向量自回归模型讲义

1、第 8章 VAR 模型与协整1980 年 Sims 提出向量自回归模型( vector autoregressive mode)l 。这种模型采用多方程联 立的形式，它不以经济理论为基础，在模型的 每一个方程中，内生变量对模型的全部内生变 量的滞后值进行回归，从而估计全部内生变量 的动态关系。8.1 向量自回归 ( VAR )模型定义8.1.1 模型定义VAR 模型是自回归模型的联立形式 ，所以称 向量自回归模型 。假设 y1t，y2t 之间存在关系， 如果分别建立两个自回归模型yi, t = f (yi, t-i, yi, t-2,)yz t = f (y2, t-i, y2, t-2,)则

2、无法捕捉两个变量之间的关系。如果采用联 立的形式，就可以建立起两个变量之间的关系。 VAR 模型的结构与两个参数有关。 一个是所含 变量个数N，个是最大滞后阶数k。以两个变量yit, y2t滞后i期的VAR模型 为例，yi, t =ci+ii .1yi, t-i +12.1y2, t-i + ui ty2, t =C2+2iiyi, t-i + 二 22i丫2, t-i + U2 t(&i)其中 Ui t, U2 t IID (0,2), Cov(ui t, U2 t) = 0。写成矩阵形式是，设，Yt =2 -+ 严 21.1“ 22.1 一1y2,t1 一+ 2t.(8.2)|Y1t 11

3、1.112.1u1t i沁一,c = 12 一, 1 ：J1 21.171 22.1 一,Ut =u2t_2t 一二 11.171 i2.i 丨yi,t I uit 1则，Yt = c + - i Yt-i + ut(8.3)那么，含有N个变量滞后k期的VAR模型表 示如下：Yt = c + - 1 Yt-1 + - 2 Yt-2 + + kYt-k + Ut,ut IID (0,)(8.4)其中，Yt = (yi, ty2, t yN, t)c = (ciC2 Cn)S.j%. j H1N.j I| 71 21. j 22.71 2N.jn j =、； , j = 1, 2,71 N1.j

4、71 N2.j 71 NN.j jUt = (Ui t U2,t UN t),Yt为N 1阶时间序列列向量。C为N 1阶常数项列向量。二1,，二k均为N N阶参数矩 阵，5IID (0,)是N 1阶随机误差列向量， 其中每一个元素都是 非自相关的，但这些元素， 即不同方程对应的随机误差项之间可能存在相 关。因VAR模型中每个方程的右侧只含有内生 变量的滞后项，他们与 Ut是渐近不相关的，所 以可以用OLS法依次估计每一个方程，得到的 参数估计量都具有一致性。估计VAR的EViews 4.1操作：打开工作文件，点击 Quick键,选Estimate VAR功能。作相应选项后，即可得到 VAR的

5、表格式输出方式。在 VAR模型估计结果窗口 点击View选representation功能可得到VAR 的代数式输出结果。8.1.2 VAR模型的特点是：(1) 不以严格的经济理论为依据。在建模过程中只需明确两件事：共有哪些变量是相互 有关系的，把有关系的变量包括在VAR模型中；确定滞后期 k。使模型能反映出变量间相互影响的绝大部分。（2）VAR模型对参数不施加零约束。（对无 显着性的参数估计值并不从模型中剔除，不分 析回归参数的经济意义。）（3）VAR模型的解释变量中不包括任何当 期变量，所有与联立方程模型有关的问题在 VAR模型中都不存在（主要是参数估计量的非 一致性问题）。（4）VAR模

6、型的另一个特点是有相当多的参数需要估计。比如一个 VAR模型含有三个 变量，最大滞后期k = 3，则有kN 2 = 332 = 27个参数需要估计。当样本容量较小时，多数参数的估计量误差较大。（5）无约束VAR模型的应用之一是预测。 由于在VAR模型中每个方程的右侧都不含有 当期变量，这种模型用于样本外一期预测的优 点是不必对解释变量在预测期内的取值做任何 预测。（6）用VAR模型做样本外近期预测非常 准确。做样本外长期预测时，贝M只能预测出变 动的趋势，而对短期波动预测不理想。西姆斯（Sims）认为VAR模型中的全部变量都是内生变量。近年来也有学者认为具有单 向因果关系的变量，也可以作为外生

7、变量加入 VAR 模型。附录 ：（ file:B8c1）VAR模型静态预测的EViews操作：点击 Procs选Make Model功能。点击Solve。在出现 的对话框的Solution option （求解选择）中选择 Static solution （静态解）。VAR模型动态预测的EViews操作：点击 Procs选Make Model功能（工作文件中如果已 经有 M od e l ，则直接双击 Model ）。点击 Solve。 在出现的对话框的Solution option （求解选择） 中选择Dynamic solution （静态解）。注意：Model窗口中的第一行， “ASSI

