小学期 竞赛 力学 120627

1、例例1.4 用定滑轮提升质量为用定滑轮提升质量为M的重物，设绳索的重物，设绳索质量不计，绳与滑轮的摩擦系数为质量不计，绳与滑轮的摩擦系数为，绳与滑轮，绳与滑轮接触的两端与轮心连线夹角为接触的两端与轮心连线夹角为，求：欲提升重物，至少需要多大的张力求：欲提升重物，至少需要多大的张力TB？TB=?MBA选题目的：张力和摩擦力，选题目的：张力和摩擦力， 牛顿定律应用。牛顿定律应用。摩擦力处处沿切线方向，各处不摩擦力处处沿切线方向，各处不同，因此，不能用一个整体来求同，因此，不能用一个整体来求解，必须看任一点的解，必须看任一点的取微元取微元解：解： 取取滑轮上滑轮上一小段一小段绳，分析受力，放大如图绳

2、，分析受力，放大如图. 在小角度下，取在小角度下，取 sin;cos1刚能刚能提升，提升，a = 0，有，有d0d202TNNT 切向切向法向法向TdNNf T+dTdd(d )coscos022TTTfdd(d )sinsin022NTTT0 ddTT得得 BATTTT 0dd有有AABTTT e即即MgMgTB e0 MgTA对重物对重物解：解： 取取滑轮上滑轮上一小段一小段绳，分析受力，放大如图绳，分析受力，放大如图. 刚能刚能提升，提升，a = 0，有，有d0d202TNNT 切向切向法向法向TdNNf T+dT例例1.5 如图所示，将绳子的一端如图所示，将绳子的一端缠绕在质量为缠绕在

3、质量为M，半径为，半径为R的匀的匀质圆盘上，而其另一端通过定滑质圆盘上，而其另一端通过定滑轮悬挂一质量为轮悬挂一质量为m的物体，忽略的物体，忽略滑轮和绳的质量以及滑轮与绳的滑轮和绳的质量以及滑轮与绳的摩擦，且绳不可伸长。求物体的摩擦，且绳不可伸长。求物体的加速度为和圆盘的角加速度。加速度为和圆盘的角加速度。Mm选题目的：刚体纯滚动（非定轴转动）选题目的：刚体纯滚动（非定轴转动） 的运动学条件的运动学条件 或视为带有转动的相对运动问题或视为带有转动的相对运动问题PMgTacmgTa解：解： 对对m： mgT= ma 对对M： TMg = Mac （已设（已设ac向上）向上） 221MRITRca

4、aRcaaR由于绳子不可伸长由于绳子不可伸长:ccaaa切点切点圆盘：圆盘： 圆盘作圆盘作纯滚动纯滚动（即无滑动的滚动）时，（即无滑动的滚动）时，可可看作整个圆盘随着看作整个圆盘随着质心的平动和绕质心转动质心的平动和绕质心转动的的合成合成，因此，因此圆盘边缘与绳相切点圆盘边缘与绳相切点的的加加速度速度就就等于质心的加速度和该点绕质心转动的等于质心的加速度和该点绕质心转动的切向切向加速度加速度的合成的合成，即，即MT四式联立，可解得：四式联立，可解得：圆盘质心的加速度圆盘质心的加速度负号表示圆盘质心的实际加速度方向向下负号表示圆盘质心的实际加速度方向向下 得得 gMmMmac3gMmMma33g

5、RMmm)3(4（水平）（水平） xOM光滑轴光滑轴RPm（黏土块）（黏土块）0v选题目的：选题目的： 定轴转动的守恒定律；定轴转动的守恒定律； 转动定理；转动定理； 质心运动定理。质心运动定理。例例1.6 如图所示，质量为如图所示，质量为m的黏土块以初速的黏土块以初速度度v0斜射在匀质圆盘的顶端斜射在匀质圆盘的顶端P点，后与圆盘黏点，后与圆盘黏合。已知：圆盘的半径为合。已知：圆盘的半径为R，质量，质量M=2m， =60 。求：求： 当当P点转到与点转到与 x 轴重合时，圆盘的轴重合时，圆盘的角速度角速度和轴和轴O对盘的作用力对盘的作用力N 。y xOM光滑轴光滑轴均质圆盘均质圆盘RPm（黏土

