通解0)7(22dxyedyexx解解分离变量分离变量,7

2、22dxeeydyxx两端积分两端积分,722dxeeydyxxCeyx)7ln(21ln2xxceCeey22775n例例3 3 求解微分方程求解微分方程的通解dxxyydyxydyxdx222334解解分离变量分离变量dyyxydxxyx)33()24(22两端积分两端积分,231222dyyydxxxCyx)2ln(23)1ln(22)0()2(12322cycxdyyydxxxdyxydxyx22222312)1 (3)2(26)(xyfdxdy 形如形如的微分方程称为的微分方程称为齐次方程齐次方程. .具体解法：具体解法：作变量代换作变量代换,xyu ,xuy 即即,dxduxudx

3、dy 代入原式代入原式),(ufdxduxu .)(xuufdxdu 即即可分离变量的方程可分离变量的方程7,0)(:1时当uuf,ln)(1xCuufdu 得得,)(uCex 即即 ）（uufduu)()( ,代入代入将将xyu ,)(xyCex 得得通通解解xydxdyxyxyfuuf,)(,)(:2即时当cyxydyxdx|ln|ln,|yexc得齐次方程的通解822232363yxyxydxdyx)()(23)(6)(323xyfxyxyxydxdy解：xduudxdyuxyuxy,令232363uuudxduxu23233uuudxdux9duuuuduuuuxdx)31(32323

4、2cuuxduuuuxdx|3|ln21|ln|ln)31(22223222333xycyxxyxycxxyuucux代入，将10 xyxydxdytanuudxduxudxdyuxyuxytan,解：令xycxcuxuduxdxuduxdxsin|sin|ln|lntantan11例：例：求解微分方程求解微分方程. 0cos)cos( dyxyxdxxyyx解解，令令xyu ，则则udxxdudy , 0)(cos)cos( xduudxuxdxuuxx,cosxdxudu ,lnsinCxu 微分方程的解为微分方程的解为.lnsinCxxy 12一阶线性微分方程一阶线性微分方程的标准形式的

5、标准形式)()(xQyxPdxdy , 0)( xQ当当上方程称为上方程称为齐次的齐次的., 0)( xQ当当上方程称为上方程称为非齐次的非齐次的.例如例如,2xydxdy ,sin2ttxdtdx 线性的线性的;, 32 xyyy, 1cos yy非线性的非线性的.13(1) 线性齐次方程线性齐次方程. 0)( yxPdxdy(使用分离变量法使用分离变量法),)(dxxPydy ,)( dxxPydy,ln)(lnCdxxPy 齐次方程的通解为齐次方程的通解为.)( dxxPCey14(2) 线性非齐次方程线性非齐次方程).()(xQyxPdxdy 讨论讨论,)()(dxxPyxQydy 两边积分两边积分,)()(ln dxxPdxyxQy),()(xvdxyxQ为为设设 ,)()(ln dxxPxvy.)()( dxxPxveey即即非齐次方程通解形式非齐次方程通解形式与齐次方程通解相比与齐次方程通解相比)(xuC 15.)1(1225的通解的通解求方程求方程 xxydxdy解解.这是非齐次线性方程这是非齐次线性方程.通解通解先求对应的齐次方程的先求对应的齐次方程的, 012 yxdxdy,12 xdxydy.)1(2 xCy即令即令换成换成把把用常数变易法用常数变易法,uC,)1(2 xuy),1(2