第4章优化设计(总结与工程实例)

1、 总结与工程实例4.6 优化设计中应注意的几个问题优化设计中应注意的几个问题 通常在选择优化方法时，首先应通常在选择优化方法时，首先应明确数学模型的特点明确数学模型的特点。例如优化。例如优化问题的问题的规模规模(即维数、目标函数及约束函数的数目即维数、目标函数及约束函数的数目)，目标函数目标函数及及约束约束函数的性质函数的性质(非线性程度、连续性及计算时的复杂程度非线性程度、连续性及计算时的复杂程度)以及以及计算精度计算精度等。这些特点是选择优化方法的主要依据。等。这些特点是选择优化方法的主要依据。 选择优化方法时，还要考虑它选择优化方法时，还要考虑它本身及其计算程序的特点本身及其计算程序的特

2、点。例如，。例如，该方法是否已有现成的程序该方法是否已有现成的程序可用可用；编制程序所要花费的；编制程序所要花费的代价代价；程序的；程序的通用性或普遍性通用性或普遍性，即能否用它来解多种类型的问题；，即能否用它来解多种类型的问题；解题规模解题规模；使用；使用该程序的简便性及计算机执行该程序需要花费的该程序的简便性及计算机执行该程序需要花费的时间和费用时间和费用，程序的，程序的机动性机动性，优化方法的，优化方法的收敛速度收敛速度、计算精度计算精度、稳定性稳定性及及可靠性可靠性等。等。4.6.1 优化方法的选择优化方法的选择 在实际工程设计问题中，有时会遇到离散型设计变量的情况，这在实际工程设计问

3、题中，有时会遇到离散型设计变量的情况，这时可采用下述方法求解。时可采用下述方法求解。1凑整解法凑整解法 这种方法是将离散变量先这种方法是将离散变量先假定为连续变量假定为连续变量，在取得最优解后，再，在取得最优解后，再进行必要的处理，将求得的非离散值进行必要的处理，将求得的非离散值调整到调整到离其最近的可行的离其最近的可行的离散值离散值，并计算该值相邻各点的函数值，找出其中可行的最小点。并计算该值相邻各点的函数值，找出其中可行的最小点。2网格法网格法 网格法是一种最简单的直接求优法，是一种网格法是一种最简单的直接求优法，是一种穷举法穷举法。它既可用于。它既可用于连续设计变量的约束优化问题，又可用

4、于具有离散型设计变量问题的连续设计变量的约束优化问题，又可用于具有离散型设计变量问题的求优。求优。3随机试验法随机试验法 从规定离散数的集合中从规定离散数的集合中随机抽样随机抽样，计算那些可行点的目标函数值，计算那些可行点的目标函数值并保留函数值并保留函数值最小的点最小的点，也可以寻得离散最优解。，也可以寻得离散最优解。 除上述方法外，处理离散型设计变量的优化设计问题，还可采用除上述方法外，处理离散型设计变量的优化设计问题，还可采用离散复合形法离散复合形法和和离散罚函数法离散罚函数法等。等。4.6.2 离散变量的处理离散变量的处理 在实际工程设计问题中，常常同时有在实际工程设计问题中，常常同时

5、有几项设计指标几项设计指标都希望达到最都希望达到最优值，即所谓的优值，即所谓的多目标函数优化问题多目标函数优化问题。 多目标函数优化问题的多目标函数优化问题的数学模型数学模型为为 4.6.3 多目标函数优化问题的处理多目标函数优化问题的处理 min()(1,2, ).()0,1,2,;()0,1,2,ijjFiqgjmhjmmpXXXs.t（4-63） 在上述目标函数的最优化问题中，各个目标函数在上述目标函数的最优化问题中，各个目标函数 12(),(),()qFFFXXX的优化往往是的优化往往是互相矛盾互相矛盾的，不能同时达到的，不能同时达到最优解最优解；甚至有时还会产生完；甚至有时还会产生完