6、块）（黏土块）0v解：解：1）过程分段）过程分段第一段：碰撞（在顶端）第一段：碰撞（在顶端）对对M+m , 对对O外力矩外力矩=0,L守恒守恒: cos2100202RmvmRMR 第二段：第二段： 转动过程转动过程，只有保守力作功，只有保守力作功，E守恒守恒： mgRmRMRmRMR 202222221212121 代入代入M2m ，解得解得gRvR164120 2） (Mm)的质心的质心作半径为作半径为R/3的圆周运动的圆周运动ORmgyyN在指定位置，在指定位置，由转动定理由转动定理 )21(22mRMRRmg Rg2 质心质心加速度加速度:3;32RaRant 由由质心运动定理质心运动

7、定理：nxtyaMmNaMmNgMm)()()( xN22222659)()(gRMmNNNyx例例1.7 半径同为半径同为R、质量分别为、质量分别为m1=m和和m2=3m/2的两的两个匀质圆盘，边缘部位分别用长个匀质圆盘，边缘部位分别用长R和和2R的轻杆固定地的轻杆固定地连接后，挂在高度差为连接后，挂在高度差为R的两块天花板下，可以无摩的两块天花板下，可以无摩擦地左右摆动。开始时两个摆盘静止在图示位置，擦地左右摆动。开始时两个摆盘静止在图示位置，质量为质量为m1的摆盘自由释放后，将以的摆盘自由释放后，将以 0角速度与质量角速度与质量为为m2的静止摆盘发生弹性碰撞。试求碰后瞬间，两的静止摆盘发

8、生弹性碰撞。试求碰后瞬间，两个摆盘的右向摆动角速度个摆盘的右向摆动角速度 1和和 2(均带正负号均带正负号)。m22RRm1RR（竞赛（竞赛08年计算题年计算题 10分）分） 0角动量方程角动量方程（以（以O2为参考点）：为参考点）：解：解： 碰撞过程中悬挂点碰撞过程中悬挂点O1提供的提供的水平右向力记为水平右向力记为N1 ( (平均值平均值),),两摆两摆盘间水平碰撞力大小记为盘间水平碰撞力大小记为N (平均平均值值), 碰撞时间记为碰撞时间记为t,摆摆1的的动量方程动量方程：RmRmtNtN2201111 m22RRm1RO1N1NN)()(01011111101123233 ccIRRm

9、IRRmLLRtNtRN O2摆摆1：摆摆1质心质心绕绕O1沿圆弧运动，其速度沿圆弧运动，其速度v1=2R摆摆1对质心的角动量对质心的角动量1 11 cI223 IRtN 摆摆2：21121RmIc 22222321)( RmRmI 0201222211212121 III 016511 联立求解（四个未知量联立求解（四个未知量 ）可得：可得：弹性碰撞弹性碰撞能量守恒：能量守恒：21211221)( RmRmI 026536 211 、mtNmtN/ 例例1.8 飞船绕地球作圆周运动，离地面的高飞船绕地球作圆周运动，离地面的高度度h=800km（轨道半径轨道半径r0=R+h，R=6.40103

10、km为地球半径）为地球半径）,速度速度v0=3.00 104kmh-1。经过。经过短暂的沿矢径向外侧喷气，飞船获得了指向短暂的沿矢径向外侧喷气，飞船获得了指向地心的附加速度地心的附加速度vr=800kmh-1 ，其轨道变为椭，其轨道变为椭圆。设喷气前后飞船的质量可看作不变。试圆。设喷气前后飞船的质量可看作不变。试求飞船椭圆轨道的近地点和远地点离地面的求飞船椭圆轨道的近地点和远地点离地面的高度。高度。r0v0vr目的：椭圆轨道问题目的：椭圆轨道问题 有心力作用下的运动有心力作用下的运动 解解: 研究对象：研究对象：飞船飞船 飞船飞船绕地球作圆周运动时，绕地球作圆周运动时，v0r0rvrv0202

