matlab控制系统仿真与应用 第四章

1、第四章 控制系统的数学描述与建模 q 控制系统的数学模型在控制系统的研究中有着相当重要的地位，要对系统进行仿真处理，首先应当知道系统的数学模型，然后才可以对系统进行模拟。同样，如果知道了系统的模型，才可以在此基础上设计一个合适的控制器，使得系统响应达到预期的效果，从而符合工程实际的需要。q在线性系统理论中，一般常用的数学模型形式有：传递函数模型（系统的外部模型）、状态方程模型（系统的内部模型）、零极点增益模型和部分分式模型等。这些模型之间都有着内在的联系，可以相互进行转换。 按系统性能分：线性系统和非线性系统；连续系统和离散系统；定常系统和时变系统；确定系统和不确定系统。1、线性连续系统：用线

2、性微分方程式来描述，如果微分方程的系数为常数，则为定常系统；如果系数随时间而变化，则为时变系统。今后我们所讨论的系统主要以线性定常连续系统为主。2、线性定常离散系统：离散系统指系统的某处或多处的信号为脉冲序列或数码形式。这类系统用差分方程来描述。3、非线性系统：系统中有一个元部件的输入输出特性为非线性的系统。第一节 系统的分类 微分方程是控制系统模型的基础，一般来讲，利用机械学、电学、力学等物理规律，便可以得到控制系统的动态方程，这些方程对于线性定常连续系统而言是一种常系数的线性微分方程。 如果已知输入量及变量的初始条件，对微分方程进行求解，就可以得到系统输出量的表达式，并由此对系统进行性能分

3、析。 通过拉氏变换和反变换，可以得到线性定常系统的解析解，这种方法通常只适用于常系数的线性微分方程，解析解是精确的，然而通常寻找解析解是困难的。MATLAB提供了ode23、ode45等微分方程的数值解法函数，不仅适用于线性定常系统，也适用于非线性及时变系统。第二节 线性定常连续系统的微分方程模型例exp3_1.m电路图如下，R=1.4欧，L=2亨，C=0.32法，初始状态：电感电流为零，电容电压为0.5V，t=0时刻接入1V的电压，求0t15s时，i(t)，vo(t)的值，并且画出电流与电容电压的关系曲线。Vs=1Vt=0RLC+-)(ti)(tvoclearclccloset0=0;tfi

4、nal=15;x0=0.5;0; %初始化，电感电流为0，电容电压为0.5v%tol=0.001; %数值计算精度t,x=ode45(elecsys,t0,tfinal,x0);%elecsys是系统微分方程的描述函数figure(1)subplot(211)plot(t,x(:,1)title(capacitor voltage)xlabel(time-sec)subplot(212)plot(t,x(:,2)title(current of L)xlabel(time-sec)figure(2)vc=x(:,1);i=x(:,2);plot(vc,i);title(current vers

5、us capacitor voltage)xlabel(capacitor voltage)ylabel(current)exp3_1.m绘制曲线%微分方程函数function xdot=elecsys(t,x) %状态导数Vs=1;R=1.4;L=2;C=0.32;xdot=x(2)/C;1/L*(Vs-x(1)-R*x(2);%格式% function xdot=filename(t,x)% xdot=表达式1；表达式2；表达式3；.；表达式n-1% 表达式1 对应 x1=x2% 表达式2 对应 x2=x3% 表达式3 对应 x3=x4% .% 表达式n-1 对应 xn-1=xn%如例ex

6、p3_1.m%x(1)=Vo x(2)=iL% x(1)=x(2)/C% x(2)=(Vs-x(1)-R*x(2)/L微分方程函数 对线性定常系统，式中s的系数均为常数，且a1不等于零，这时系统在MATLAB中可以方便地由分子和分母系数构成的两个向量唯一地确定出来，这两个向量分别用num和den表示。num=b1,b2,bm,bm+1den=a1,a2,an,an+1注意：它们都是按s的降幂进行排列的。11211121.)()()(nnnnmnmmasasasabsbsbsbsRsCsG第三节 传递函数描述一、连续系统的传递函数模型连续系统的传递函数如下： 零极点模型实际上是传递函数模型的另一