6、全全对立对立的情况，即对一个目标函数是优点，对另一目标函数却是劣点。的情况，即对一个目标函数是优点，对另一目标函数却是劣点。这就需要在各个目标的最优解之间进行这就需要在各个目标的最优解之间进行协调协调，以便取得整体最优方案。，以便取得整体最优方案。由此，多目标函数的最优化问题要比单目标函数的最优化问题复杂得多，由此，多目标函数的最优化问题要比单目标函数的最优化问题复杂得多，求解难度也较大。特别应当指出的是多目标函数的最优化方法虽有不少，求解难度也较大。特别应当指出的是多目标函数的最优化方法虽有不少，但有些方法的效果并不理想，需要进一步研究和完善。下面介绍几种多但有些方法的效果并不理想，需要进一

7、步研究和完善。下面介绍几种多目标函数的最优化方法。目标函数的最优化方法。 1 1主要目标法主要目标法 主要目标法的思想是主要目标法的思想是抓住主要目标抓住主要目标，同时，同时兼顾次要目标兼顾次要目标。求解时。求解时将全部目标函数按其重要程度排列，选择最重要的作为将全部目标函数按其重要程度排列，选择最重要的作为主要目标主要目标，而，而其他目标只需满足一定要求即可。为此，可将这些目标其他目标只需满足一定要求即可。为此，可将这些目标转化成约束条转化成约束条件件。也就是用约束条件的形式来保证其他目标不致太差。这样处理后，。也就是用约束条件的形式来保证其他目标不致太差。这样处理后，就成为单目标优化问题。

8、就成为单目标优化问题。 对于式（对于式（4-634-63）的多目标优化问题，求解时可在）的多目标优化问题，求解时可在 个目标函数个目标函数中选择一个中选择一个 作为作为主要目标主要目标，则问题变为，则问题变为 q()kF Xminmaxmin().()0,1,2,;()0,1,2,(),1,2, ,kjjiFgjmhjmmpFFFiq ikXXXXs.t（4-64） minFmaxFi式中式中、为第为第个目标函数的个目标函数的上、下限上、下限。2 2统一目标法统一目标法 统一目标法又称统一目标法又称综合目标法综合目标法。它是将原多目标优化问题，通过一定。它是将原多目标优化问题，通过一定方法转化

9、为方法转化为统一目标函数统一目标函数或或综合目标函综合目标函数作为该多目标优化问题的评数作为该多目标优化问题的评价函数，然后用前述的单目标函数优化方法求解。价函数，然后用前述的单目标函数优化方法求解。3 3分层序列法及宽容分层序列法分层序列法及宽容分层序列法 分层序列法及宽容分层序列法是将多目标优化问题转化为一系列分层序列法及宽容分层序列法是将多目标优化问题转化为一系列单目标优化单目标优化问题的求解方法。问题的求解方法。 基本思想是将多目标优化问题式（基本思想是将多目标优化问题式（4-634-63）中的目标函数分）中的目标函数分清主次清主次，按其重要程度按其重要程度逐一排除逐一排除，然后依次对

10、各个目标函数求最优解，不过后，然后依次对各个目标函数求最优解，不过后一个目标函数应在前面各目标函数最优解的一个目标函数应在前面各目标函数最优解的集合域内集合域内寻优。寻优。4 4协调曲线法协调曲线法 在多目标优化设计问题中，当各个分目标的最优解出现矛盾时，在多目标优化设计问题中，当各个分目标的最优解出现矛盾时，为了使某个较差的分目标也达到较理想的值，需要以增大其他几个目为了使某个较差的分目标也达到较理想的值，需要以增大其他几个目标函数值为标函数值为代价代价，这就是说，各分目标函数值之间需要进行协调，以，这就是说，各分目标函数值之间需要进行协调，以便最终取得一个从工程实用观点上看对各分目标都可以

