16章二次根式知识点及例题

1、第十六章二次根式知识点一、二次根式1. 定义：一般地,我们把形如 Ta(a 0)的式子叫做二次根式,丁称为二次根号,二次根号下的a叫做被开方数.注意：(1)二次根号的定义是从形式上界定的,即必须含有二次根号丁.(2) 二次根式的被开方数可以是一个数字,也可以是一个代数式,但必须满足被开方数大于等于0.(3) 根指数是2,这里的2可以省略不写.(4) 形如bja(a 0)的式子也是二次根式,它表示 b与再的乘积.例题：1. 以下各式中,一定是二次根式的是 .3 27(2广9(3)萦a2 2a 1、么1' a2 8a 162. 以下各式中,一定是二次根式的是()A./"B. &a

2、mp; 1 (x为任意实数)oVm (m为任意实数)D.3'&练习：1.卜列各式中,二次根式的是 .33.42.卜列各式中,(3) ,x2 1(4) . x y(x 0,y 0)(5) 3a28(6) x2 6x 12：!次根式的是()A. KB.Jx2 1 (x为任意实数)(m为任意实数)D.J5知识点二、二次根式有意义的条件1. 从总体上描述：在二次根式 va中,当a 0时,石有意义,当a 0时,ja无意义.2. 从具体的情况总结,如下：(1) 单个二次根式如 JA有意义的条件： A 0;A 0(2) 多个二次根式相加 JA+TBJN有意义的条件：B °；N 0(

3、3)二次根式作为分式的分母如与有意义的条件：AA 0;(4)二次根式作为分式的分子如A-A有意义的条件：BA 0B 0例题：1. 当x是怎样的实数时,以下各式在实数范围内有意义.(1) 73F(2JT_x(3) 一 x 1(4) /2F(5) J 1(6)2x 3x 2x 12. 函数y >jx自变量的取值范围是()A. x 1B. x 1C. x 0D. x 01 ,一,.一一3. 假设有怠义,那么x的取值氾围是 .x 2练习：1. 假设式子jx3在实数范围内有意义,那么x的取值范围是()A. x 3B. x 3C. x 3D. x 32. 以下四个式子中,x的取值范围为x 2的是()

4、A. J2 xB. Jx 2C. . 2D.:3. 买2有意义的x的取值范围是 .知识点三、二次根式的性质(重点,难点)性质1：式子Ta(a 0)具有双重非负性,它即表示二次根式,又表示非负数a的算式平方根,具体描述为：(1)而是非负数, &的最小值是0; (2), 的被开方数a是非负数.注意：几个非负数的和为 0时,这几个非负数必须同时为0.例题：1. (2021.外国语期末卷)假设Jx 2 |y 1 0,那么x y=.2. 假设 Jx 2 (y 1)2 0,那么 x y=-3. 假设 Jx3|z2| (y1)20,那么(xy z)2021 =.一 一 ,、y 4. 右 y¥

5、;2xJx 25 ,求 x 的值-5. 假设 yjx_y_3 v2x y 6 0,求 x, y 的值.练习:1. (2021.铜盘中学期末卷)假设x, y为实数,且JT" |x 2| 0,那么(：)2021的值为2. 假设 y/XT3 y2 2y 1 0,贝U (x y)2 =3. a,b为实数,且 Ja 5 2j10 2a b 4,求a , b的值.4.假设 Ja2 3a 12b2 2b 10 ,求a2 M b的值.a性质2：(侗2 a(a 0),即一个非负数的算术平方根的平方等于它本身.2注意：不能忽略a 0这一限制条件,导致类似广44的错误.性质3：按 a a(a 0),即当一

6、个数为非负数时,它的平方的算术平方根等于它本身,记为 后 a(a 0)；a(a 0)当一个数为非负数时,它的平方的算术平方根等于它的相反数,记为后 a(a 0).注意：不要认为a一定是非负数,从而出现如J( 2)22的错误.Va2与(店)2的区别与联系：表认式(石)2 aVa2a区别意义不同(石)2表示非负数a的算式平方根的平方后表示实数a2的算术平方根取值范围不同a 0a为任意实数运算结果不同h/a)2 a(a 0)Ci | a (a 0) va a a (a0)运算顺序不同(4a)2表示非负数a先开平方再作平方VT表示对实数a先平方再开平方运算联系后与(由2均为非负数,且当 a 0时,后

7、(寸打)2例题:(102)2("时(6)2 一(4广(3.14)2.(a b c)2, (a b c)2/(ba_c)2 j(c ba)2.3. 当 m<3 时,(m 3)2 .4. 设三角形的三边长为 a , b , c ,试化简:练习：1. 计算：(厢2(2) (、/37)2(3) J(3后(4)w V2. 假设 2 a 3,那么 J(2 a)2 J(a 3)2 等于()A. 5 2ab. 1 2aC. 2a 5d. 2a 13. 实数a、b在数轴上的位置如下图,化简： 后+后 J(a b)2 .b0 a4.a为实数,求代数式 Ja 2 J2 4a J a2的值.知识点四、