8、GN ALL F ”表示模拟结果保存在原序列名后加 F 的新序列中，以免原序列中的数据被覆盖掉。静态预测的效果非常好。动态预测的表现 是前若干期预测值很接近真值，以后则只能准 确预测变化的总趋势，而对动态的变化特征预 测效果较差。综上所述，用 VAR做样本外动态 预测 1， 2期则预测效果肯定是非常好的。8.2 VAR模型稳定的条件VAR模型稳定的充分与必要条件是-(见 (8.3)式)的所有特征值都要在单位圆以内(在 以横轴为实数轴，纵轴为虚数轴的坐标体系中， 以原点为圆心，半径为1的圆称为单位圆)，或 特征值的模都要小于1。1. 先回顾单方程情形。以AR(2)过程yt = i yt-i +

9、2 yt-2 + ut(8.11)为例。改写为2(1- 1 L - 2 L2) yt = (L) yt = ut (8.12) yt稳定的条件是(L) = 0的根必须在单位圆以外。2. 对于VAR模型，也用特征方程判别稳 定性。以(8.3)式，Yt = c + 二 1 Yt-1 + ut，为例， 改写为(I - - 1 L) Yt = c + ut(8.13)保持VAR模型稳定的条件是| I -二止| = 0的 根都在单位圆以外。| I -二止| = 0在此称作相 反的特 征方程 (reverse characteristic function)。(第2章称特征方程)例 8.1 以二变量(N

10、= 2)，k = 1 的 VAR 模型(8.14)円=i5/8 1/21+lUit y_=1/4 5/8 丫2甘+ 卩- 5/8 1/21其中二1 = 1/4 5/8为例分析稳定性。相反的特征方程是|I二止 | =1 0 _ (5/8)L (1/2)L0 1 一 (1/4)L (5/8)L=(1- (5/8) L)2 - 1/8 L=(1-0.978 L) (1-0.27 L) = 0 求解得(8.15)L 1 = 1/0.978 = 1.022, L 2 = 1/0.27 = 3.690因为L 1，L 2都大于1,所以对应的VAR模型 是稳定的。3. VAR模型稳定的另一种判别条件是， 特征

11、方程| - 1 - I | = 0的根都在单位圆以内 特征方程|二1 - I | = 0的根就是二1的特征值。例&2仍以VAR模型（8.14）为例，特征方程表达如下:5/81/41/25/8.|O0| =IL 1/41/25 / 8 -人(5/8 - )2 1/8 = (5/8 - )2 1/8)2=(0.978 - ) (0.271 - ) = 0(8.16)得i = 0.9786, 2 = 0.2714。1,2是特征方程|n 1 -入I | = 0的根，是参数矩阵口 1的特征值。 因为 T = 0.978, 2 = 0.271，都小于 1，该 VAR 模型是稳定的。注意：(1) 因为 L1

12、=1/0.978 =1/ 1, L2 =1/0.27=1/ 2, 所以特征方程与相反的特征方程的根互为倒数，L = 1/ o(2) 在单方程模型中，通常用相反的特征方程e (L) = 0的根描述模型的稳定性，即单变量 过程稳定的条件是(相反的)特征方程(L) = 0 的根都要在单位圆以外；而在 VAR模型中通 常用特征方程| n 1 - ? I | = 0的根描述模型的 稳定性。VAR模型稳定的条件是，特征方程|二1 - I | = 0的根都要在单位圆以内，或相反的特征方程| I - L二1 | = 0的根都要在单位圆以 外。4 .对于k1的k阶VAR模型可以通过 友矩 阵变换(compani

13、on form )，改写成1阶分块 矩阵的VAR模型形式。然后利用其特征方程的根判别稳定性。具体变换过程如下。 给出k阶VAR模型，Yt = c+ - 1 Yt-1 + - 2 Yt-2 + + k Yt-k + Ut(8.17) 再配上如下等式，Yt -i = Yt -iYt -2 = Yt -2Yt -k +1 = Yt - k +1把以上k个等式写成分块矩阵形式,Yt1Y t丫匸aM丄十JNK 100 +44小K同_niI0 0nk J00nJ000 NK NKYt_i丫匸丫 t_ut001NK1-0 1NKXI其中每一个元素都表示一个向量或矩阵。令Yt =(Yt-1Yt-2 Yt-k+

14、1)nksC = (c00 - 0) nk 0)。(3) 从抄，ut-i项可以看出，白噪声中的冲 击离t期越远，影响力就越小。=(I -二1)-1, i=0、称作长期乘子矩阵，是对匸叫ut-i求期望得到i =0 的。对单一方程的分析知道，含有单位根的自 回归过程对新息中的脉动冲击有长久的记忆能 力。同理，含有单位根的VAR模型也是非平稳过程。当新息中存在脉动冲击时，VAR模型中内生变量的响应不会随时间的推移而消失。平稳变量构成的一定是稳定 (stability)的模型，但稳定的模型不一定由平稳变量构成。也 可能由非平稳（nonstationary）变量（存在协 整关系）构成。8.4 VAR模型