11、接受的最合理便最终取得一个从工程实用观点上看对各分目标都可以接受的最合理方案，这种方法称为方案，这种方法称为协调曲线法协调曲线法。对于计算结果给出的对于计算结果给出的设计变量值设计变量值，需要核查它们的，需要核查它们的可行性与合理可行性与合理性。性。4.6.4 优化结果的分析优化结果的分析 对于大多数实际工程设计问题，对于大多数实际工程设计问题，最优解最优解往往位于一个或几个不往往位于一个或几个不等式约束条件的等式约束条件的约束面约束面上，这时，最优解所在的约束面的上，这时，最优解所在的约束面的约束函数值约束函数值应应等于或接近于等于或接近于0。 如果所有的约束函数值全不接近于如果所有的约束函

12、数值全不接近于0 0，则应仔细检查原因，考虑，则应仔细检查原因，考虑数学模型数学模型或或最优化过程最优化过程是否是否有误有误。为此，可。为此，可改变初始点改变初始点或或重选优化方重选优化方法法进行计算。进行计算。4.7 工程优化设计应用工程优化设计应用 介绍了工程优化设计的介绍了工程优化设计的，本节本节以以实例实例阐阐述如何运用这些理论及方法来解决述如何运用这些理论及方法来解决。 4.7.1 工程优化设计的一般工作步骤工程优化设计的一般工作步骤包含包含两方面的工作两方面的工作：根据具体设计要求，建立工程优化设计数学模型；根据具体设计要求，建立工程优化设计数学模型； 选择合适的优化方法及程序进行

13、求解。选择合适的优化方法及程序进行求解。进行进行工程问题优化设计工程问题优化设计时，其一般时，其一般工作步骤工作步骤如下：如下：1. 建立工程优化设计数学模型建立工程优化设计数学模型工程优化设计问题的工程优化设计问题的，是建立正确的，是建立正确的优化数学模型优化数学模型。 为此，要正确地为此，要正确地设计变量设计变量、目标函数目标函数和和约束条件约束条件，并把它们，并把它们组合在一起，成为一组能组合在一起，成为一组能准确地准确地反映工程优化设计问题实质的反映工程优化设计问题实质的数学表数学表达式达式，同时，要使建立的，同时，要使建立的。 因而，建立因而，建立的的要求要求是是： 一要正确，二要易

14、于求解。一要正确，二要易于求解。2. 选择合适的优化方法和计算程序选择合适的优化方法和计算程序 为为求解求解工程优化设计的工程优化设计的数学模型数学模型，应优先，应优先选择选择可靠性好可靠性好，收敛速收敛速度快度快，算法稳定性好算法稳定性好及及对参数敏感性小对参数敏感性小的的优化方法优化方法和和计算程序计算程序。 为了便于对工程优化问题的求解，目前国内外均已开发出通用的为了便于对工程优化问题的求解，目前国内外均已开发出通用的优化程序库优化程序库，使得优化方法和计算程序的选择不再是困难的问题。，使得优化方法和计算程序的选择不再是困难的问题。3. 编写主程序和函数子程序，编写主程序和函数子程序，

15、上机调试和计算，求得最优解上机调试和计算，求得最优解 一个完整的一个完整的应由如下应由如下组成：组成： 因此，工程优化设计人员是在调用因此，工程优化设计人员是在调用求解自己的实际问题求解自己的实际问题时，应按要求时，应按要求和优化问题数学模型的和优化问题数学模型的函数子程序函数子程序，将，将它们它们与与联成一个完整的应用软件系统。联成一个完整的应用软件系统。 然后然后上机调试和计算，求得优化问题的上机调试和计算，求得优化问题的最优结果最优结果。4. 对优化结果进行分析，确定最优解对优化结果进行分析，确定最优解 求得求得后，应对其进行分析、比较，看其是否符合实际，后，应对其进行分析、比较，看其是