8、二次根式的乘除1.二次根式的乘法法那么：启偏 ab(a 0,b 0).提示：(1)在设计二次根式运算时没有特备说明,所有字母都表示正数;(2)a,b可以是数,也可以是代数式,但必须是非负的.推广：y/agjbgyfcg/d Jabcd a 0,b 0,c 0,d 0 .2. Jagjb ?Ob的逆运用:例题：1.计算： 2 .6(4) (1. 3)(3 . 3)Tab 4两而(a 0,b 0) 6,27 ( 2.3)(3) . (121)(一196).,3xyg. 8y3 7x3yg 8y2.化简：(1)J9 1253.(1)比拟3志与4面的大小, (2)比拟5居与6J3的大小.练习：1. 计

9、算：(1) v( 121) ( 196)(2) (1 <3)(3 <3)(3) J4x2y 比拟6 J5与46的大小, (2)比拟8而与3寸8的大小.3.分母有理化：把分母中的根号化去,叫做分母有理化.g；9y2(4) J5x3yg'9xy2. 化简：(1)/l6 121(2) 2寸963有理化因式：两个含有二次根式的非零代数式相乘,如果它们的积不含有二次根式,我们就说这两个二次根式 互为有理化因式.有理化因式确定方法如下:单项二次根式有理化因式两项二次根式有理化因式,a,a ba . bm a n. b(2)(3)最后结果必须化成最简二次根式或有理式.分母有理化的方法与步

10、骤:现将分子、分母化成最简二次根式;将分子、分母都乘以分母的有理化因式,使分母中不含根式;例题:1. L1 L化简为( a . bA.a c'bB. a u'b2. 以下各式中正确的选项是3. a=45 V6 , b=1 B.50、25C. 1000,贝U a与b的大小关系式是a10、5b.、.2.、. 20D.3 40601、51 12 855.2、3(6)(m用)5. 将以下各式分母有理化12a3b25c2练习:1.a=j32 , b=,贝"a与b的关系是A. a=bB. ab=1C. a=-bD. ab=-12.满足不等式.3_的整数共有<3A. 4B.

11、5C.D. 73.2而的倒数是4.设 a V7,b 2. 3,cc从小到大的顺序是5. 将以下各式分母有理化(2)2aa b4.二次根式的除法法那么；(a 0,b提示：乘除法：二次根式相乘除,将被开方数相乘除,所得的积商仍作积商的被开方数并将运 算结果化为最简二次根式.例题:1.计算：庇J67103a3b . 4ab2练习:i .计算：1、58 < 8.8a3b24a3b2被开方数中不含分母,.小数；3分母中丕念.4. 最简二次根式：1被开方数中不含丑.方.开一的.尽的.因数或因式;.根式.例题:1.以下二次根式中,是最简二次根式的是A. 0.2B.a2 b2D. .4a2.2021.华

12、伦单元卷把aj !根号外的因式移动到根号内的结果是A.、 aB. 、 aC. 、aD. 、a3. J24n是整数,那么正整数 n的最小值是A.4B. 5C. 6练习：1. 以下根式中不是最简二次根式的是A. . 2B.、. 6C.、82. 以下各式中,属于最简二次根式的是A. ,x2 1B. x C. ,12D. 7D. , 10D.3. 化简二次根式a J 三£的结果是()A. . a 1b. a 1c. a 14. a<b,那么化简 J a3b的结果正确的选项是()A. a . abB.a . abC. a . abD.D.a、 ab5. J48n是整数,那么正整数 n的最

13、小值是A. 3B. 4C. 5D. 66.李明的作业本上有四道题: V16a4 4a2, (2)75就/布 5aT2,aW4a.a而,4 V3a 2a拦,如果你是他的数学老师,请找出他做错的题是A. (1)B. (2)C. (3)D. (4)知识点五、二次根式的加减1.加减法：二次根式加减时,可以先将二次根式化成最简二次根式,再将被开方数相同的二次根式进行合并.注意：同类二次根式：化成最简二次根式后,被开方数相同,这样的二次根式叫做同类二次根式,例如j2和3J2.要判断几个根式是不是同一个二次根式不能叫同类二次根式,至少两个二次根式才有可能称为同类二次根式.类二次根式,须先化成最简二次根式后,

14、再判断.例题：1. 以下计算正确的选项是A. 4 3 3 3 1C. 22D. 3 2, 2 5 22.填空(1)5 . x +2、x =.一 24 + . 6 5、. 2(4) . 27 .12 =3.计算27而而342后2练习：1. 2021.外国语学校期中卷以下计算正确的选项是A. - 236 B. "23% 5C. 8 4.2D.2.2021.平南县月考卷假设V18x那么x的值为A. 43.计算B. 2C. 2D. 4(1)、口5,27“12<122 48 6x36xy2. 混合运算：有理数的加法交换律、结合律,乘法交换律、结合律,乘法对加法的分配律以及多项式的乘法公式