7、种表现形式，其原理是分别对原系统传递函数的分子、分母进行分解因式处理，以获得系统的零点和极点的表示形式。).()().()()(2121nmpspspszszszsKsGv在MATLAB中零极点增益模型用z,p,K矢量组表示。即：vz=z1,z2,zmvp=p1,p2,.,pnvK=kv函数tf2zp()可以用来求传递函数的零极点和增益。二、零极点增益模型K为系统增益，zi为零点，pj为极点 控制系统常用到并联系统，这时就要对系统函数进行分解，使其表现为一些基本控制单元的和的形式。 函数r,p,k=residue(b,a)对两个多项式的比进行部分展开，以及把传函分解为微分单元的形式。 向量b和

8、a是按s的降幂排列的多项式系数。部分分式展开后，余数返回到向量r，极点返回到列向量p，常数项返回到k。 b,a=residue(r,p,k)可以将部分分式转化为多项式比p(s)/q(s)。三、部分分式展开举例：传递函数描述 1）num=12,24,0,20;den=2 4 6 2 2;2）借助多项式乘法函数conv来处理：num=4*conv(1,2,conv(1,6,6,1,6,6);den=conv(1,0,conv(1,1,conv(1,1,conv(1,1,1,3,2,5);22642202412)(23423sssssssG) 523() 1()66)(2( 4)(23322ssss

9、sssssG零极点增益模型：num=1,11,30,0;den=1,9,45,87,50; z,p,k=tf2zp(num,den)50874593011)(23423ssssssssG)43)(43)(2)(1() 5)(6()(jsjsssssssGz= 0 -6 -5p= -3.0000+4.0000i -3.0000-4.0000i -2.0000 -1.0000k= 1结果表达式：部分分式展开：num=2,0,9,1;den=1,1,4,4; r,p,k=residue(num,den)44192)(233ssssssG12225. 0225. 02)(sisiisisGp= 0.0

10、000+2.0000i 0.0000-2.0000i -1.0000k= 2r= 0.0000-0.2500i 0.0000+0.2500i -2.0000结果表达式：q 状态方程与输出方程的组合称为状态空间表达式，又称为动态方程，经典控制理论用传递函数将输入输出关系表达出来，而现代控制理论则用状态方程和输出方程来表达输入输出关系，揭示了系统内部状态对系统性能的影响。DuCxyBuAxx第四节状态空间描述q在MATLAB中，系统状态空间用（A,B,C,D)矩阵组表示。举例：系统为一个两输入两输出系统A=1 6 9 10; 3 12 6 8; 4 7 9 11; 5 12 13 14;B=4 6

11、; 2 4; 2 2; 1 0;C=0 0 2 1; 8 0 2 2; D=zeros(2,2);xyuxx22081200012242641413125119748612310961 在一些场合下需要用到某种模型，而在另外一些场合下可能需要另外的模型，这就需要进行模型的转换。 模型转换的函数包括：residue：传递函数模型与部分分式模型互换ss2tf： 状态空间模型转换为传递函数模型ss2zp： 状态空间模型转换为零极点增益模型tf2ss： 传递函数模型转换为状态空间模型tf2zp： 传递函数模型转换为零极点增益模型zp2ss： 零极点增益模型转换为状态空间模型zp2tf： 零极点增益模型

12、转换为传递函数模型第五节模型的转换与连接一、模型的转换1. ss2tf功能：变系统状态空间形式为传递函数形式。 格式：num,den=ss2th(A,B,C,D,iu) 说明：系统的状态方程可表示为 DuCxyBuAxx相应的传递函数为 DBAsICsdensnumsH1)()()()(num,den=ss2tf(A,B,C,D,iu)可将状态空间表示变换成相应的传递函数表示，iu用于指定变换所使用的输入量。 ss2th函数还可以应用于离散时间系统，这时得到的是Z变换表示。 参见：ss2zp,tf2ss,tf2zp,zp2ss,zp2th 2. ss2zp功能：变系统状态空间形式为零极点增益形