15、滞后期k的选择建立VAR模型除了要满足平稳性条件外，还 应该正确确定滞后期 k。如果滞后期太少，误 差项的自相关会很严重，并导致参数的非一致 性估计。正如在第 4章介绍ADF检验的原理 一样，在VAR模型中适当加大 k值（增加滞 后变量个数），可以消除误差项中存在的自相 关。但从另一方面看，k值又不宜过大。k值过 大会导致自由度减小，直接影响模型参数估计 量的有效性。下面介绍几种选择k值的方法。1）用LR统计量选择k值。LR （似然比）统 计量定义为，y 22LR = - 2 (log L(k)- log L(k+i) (N)(8.34)其中 log L（k）和 log L（k+1）分别是 V

16、AR（k）和 VAR（ k+1）模型的极大似然估计值。 k表示 VAR模型中滞后变量的最大滞后期。 LR统计 量渐近服从z2（n2）分布。显然当VAR模型滞后 期的增加不会给极大似然函数值带来显着性增 大时，即LR统计量的值小于临界值时，新增 加的滞后变量对 VAR模型毫无意义。应该注 意，当样本容量与被估参数个数相比不够充分 大时，LR的有限样本分布与LR渐近分布存在 很大差异。2）用赤池（Akaike ）信息准则（AIC）选择 k值。仕：2、2kAIC = log + （8.34）其中ut表示残差，T表示样本容量，k表示最大 滞后期。选择k值的原则是在增加k值的过程 中使AIC的值达到最小

17、。EViews 3.0的计算公式是1 logl _2kAIC = -2 T + T3）用施瓦茨（Schwartz）准则（SC）选择k 值。上二必2 klogTSC = log（8.35）其中玩表示残差，T表示样本容量，k表示最大 滞后期。选择最佳k值的原则是在增加k值的过程中使SC值达到最小。EViews 3.0的计算公式是SC =-2log L klogTT + T例8.3以第8章案例为例，k =1、2、3、4时的 logL、Akaike AIC 和 Schwarz SC 的值见 下表。VAR(1)VAR(2)VAR(3)VAR(4)logL184.6198.9200.0207.8-2 (l

18、og L(k) - log28.62.215.67 2(9)=L（k+1）16.9Akaike AIC-7.84-8.27-8.09-8.23Schwarz SC-7.36-7.41-6.85-6.6VAF? Lag Order Selection CriteriaEndogenous variables: LNGP LNCP LNIPExogenous variables: CDate: O5/25AJ5 Time 23:52Sample： 1953 1997In eluded observations; 42LagLogLLRFPEAICSCHQ022.98003NA7.75E-05-0

19、951430-0.827311-0.9059351175.5519276 08258.34E-08-7.788187-7.291710-7.6062082195.759233.67B80 indicates lag order selecled by the criterionLR: sequential modified LR test statistic (each test at 5% levels FPE: Final prediction errorAIC: Akaike information criterionSC: Schwarz information criterionHQ

20、; Hannan-Quinn information criterion建立滞后2期的VAR模型是可以的附录:4.93E-08*-8.3210E7*-7.453032*B.OD3404*3199.96546 4094576.31 E-DB-8.093591-6 852398-7 638645考察VAR模型最大滞后期的EViews 4.1操 作：在VAR模型估计结果窗口点击 View选 Lag Structrure, Lag Lengyh Criteria 功能，即 可得到5个评价统计量的值。8.5 VAR模型的脉冲响应函数由于VAR模型参数的OLS估计量只具有一 致性，单个参数估计值的经济解释

21、是很困难的。 要想对一个 VAR模型做出分析，通常是观察 系统的脉冲响应函数（1）脉冲响应函数。脉冲响应函数描述一个内生变量对误差冲击 的反应。具体地说，它描述的是在随机误差项 上施加一个 标准差大小 的冲击后对内生变量的 当期值和未来值所带来的影响。对于如下VAR模型，浙,t表示GDP，y2, t表 示货币供应量，I yi, t = ci + 71 iii yi, t-i + 7112.1 y2, t-i + ui t. y2, t = C2 + 71 21.1 yi, t-i + 71 22.1 y2, t-1 + U2 t(8.36)在模型（&36）中，如果误差Uit和U2t不相关，就很