16、否符合实际，是否满足设计要求，以决定是否采用。若发现它不符合实际或不满足是否满足设计要求，以决定是否采用。若发现它不符合实际或不满足设计要求，应考虑修改设计要求，应考虑修改或选择或选择求解。求解。为了给为了给提供一个提供一个求解优化数学模型的求解优化数学模型的有力工具有力工具， 目前国内、外许多目前国内、外许多CAD软件中均开发有软件中均开发有或或，如：如： 我国我国“六五六五”期间研制的期间研制的 “常用优化方法程序库常用优化方法程序库OPB-1”和和“七五七五” 期间开发的期间开发的 “优化方法及计算方法软件库优化方法及计算方法软件库OPB-2” 等等。这样，这样，工程技术人员工程技术人员

17、在掌握工程问题优化设计的基础知识和熟悉在掌握工程问题优化设计的基础知识和熟悉工程优化软件有关功能的基础上，调用优化工具箱的函数，可简捷方工程优化软件有关功能的基础上，调用优化工具箱的函数，可简捷方便地处理便地处理。 Pro/Engineer MATLAB4.7.2 工程优化设计实例工程优化设计实例 已已知知的输入扭矩的输入扭矩T1=2674Nm，传动比，传动比i=5，现要求确定现要求确定该减速器的结构参数，在保证承载能力条件下，使减速器的该减速器的结构参数，在保证承载能力条件下，使减速器的重量最轻。小齿轮拟选用实心轮结构，大齿轮为四孔辐板式结构，其结重量最轻。小齿轮拟选用实心轮结构，大齿轮为四

18、孔辐板式结构，其结构尺寸如构尺寸如图图2-43所示，图中所示，图中1=280mm，2=320mm。 单级直齿圆柱齿轮传动减速器的优化设计单级直齿圆柱齿轮传动减速器的优化设计图图2-43 单级直齿圆柱齿轮减速器结构图单级直齿圆柱齿轮减速器结构图(a)传动图；传动图； (b)小齿轮；小齿轮； (C)大齿轮大齿轮解：解：1. 建立数学模型建立数学模型：(1)齿轮几何计算公式齿轮几何计算公式211222122012221112222222232022412, , = 5 , 10 , 1.6, 0.25(101.6), 0.2 ,()/4, ()/4,()()/4(4)/4,()/42ggdmzdmz

19、mDmz imdddmz imdcBVddBVddBVDdBcd cVl dd221280/4320/4dd， ， 于是于是的的则为则为 1234VVVVV从上述从上述计算计算齿轮减速器体积齿轮减速器体积（简化为齿轮和轴的体积简化为齿轮和轴的体积）的的基本基本公式公式中可知，中可知，体积体积V 取决于：取决于：齿轮宽度齿轮宽度B、小齿轮齿数、小齿轮齿数z1、模数、模数m、轴的支承跨距、轴的支承跨距 、主动轴直径主动轴直径 、从动轴直径、从动轴直径 和传动比和传动比等等7个参数。个参数。其中其中传动比传动比 为为常量常量，由已知条件给定。，由已知条件给定。l1d2dii(2) 确定设计变量确定设

20、计变量所以，所以，该优化设计问题该优化设计问题可取可取设计变量设计变量为为 123456112, , ,TTXXXXXXXB z m l d d以齿轮减速器的以齿轮减速器的重量最轻重量最轻为优化目标，而此为优化目标，而此减速器的重量减速器的重量可以可以一对齿轮一对齿轮和和两根轴两根轴的的近似求出。近似求出。由此，由此，减速器的重量减速器的重量 ， 因钢的因钢的密度密度 为常数，为常数， 所以可取所以可取减速器的体积减速器的体积为为目标函数目标函数。 将将设计变量设计变量代入减速器的代入减速器的体积公式体积公式，经整理后得，经整理后得目标函数目标函数为：为：1234()WVVVV12342222

21、1231231322161512361362222454656() 0.785398(4.758585 0.920.81.6 280320)f XVVVVVx x xx x xx xx xx xx x x xx x xx xx xxx(3) 建立目标函数建立目标函数 1）为）为避免发生根切避免发生根切，小齿轮的齿数，小齿轮的齿数 不应小于最小齿数不应小于最小齿数 ， 即即 ，于是得，于是得约束条件约束条件 1zminz1min17zz12()170g Xx 2）传递动力传递动力的齿轮，要求的齿轮，要求齿轮模数齿轮模数一般应大于一般应大于2mm，故得，故得23()20gXx本问题本问题的的约束条