13、式。 格式： z,p,k=ss2zp(A,B,C,D,iu) 说明：系统状态空间表示和零极点增益表示可分别参考sos2ss和sos2zp函数。z,p,k =ss2zp(A,B,C,D,iu)可将状态空间表示转换成零极点增益表示，iu用于指定变换所用的输入量。 ss2zp函数还可以应用于离散时间系统，这时得到的是Z变换表示。 参见：ss2th,tf2ss,zp2ss 3. tf2ss功能：变系统传递函数形式为状态空间形式。 格式：A,B,C,D=tf2ss(num,den) 说明：tf2ss函数可将给定系统的传递函数表示变换成等效的状态空间表示。在A,B,C,D=tf2ss(num,den)格式

14、中，矢量den按s的降幂顺序输入分母系数，矩阵num每一行为相应某输出的分子系数，其行数为输出的个数。tf2ss得到控制器正则形式的A、B、C、D矩阵 tf2ss也可以用于离散系统中，但这时必须在分子多项式中补零，以使分子分母的长度相同。 例3-6将系统 14 . 01232)(22ssssssH变换成状态空间表示 n u m = 0 2 3 ; 1 2 1 ;d e n = 1 0 . 4 1 ;A,B,C,D=tf2ss(num,den)A= -0.4000 -1.0000 1.0000 0B= 1 0C= 2.0000 3.0000 1 . 6 0 0 0 0D= 0 1参见：ss2tf

15、,ss2zp,zp2ss4tf2zp 功能：变系统传递函数形式为零极点增益形式。 格式：z,p,k=tf2zp(num,den) 说明：tf2zp函数可找出多项式传递函数形式的系统的零点、极点和增益。tf2zp函数类似于ss2zp函数。 例3-7要找出系统 14 . 025 . 0)(22sssssH的零点、极点和增益，可以输入 z=0.2500+1.3919i0.2500+1.3919ip= -0.2000+0.9798i -0.2000+0.9798ik= 1 num=1 0.5 2;den=1 0.4 1z,p,k=tf2zp(num,den)参见：ss2tf,ss2zp,tf2ss,z

16、p2th 5zp2ss 功能：变系统零极点增益形式为状态空间形式。格式：A,B,C,D=zp2ss(z,p,k)说明：A,B,C,D=zp2ss(z,p,k)可将以z,p,k表示的零极点增益形式变换成状态空间形式。参见：ss2tf,ss2zp,tf2ss 6zp2tf 功能：变系统零极点增益形式为传递函数形式。格式：num,den=zp2tf(z,p,k)说明：num,den=zp2tf(z,p,k)可将以z,p,k表示的零极点增益形式变换成传递函数形式。参见：ss2tf,ss2zp,tf2ss,tf2zp,zp2ss 用法举例：1）已知系统状态空间模型为：A=0 1; -1 -2; B=0;

17、1; C=1,3; D=1;num,den=ss2tf(A,B,C,D,iu)iu用来指定第n个输入，当只有一个输入时可忽略。num=1 5 2; den=1 2 1;z,p,k=ss2zp(A,B,C,D,iu)z= -4.5616 p= -1 k=1 -0.4384 -1uxyuxx311021102）已知一个单输入三输出系统的传递函数模型为：num=0 0 -2;0 -1 -5;1 2 0;den=1 6 11 6;A,B,C,D=tf2ss(num,den)A= -6 -11 -6 B= 1 C= 0 0 -2 D= 0 1 0 0 0 0 -1 -5 0 0 1 0 0 1 2 0

18、0 61162)(61165)(61162)()()(23231232123111ssssssGsssssGssssusysG3）系统的零极点增益模型：z=-3;p=-1,-2,-5;k=6;num,den=zp2tf(z,p,k)num= 0 0 6 18 den= 1 8 17 10a,b,c,d=zp2ss(z,p,k)a= -1.0000 0 0 b=1 2.0000 -7.0000 -3.1623 1 0 3.1623 0 0 c= 0 0 1.8974 d=0 注意：零极点的输入可以写出行向量，也可以写出列向量。 )5)(2)(1()3(6)(sssssG4）已知部分分式：r=-0