11、0rmvrGMmmvrrmv 00喷气喷气飞船作飞船作椭圆椭圆运动时运动时机械能守恒机械能守恒rGMmmvrGMmvvmr 2022021)(21因喷气因喷气(飞船和地心连线飞船和地心连线)方向方向, , 故喷气前后故喷气前后飞船的飞船的角动量角动量(绕地心绕地心)守恒守恒rvvrvr 0001三式联立三式联立, ,可解得可解得r有两个值有两个值rvvrvr 0002( (近地点近地点) )( (远地点远地点) )km61311Rrhkm99722Rrh椭圆轨道的椭圆轨道的偏心率偏心率e设椭圆半长轴为设椭圆半长轴为A、半短轴为、半短轴为B，则，则ABAe22例例1.9 如图，细棒质量如图，细棒

12、质量M、长长l，oM求：任意位置求：任意位置时，轴给棒的作用力。时，轴给棒的作用力。解：解：设位置设位置时，棒的角速度为时，棒的角速度为 此时轴给棒的作用力设为此时轴给棒的作用力设为Fn、Ft棒的示力图棒的示力图nFtFMgcol 1coscnnMaMgF 2sincttMaMgF 22 lacn 2lact 431sin22 MllMg (3)联立联立得解得解有：有：，转动转动定律定律例例1.10 如图所示，均匀细麦杆长如图所示，均匀细麦杆长L，可绕通，可绕通过中心过中心O的固定水平轴在铅垂面内自由转动。的固定水平轴在铅垂面内自由转动。开始时麦杆静止于水平位置，一质量与麦杆相开始时麦杆静止于

13、水平位置，一质量与麦杆相同的甲虫以速度同的甲虫以速度v0垂直落到麦杆的垂直落到麦杆的1/4长度处，长度处，落下后立即向端点爬行，问：落下后立即向端点爬行，问：为使麦杆以均匀的角速度为使麦杆以均匀的角速度转动，甲虫沿麦杆的爬行转动，甲虫沿麦杆的爬行速度应是多少？速度应是多少？Omv04Lr分析：在甲虫落到麦杆上与麦杆作分析：在甲虫落到麦杆上与麦杆作完全非弹性完全非弹性碰撞碰撞的短暂过程中，因重力的冲量矩可以忽略，的短暂过程中，因重力的冲量矩可以忽略，麦杆、甲虫系统的角动量守恒麦杆、甲虫系统的角动量守恒。因此即可得出。因此即可得出麦杆碰后瞬间的角速度麦杆碰后瞬间的角速度与甲虫下落的速度与甲虫下落的

14、速度v0的关系。的关系。 碰后，麦杆、甲虫系统绕固定轴碰后，麦杆、甲虫系统绕固定轴O转动，因转动，因受重力矩作用，系统角动量的变化遵循受重力矩作用，系统角动量的变化遵循角动量角动量定理定理。因要求。因要求保持不变，故保持不变，故系统的转动惯量系统的转动惯量必须变化必须变化，这是靠甲虫的爬行来实现的这是靠甲虫的爬行来实现的。于是。于是可以确定甲虫所需的沿麦杆爬行的速度。可以确定甲虫所需的沿麦杆爬行的速度。 解解 设麦杆、甲虫的质量均为设麦杆、甲虫的质量均为m，碰后麦杆的，碰后麦杆的恒定角速度为恒定角速度为 ，任意时刻，任意时刻t甲虫在麦杆上的甲虫在麦杆上的位置用位置用r表示（表示（t=0时，时，

15、r=L/4 ），麦杆与水平），麦杆与水平轴的夹角即转过的角度为轴的夹角即转过的角度为，甲虫甲虫与麦杆碰撞与麦杆碰撞的过程的过程角动量守恒角动量守恒 22041214LmmLJLmv得得L7120v 碰后任意时刻碰后任意时刻t ，甲虫位于（，甲虫位于（r,），麦杆、甲），麦杆、甲虫系统所受外力矩虫系统所受外力矩 cosmgrM (1)(2)Omv0 4Lr由由角动量定理角动量定理tJJttLMdd)(dddd 不变不变得得trmrmrmLtmgrdd2)121(ddcos22 因此，为使因此，为使保持不变，甲虫的爬行速度应为保持不变，甲虫的爬行速度应为tggtr cos2cos2dd (3)(4