15、, 都适用于二次根式的运算.例题：1. 以下计算正确的选项是()A.Ji3v3寸164 B.v'1214J面 扃 11 C. 5 V'25p2D. J 4-2口23 32. 以下计算正确的有()寸_9J96,J_4_9也炳 6 2V 5242J5454 1 ,.52 42 .52 42 1A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个3. 正方形的对角线长是 372 cm,那么正方形的周长是 ,面积是.4. 计算(1) v48 3.27 <3(2) 46 4；3用 2 插 318 1&0 4】1,325 2(4) . 48 、54 2 35.假设3, m, 5三角形的三

16、边,化简 侦(2 m) a 3 4, b 3寸5,那么代数式v a2 ab b2的值是() J(m 8)2 .6.化简求值:|x/9x x2?J3 6x?jj,其中 x=5.练习：1. 以下化简或计算正确的选项是()A.,323 B. , 1 1 1 1 8 C.乙-3 2 9 2.4 D.勇 V.64.49772A. 24B. 2 63. 矩形的周长为(床 侦72)cm, 一边长为(J34. 计算：(1) V48 1 血 后4C. 2 6D. 2 5J12)cm,矩形的另一边长为 ,面积为.12 218126金(寸31)33 1)(4) 2x 3xy2(5) ( .3)2 (1) 14 20

17、210(6) (,3 + 2 2 2)( . 3 + 2 + 2. 2)5. 先将寸次 -X 化简,然后自选一个适宜的 x值,代入化简后的式子求值.x 2x3 2x26.2021.华南实验中学期末卷先化简,再求值:22ab b2<3 +1, b V3-1.知识点六、二次根式强化1.非负数和为0: 0 + 0 = 01. 假设 (x 2)2 |x y 2| Jx y z 0, 贝U x 2y 3z 2. Jx 2y + v3x 2y 8 = 0,求(x y)x值.3.假设三角形的三边 a、b、c的值.4.x, y为实数,且满足1 x (y 1) 1 y0152021 «士0 ,求

18、x y 的值.T C： Aa00 得：A 01.当x=时,式子Jx 2 +7 x 2有意义.2. y J2x 5 J5 2x 3,那么2xy的值为()15A. -15B. 15C.23. (2021.华伦单元卷)假设jx1 Jixx y 2 ,贝U x-y的值为(D.152A. -1B. 1C. 2D. 34.假设实数 a,b,c 满足 v''b 2a 4 <'a b 5v'c 2 J2c,试求 a2 b2 c2 的值.2c满足a 4a 4 Vb5 0 ,假设第三边c为奇数,求3.绝对值结合数轴化简：后a aaaa0.1.2021?黔南州实数a在数轴上的位

19、置如图,化简Ja 12 a =_,1>-2 a -10122.2021春祛堰市期末实数a, b, c在数轴上的位置如下图,化简：Ja2a c寸c b23. 假设 3 x 2,试化简：x 2 Jx 3 2 * 10x 25 .4.假设 Jxx ,那么 x 0 .1. 如果JZ x 0成立,那么x的取值范围是D. x<0D. x<2A. x > 0B. x> 0C. x < 02. Jx 222 x ,那么x的取值范围是A. x> 2B. xv 0C. x xv 25. 整体化简：先判断根号有意义的取值范围,再看整体正负值不变1. 2021?祁门县校级模拟

20、使式子产5成立的条件是A. a> 5B. a> 5C. 05 52. 把a 1J 中根号外的a 1移入根号内得., a 1A.1B. aC. - Va_1226. x y ax by c 0 ：配万成平万和为 0的形式.221.x y 2x 4y 5 0,求x y的值.2. a 2ja 1 b2 4b 4 0,求 a2 2ab b2的值.5.3x 1 0,2的值.7.乘法公式的灵活运用1.假设xA.、a2 a. b, y . aB.Jb,那么xy的值为abD. a b2、. bC.2.如果xx 3 2J- ,. y 2那么丫xx-的值等于y)A.32B.52C.729 D.23.2

21、021?祁门县校级模拟计算2、.3)2021(2.3>2021(- 2)0 :1-,、 21 ,、1 4.a - 2,求a 的值.,求a 一的值. aaa6.a3b ab3 的值.8. 整数和小数.1. 星期天,张明的妈妈和张明做了一个小游戏,张明的妈妈说：你现在学习了二次根式,假设 x表示何 的整数局部,y表示它的小数局部,我这个纸包里的钱是j10 xy元,你猜一猜这纸包里的钱是多少？假设猜对了,这纸包里的钱全给你.请问他妈妈包里的钱是 .2. x、y分别为8 而的整数局部和小数局部,贝U 2xy y2 =.3. 2021?凉山州a、b为有理数,m、n分别表示5 41的整数局部和小数局部,且 amn bn2 1 ,贝U2 a+ b=.9. 其他1. 2021.英才单元卷当a=时,代数式J2a 1 1取值最小,最小值为 .12. 2021?永州模拟设m 45 1 ,那么m 一的整数局部是 .m3. 2021.十九中期末卷仿照式子寸32J2的化简方法：V322