19、.25i,0.25i,-2;p=2i,-2i,-1;k=2;num,den=residue(r,p,k)num= 2 0 9 1den= 1 1 4 4注意余式一定要与极点相对应。 12225. 0225. 02)(sisiisisG1、并联：parallel格式：a,b,c,d=parallel(a1,b1,c1,d1,a2,b2,c2,d2)并联连接两个状态空间系统。a,b,c,d=parallel(a1,b1,c1,d1,a2,b2,c2,d2,inp1,inp2,out1,out2) inp1和inp2分别指定两系统中要连接在一起的输入端编号，从u1,u2,un依次编号为1,2,n；

20、out1和out2分别指定要作相加的输出端编号，编号方式与输入类似。inp1和inp2既可以是标量也可以是向量。out1和out2用法与之相同。如inp1=1,inp2=3表示系统1的第一个输入端与系统2的第三个输入端相连接。若inp1=1 3,inp2=2 1则表示系统1的第一个输入与系统2的第二个输入连接，以及系统1的第三个输入与系统2的第一个输入连接。num,den=parallel(num1,den1,num2,den2) 将并联连接的传递函数进行相加。二、模型的连接2、串联：series格式：a,b,c,d=series(a1,b1,c1,d1,a2,b2,c2,d2) 串联连接两个

21、状态空间系统。a,b,c,d=series(a1,b1,c1,d1,a2,b2,c2,d2,out1,in2) out1和in2分别指定系统1的部分输出和系统2的部分输入进行连接。num,den=series(num1,den1,num2,den2) 将串联连接的传递函数进行相乘。3、反馈：feedback格式：a,b,c,d=feedback(a1,b1,c1,d1,a2,b2,c2,d2) 将两个系统按反馈方式连接，一般而言，系统1为对象，系统2为反馈控制器。a,b,c,d=feedback(a1,b1,c1,d1,a2,b2,c2,d2,sign)系统1的所有输出连接到系统2的输入，系统

22、2的所有输出连接到系统1的输入，sign用来指示系统2输出到系统1输入的连接符号，sign缺省时，默认为负，即sign= -1。总系统的输入/输出数等同于系统1。a,b,c,d=feedback(a1,b1,c1,d1,a2,b2,c2,d2,inp1,out1) 部分反馈连接，将系统1的指定输出out1连接到系统2的输入，系统2的输出连接到系统1的指定输入inp1，以此构成 闭环系统。num,den=feedback(num1,den1,num2,den2,sign) 可以得到类似的连接，只是子系统和闭环系统均以传递函数的形式表示。sign的含义与前述相同。4、闭环：cloop（单位反馈）格

23、式：ac,bc,cc,dc=cloop(a,b,c,d,sign) 通过将所有的输出反馈到输入，从而产生闭环系统的状态空间模型。当sign=1时采用正反馈；当sign= -1时采用负反馈；sign缺省时，默认为负反馈。ac,bc,cc,dc=cloop(a,b,c,d,outputs,inputs) 表示将指定的输出outputs反馈到指定的输入inputs，以此构成闭环系统的状态空间模型。一般为正反馈，形成负反馈时应在inputs中采用负值。numc,denc=cloop(num,den,sign) 表示由传递函数表示的开环系统构成闭环系统，sign意义与上述相同。 举例应用：1）exp3_

24、2.m 系统1为： 系统2为： 求按串联、并联、正反馈、负反馈连接时的系统状态方程及系统1按单位负反馈连接时的状态方程。11111131102110uxyuxx2222241103110 xyuxxclcclearmore ona1=0 1;-1 -2;b1=0;1;c1=1 3;d1=1;a2=0 1;-1 -3;b2=0;1;c2=1 4;d2=0;%串联连接disp(串联连接)a,b,c,d=series(a1,b1,c1,d1,a2,b2,c2,d2)%并联连接disp(并联连接)a,b,c,d=parallel(a1,b1,c1,d1,a2,b2,c2,d2)%正反馈disp(正反馈