16、)(4)式表明，式表明， 随时间变化，所以甲虫必须适随时间变化，所以甲虫必须适时调整其爬行速度才能使时调整其爬行速度才能使保持不变。保持不变。trdd 设碰在设碰在 x 处时动量也守恒，处时动量也守恒，根据根据两个守恒定律两个守恒定律, 有：有：lx32 例例1.11球与匀质杆的碰撞球与匀质杆的碰撞中，动量是否守恒？中，动量是否守恒？ oxl?x动量也能守恒？动量也能守恒？解答：解答：一般碰撞中轴对杆有横向力，外力不为零，但一般碰撞中轴对杆有横向力，外力不为零，但对对o点的外力矩为零，故系统角动量守恒而动量不守恒。点的外力矩为零，故系统角动量守恒而动量不守恒。122023 mxMlmx)(2)

17、(10 xmlMxm可解得：可解得：一定不守恒？一定不守恒？ 当当o例例1.12 固定在一起的两个同轴均匀圆柱体可绕其光固定在一起的两个同轴均匀圆柱体可绕其光滑的水平对称轴滑的水平对称轴OO 转动，设大小圆柱体的半径分别转动，设大小圆柱体的半径分别为为R和和r，质量分别为，质量分别为M和和m，绕在两柱体上的细绳分，绕在两柱体上的细绳分别与物体别与物体m1和物体和物体m2相连，相连， m1和和m2分别挂在圆柱体分别挂在圆柱体的两侧。设开始时的两侧。设开始时m1, m2离地均为离地均为h，求：，求： 1) 柱体转柱体转动时的角加速度；动时的角加速度；2) 两侧细绳的张力；两侧细绳的张力； 3) m

18、1经多长经多长时间着地；时间着地； 4) 设设m1与地面作完全非弹性碰撞，与地面作完全非弹性碰撞，m1着着地后柱体的转速如何变化？地后柱体的转速如何变化？)3()2()1(2111112222 JrTRTamTgmamgmT 解：解：1) m1, m2的平动方程和柱体转动方程为的平动方程和柱体转动方程为 RaraTTTT 122211,式中：式中：222121mrMRJ )rad.s(13. 62222121 grmRmJrmRm 联立解得联立解得a1)N(8 .20222 gmrmT )N( 1 .17111 RmgmT2)s)(81. 1221 Rhaht2221rmRmJM 3) 设设m

19、1着地时间为着地时间为t，则，则4) m1与地面作完全非弹性碰撞即与地面作完全非弹性碰撞即着地后静止，这侧着地后静止，这侧绳子松开。柱体继续转动，因只受另一侧绳子拉力绳子松开。柱体继续转动，因只受另一侧绳子拉力的阻力矩，柱体转速将减小，的阻力矩，柱体转速将减小， m2减速上升。减速上升。讨论：若只求柱体转动的角加速度，可讨论：若只求柱体转动的角加速度，可将柱体和将柱体和m1 m2看作一个整体系统，看作一个整体系统，其受的合外力矩其受的合外力矩M=m1gR m2gr，则角加速度为，则角加速度为例例1.13 两个质量分别为两个质量分别为m1和和m2的木块的木块A和和B，用一个，用一个质量忽略不计、

20、倔强系数为质量忽略不计、倔强系数为k的弹簧连接起来，放置在的弹簧连接起来，放置在光滑水平面上光滑水平面上, 使使A紧靠墙壁紧靠墙壁, 如图所示。用力推木块如图所示。用力推木块B使弹簧压缩使弹簧压缩x0，然后释放。已知，然后释放。已知m1= m，m2=3 m，求，求（1）释放后）释放后A、B两木块速度相两木块速度相等时的瞬时速度的大小；等时的瞬时速度的大小； （2）释放后弹簧的最大伸长量。）释放后弹簧的最大伸长量。1m2mkAB解：解：（1）设弹簧恢复原长时）设弹簧恢复原长时B物体的速度为物体的速度为v0202212021vmkx kmxv300vmmvm)(2102043vv mkx3430机械能守恒机械能守恒动量守恒动量守恒1m2mkAB（2）A、B两物体速度相等时，弹簧伸长最大两物体速度相等时，弹簧伸长最大.2max22120221)(2121kxvmmvm0max21xx 理想流体定常流动理想流体定常流动（流速的分布不随时间改（流速的分布不随时间改变）变）的伯努利方程是的伯努利方程是 （1）它它表明了理想流体在管道中作定常流动时，流表明了理想流体在管道中作定常流动时，流体中某点的压强体中某点的压强 p、流速、流速 v和高度和高度h三个量之间三个量之间的关系。式中的关系。式中 是流体的密度，是流体