22、件约束条件，由，由强度条件强度条件、刚度条件刚度条件、结构工艺条件结构工艺条件和和参数限制条件参数限制条件等组成。等组成。(4) 确定约束条件确定约束条件 3）根据设计经验，主、从动轴的）根据设计经验，主、从动轴的直径范围直径范围取：取：12150mm100mm, 200mm130mmdd则则轴直径约束轴直径约束为为 35455666()1000, ()1500()1300, ()2000gXxgXxgXxgXx4）为了保证齿轮承载能力，且）为了保证齿轮承载能力，且避免载荷沿齿宽分布严重不均避免载荷沿齿宽分布严重不均， 要求要求 ，由此得，由此得 1635Bm117833()10, ()103

23、516xxgXgXxx 5）根据）根据工艺装备条件工艺装备条件，要求，要求大齿轮直径大齿轮直径不得超过不得超过1500mm， 若若 i =5，则，则小齿轮直径小齿轮直径不能超过不能超过300 mm，即，即 ， 写成写成约束条件约束条件为为 03001d121(1)670HHiKTBd i6）按齿轮的齿面接触强度条件，有）按齿轮的齿面接触强度条件，有式中，式中， 。将以上各参数代入上式，将以上各参数代入上式，整理后整理后可得可得接触应力约束条件接触应力约束条件21 2674000 N mm, 1.3, 855.5 N/mmHTK取239()10300 x xgX 1102123(1)670()1

24、0855.5()iKTgXx x xi FFmYBdKT112122122674000 N mm, 1.3, 261.7 N/mm , 213.3 N/mmFFTK21, YY7）按齿轮的齿根弯曲疲劳强度条件，有）按齿轮的齿根弯曲疲劳强度条件，有若取若取若大、小齿轮齿形系数若大、小齿轮齿形系数 分别按下面分别按下面二式计算二式计算，即，即 ；222221220.28240.0003539 ()0.000001576 ()0.1690.0066660.0000854YixixYxx则得则得小齿轮小齿轮和和大齿轮大齿轮的的弯曲疲劳强度条件弯曲疲劳强度条件为为11121231112212322()1

25、0261.72()10213.3KTgXx x x yKTgXx x x y 2413()1048 0.003nF xgXEJ lEJlFn003. 048311112352441522; coscoscos2 10 N/mm ; 20 ;/64/64tnFTTFmZx xEJdx8）根据）根据轴的刚度轴的刚度计算公式计算公式：得得主动轴主动轴的的刚度约束条件刚度约束条件为为式中：式中：。1212)(WTMW9）主、从动轴的弯曲强度条件）主、从动轴的弯曲强度条件对主动轴对主动轴：轴所受弯矩：轴所受弯矩 ；coscos2324111xxxTmZlTlFMn12674000N mm; 20 ; T

26、58. 0133211510.1 0.1 ; 55N/mmWdx扭矩校正系数扭矩校正系数 ；得得主动轴弯曲强度约束主动轴弯曲强度约束为为对实心轴对实心轴：若取：若取：。22141()()1055MTgXW 33222610.10.1 ; 55N/mmWdx对对从动轴从动轴： 。10）轴的支承跨距按）轴的支承跨距按结构关系结构关系和和设计经验设计经验取取 2min25. 02dBl式中，式中， 为箱体内壁到轴承中心线的距离，现取为箱体内壁到轴承中心线的距离，现取 ，则有则有 ，写成，写成约束条件约束条件为为min20mm04025. 02dlBmin14616(0.25)()1040 xxxgX