25、连接)a,b,c,d=feedback(a1,b1,c1,d1,a2,b2,c2,d2,+1)%负反馈disp(负反馈连接)a,b,c,d=feedback(a1,b1,c1,d1,a2,b2,c2,d2)%单位负反馈disp(单位负反馈连接)a,b,c,d=cloop(a1,b1,c1,d1)2）exp3_3.m系统1、系统2方程如下所示。1312111312111211131211131211131211101010110100100001010263122441uuuxxxyyuuuxxxxxx23222123222122212322212322212322211010111010101

26、00010001161123011uuuxxxyyuuuxxxxxx求部分并联后的状态空间，要求u11与u22连接，u13与u23连接，y11与y21连接。clccleara1=1 4 4;2 2 1;3 6 2;b1=0 1 0;1 0 0;0 0 1;c1=0 0 1;0 1 1;d1=0 1 0;1 0 1;a2=1 -1 0;3 -2 1;1 6 -1;b2=1 0 0;0 1 0;0 0 1;c2=0 1 0;1 0 1;d2=1 1 0;1 0 1;% 部分并联后的状态空间，要求u11与u22连接，u13与u23连接，% y11与y21连接disp(部分并联连接后的状态方程)a,b

27、,c,d=parallel(a1,b1,c1,d1,a2,b2,c2,d2,1 3,2 3,1,1)%input1=1 3 %input2=2 3%output1=1%output2=15 connect,blkbuild功能：将方框图转换为状态空间模型。格式：blkbuildac,bc,cc,dc=connect(a,b,c,d,q,inputs,outputs)说明：ac,bc,cc,dc=connect(a,b,c,d,q,inputs,outputs)可得到状态空间模型（ac,bc,cc,dc）,其中a、b、c、d是给定的无连接对角方块，q用于指定内部连接关系，inputs和outpu

28、ts用于选择系统（ac,bc,cc,dc）的输入和输出。首先，看看函数connect的建模过程，以SISO传递函数构成的方框图为例。 5 connect,blkbuild（续）（1）定义传递函数或状态空间系统 在方框图上对每个方框进行编号，并输入相应的传递函数分子分母系数：n1,n2,n3,和d1,d2,d3, ,或者输入状态矩阵（a,b,c,d）:a1,b1,c1,d1;a2,b2,c2,d2;a3,b3,c3,d3; 。 5 connect,blkbuild（续）（2）建立无连接的状态空间模型 形成一个由所有无连接关系传递函数构成的对角块模型（a，b，c，d），这可以通过重复调用appen

29、d或tf2ss和append来完成。例如，对以传递函数表示的次同a，b，c，d=tf2ss(n1，d1)；at，bt，ct，dt=tf2ss(n2，d2)；a，b，c，d=append(a，b，c，d，at，bt，ct，dt)；at，bt，ct，dt=tf2ss(n3，d3)；a，b，c，d=append(a，b，c，d，at，bt，ct，dt )； 或者对以状态空间表示的系统 a，b，c，d=append(a1，b1，c1，d1，a2，b2，c2，d2)；a，b，c，d=append(a，b，c，d，a3，b3，c3，d3)； 5 connect,blkbuild（续）另外，还可以使用一个称

30、作为blkbuild的函数，它可自动完成上述过程。例如 %define either transfer functions or state space modelsnblocks=5；blkbuild可完成由五个方框构成的系统。 blkbuild能自动确定每个方框是状态空间形式还是传递函数形式，在形成的系统中包含状态空间方框的所有输入和输出，输入/输出顺序与方框顺序相对应。 5 connect,blkbuild（续）（3）指定方框间的连接关系 矩阵q用于指定方框间的连接关系，矩阵的每一行对应于一个输入，其第一个元素为输入编号，其后为连接该输入的输出编号，如采用负连接，则以负值表示。例如，输入

31、7由输出2、15、6构成，其中输出15至输入7之间为负连接，则对应的q矩阵中这一行为 7 2 15 6。 5 connect,blkbuild（续）（4）选择输入/输出 inputs和utputs用于指示无连接系统中的某些输入/输出保留作外部的输入/输出，例如 inputs=1 2 15；outputs=2 7 则表示无连接系统中的输入1、2、15用作系统输入，输出2、7用作系统的输出。 （5）内部连接 5 connect,blkbuild（续）调用ac,bc,cc,dc=connect(a,b,c,d,q,inputs,outputs)这一函数，可以从矩阵q中获得连接信息，对方框图（a，b，

32、c，d）进行连接，从而得到系统(ac,bc,cc,dc),其输入和输出分别由inputs和outputs确定。 为简化上述过程，建议生成MATLAB程序文件，这样便于修改和检查。在构成新的系统后，还应该作进一步的检查。 %Feedforward transfer functionn1=10;d1=1 5%state-space planta2=-9.0201 17.7791 -1.6943 3.2138;b2=-.5112 .5362 -.0020 -1.8470;c2=-3.2897 2.4544 -13.5009 18.0745;d2=-.5476 -.1410 -.6459 .2958;

33、%Transfer function controllern3=2*1 1;d3=1 2;nblocks=3;blkbuild例3-5例 某系统包含有一个MIMO块，其方框图下图所示。 状态空间系统x=ax+buy=cx+du 2(s+1) S+210S+5231ucu1u2y1y2图 MIMO系统在MATLAB中，得到系统的状态空间模型的M程序如右:例3-5（续）执行这一MATLAB程序，可得a= -5.0000 0 0 0 0 -9.0201 17.7791 0 0 -1.6943 3.2138 0 0 0 0 -2.000b= 1.0000 0 0 0 0 -0.5112 0.5362

34、0 0 -0.0020 -1.8470 0 0 0 0 -2.000c= -1.0000 0 0 0 0 -3.2897 2.4544 0 0 -13.5009 18.0745 0 0 0 0 -2.000d= 0 0 0 0 0 -0.5476 -0.1410 0 0 -0.6459 -0.2958 0 0 0 0 -2.000q=3 1 -4 4 3 0;inputs=1 2;outputs=2 3;ac,bc,cc,dc=connect(a,b,c,d,q,inputs,outputs)例3-5（续）执行后得到闭环系统，见下页ac = -5.0000 0 0 0 3.3689 0.076

35、6 5.6007 0.6738 -11.6047 -33.0290 45.1635 -2.3209 1.8585 -8.4826 11.3562 -1.6283bc = 1.0000 0 0 -0.0760 0 -1.5011 0 -0.4058cc = -0.8859 -5.6818 5.6568 -0.1772 1.8585 -8.4826 11.3562 0.3717dc = 0 -0.6620 0 -0.4058例3-5（续）参见：cloop,series,parallel,feedback,append,minreal ctrb和obsv函数可以求出状态空间系统的可控性和可观性矩阵。

36、 格式：co=ctrb(a,b) ob=obsv(a,c) 对于nn矩阵a，nm矩阵b和pn矩阵c ctrb(a,b)可以得到nnm的可控性矩阵 co=b ab a2b an-1b obsv(a,c)可以得到nmn的可观性矩阵 ob=c ca ca2 can-1 当co的秩为n时，系统可控；当ob的秩为n时，系统可观。exp3_4.m 三、模型的属性%线性系统 H(S)=(s+alph)/(s3+10s2+27s+18)，当alph分别取1，0，1时，%判别系统的可控性和可观性，并求出相应的状态方程。clcclearmore onfor alph=-1:1 alph num=1,alph; d

37、en=1 10 27 18; a,b,c,d=tf2ss(num,den) cam=ctrb(a,b) rcam=rank(cam) oam=obsv(a,c) roam=rank(oam)endmore offexp3_4.m可控规范型close all;clear all;a= 2 0 0 1 0 4 1 3 0 0 4 1 0 0 0 2;b=1;0;1;2;c=1 1 0 0;n=length(a);q=zeros(n);q(:,1)=b;for i=2:n q(:,i)=a*q(:,i-1);endm=rank(q);if m=n disp(系统可控) a1=inv(q)*a*q b1=inv(q)*b c1=c*qelse disp(系统不可控) mend系统可控a1 = 0 -0.0000 -0.0000 -64.0000 1.0000 -0.0000 -0.0000 96.0000 0 1.0000 -0.0000 -52.0000 0.0000 0.0000 1.0000 12.0000b1 = 1 0 0 0c1 = 1 11 58 268可观规范型close all;clear