27、 22152()()1055MTgXW 可得可得从动轴从动轴弯曲强度约束弯曲强度约束：6min (), . . ()0 (1 2 16)uf XXRst gXu， ，即即是是一个具有一个具有16个不等式约束条件的个不等式约束条件的6维约束优化问题维约束优化问题。 综上所述，可得综上所述，可得该优化问题该优化问题的的数学模型数学模型为为16( )( )11(,)()()kkuuX rf XrgX2. 选择优化方法及优化结果选择优化方法及优化结果对对本优化问题本优化问题，现选用，现选用内点罚函数法内点罚函数法求解。求解。可构造可构造惩罚函数惩罚函数为为(5) 写出优化数学模型写出优化数学模型(0)

28、(0)(0)(0)(0)(0)(0)123456, , , , , 230, 21, 8, 420, 120, 160TTXxxxxxx(0)3()87139235.1 (mm )f X参考参考同类齿轮减速器的设计参数，同类齿轮减速器的设计参数，现取现取原设计方案原设计方案为为，即，即则则为：为： 。采用采用求解求解 的极小点，的极小点， 取惩罚因子递减系数取惩罚因子递减系数 C = 0.5，其中一维搜索选用，其中一维搜索选用二次插值法二次插值法， 收敛精度收敛精度 ；鲍威尔法及罚函数法的；鲍威尔法及罚函数法的收敛精度收敛精度都取都取 ； 得得最优解最优解：( )(,)kX r-7210-71

29、10*123456, , , , , 130.93, 18.74, 8.18, 235.93, 100.01, 130.00TTXxxxxxx*3()35334358.3 mmf X比比(按目标函数简化计算的部分按目标函数简化计算的部分)。*1*12130mm, 19, 8mm236mm, 100mm, 130mmBzmldd*X上述上述并不能直接作为减速器的设计方案，并不能直接作为减速器的设计方案，根据几何参数的标准化，要进行根据几何参数的标准化，要进行，最后得：，最后得：可以验证，可以验证， 满足所有满足所有，其其较原设计方案的较原设计方案的。实例实例2 圆柱螺旋压缩弹簧的优化设计圆柱螺旋

30、压缩弹簧的优化设计 现设计一内燃机用的现设计一内燃机用的，如，如图图2-47所示。所示。 具体设计要求是具体设计要求是： 在工作载荷在工作载荷P=700N作用下，作用下， 弹簧生产弹簧生产10mm的变形量，的变形量， : : 弹簧的压并高度弹簧的压并高度50mm， 弹簧内径弹簧内径D 116mm， 在满足强度条件的前提下，在满足强度条件的前提下， 使使的弹簧的弹簧。 图图2-47圆柱螺旋压缩弹簧圆柱螺旋压缩弹簧 的几何参数的几何参数 解：解： 1. 建立数学模型建立数学模型 1) 确定设计变量确定设计变量 由机械零件弹簧设计可知，圆柱螺旋压缩弹簧的基本参数由机械零件弹簧设计可知，圆柱螺旋压缩弹

31、簧的基本参数(见见图图2-47) 主要有：主要有： 弹簧中径弹簧中径 D， 弹簧丝直径弹簧丝直径 d， 弹簧总圈数弹簧总圈数 n， 旋绕比旋绕比c ( c=D/d )， 许用剪应力许用剪应力等。等。 由于在由于在 c，D 和和 d 中，只有两个是中，只有两个是独立变量独立变量， 另外考虑到材料供应的限制，另外考虑到材料供应的限制，也不宜作为也不宜作为设计变量设计变量。 由此，由此，该优化问题该优化问题的的设计变量设计变量可取为可取为123 , , , , TTXxxxD d n2220.254dWn DDd n 22min ()0.25f XWDd n 2) 建立目标函数建立目标函数该问题的该问题的设计目标设计目标是要求是要求弹簧的重量最轻弹簧的重量最轻，故应将，故应将弹簧重量弹簧重量W做为做为目标函数目标函数，W 的计算公式的计算公式为为由此，由此，极小化目标函数极小化目标函数为为式中式中 ， 弹簧材料的比重，取弹簧材