22、容易解释。uit是yi, t的误差项；U2t是 y2, t的误差项。脉冲响应函数衡量当期Uit和U2t一个标准差的冲击分别对GDP和货币存量的 当前值和未来值的影响。对于每一个VAR模型都可以表示成为一个 无限阶的向量 MA( a)过程。具体方法是对于 任何一个VAR( k)模型都可以通过友矩阵变换 改写成一个 VAR(1)模型(见节)。Yt = Ai Yt -i + Ut(I - L A i) Yt = Ut-1Yt = (I - L A 1)1 Ut2s=Ut + A1Ut-1 + A12 Ut-2 + + A1s Ut-s + 这是一个无限阶的向量MA( g)过程。或写成，2sY t+s

23、 = Ut+s + A“Ut+s -1 + A1 Ut+s -2 + + A1 Ut + 全部的移动平均参数矩阵用改用j, (j=1,s)表示，Yt+s =Ut+s+ 1Ut+s -1 + 2Ut+s-2 + + sUt + (8.37) 其中1 = A1, 2 = A12,，s = A1 s,显然，由(8.37)式有下式成立，-s中第i行第j列元素表示的是，令其它误差 项在任何时期都不变的条件下，当第j个变量yjt对应的误差项Ujt在t期受到一个单位的冲击 后，对第i个内生变量yit在t + s期造成的影响。把中s中第i行第j列元素看作是滞后期 s 的函数% S Ujt,s = 1, 2,

24、3,称作脉冲响应函数 (impulse-response function)，脉冲响应函数描述了其它变量在t期以及以前各期保持不变的前提下，yi,t+s对Uj, t 时一次冲击的响应过程。对脉冲响应函数的解释出现困难源于实际中 各方程对应的误差项从来都不是完全非相关 的。当误差项相关时，它们有一个共同的组成 部分，不能被任何特定的变量所识别。为处理 这一问题，常引入一个变换矩阵M与ut相乘，vt = M ut (0, )从而把ut的方差协方差矩阵变换为一个对角矩 阵。现在有多种方法。其中一种变换方法称 作乔利斯基（Cholesky）分解法，从而使误差 项正交。原误差项相关的部分归于 VAR 系

25、统中的第 一个变量的随机扰动项。在上面的例子里，u1 t和U2t的共同部分完全归于 Uit,因为Un在吐t、彳、八之前。虽然乔利斯基分解被广泛应用，但是对于共 同部分的归属来说， 它还是一种很随意的方法。 所以方程顺序的改变将会影响到脉冲响应函 数。因此在解释脉冲响应函数时应小心。注意：对于Ut中的每一个误差项，内生变量 都对应着一个脉冲响应函数。这样，一个含有 4 个内生变量的 VAR 将有 16个脉冲响应函数。 附录： VAR 模型残差序列及其方差、协方 差矩阵的求法。点击VAR窗口中的Procs键，选Make Residuals （生成残差）功能，工作文件中就会 生成以resid01,

26、resid02,为编号的残差序列（残差序列的顺序与 VAR 模型估计对话框中 输入的变量顺序相一致），并打开残差序列数 据组窗口。在这个残差序列数据组窗口中点击 View键，选择Covariances功能，即可得到残差序列的方差、协方差矩阵。选择Correlation功能，即可得到残差序列的相关系数矩阵。Covariance MatrixRESID01RESID02RESID03RESID0125.86272-0.056293-7.166736RESID02-0.05629315.240536.196976RESID03-7.1667366.119697636.75376Correlation

27、 MatrixRESID01 1RESID02RESID03RESID011.000000-0.002836-0.232497RESID020.0028361.0000000.261836RESID03-0.2324970.2618361.000000附录：脉冲响应的EViews操作（file:VAR01）点击VAR窗口中的Impulse键。在随后弹 出的对话框中做出各项选择后点击0K键。例&4美国民用燃油价格、生产量、储量的脉冲响应图图3图1表示美国民用燃油价格（PHO ）分别 对燃油价格（PHO ）、生产量（QHO ）、储量 （NHO）3个方程相应新息过程一个标准差冲击的响应图2表示美国燃

28、油生产量（QHO ）分别对 燃油价格（PHO ）、生产量（QHO ）储量（NHO ） 3个方程相应新息过程一个标准差冲击的响 应。图3表示美国燃油储量（NHO ）分别对燃 油价格（PHO ）、生产量（QHO ）、储量（NHO ） 3个方程相应新息过程一个标准差冲击的响 应。8.6格兰杰非因果性检验VAR模型还可用来检验一个变量与另一个 变量是否存在因果关系。经济计量学中格兰杰（Granger）非因果性定义如下：格兰杰非因果性：如果由 yt和xt滞后值所决 定的yt的条件分布与仅由yt滞后值所决定的条 件分布相同，即(yt yt -1,xt -1,)=(yt yt -1,)，(8.38)则称xt

29、 -1对yt存在格兰杰非因果性。格兰杰非因果性的另一种表述是其它条件 不变，若加上xt的滞后变量后对yt的预测精度 不存在显着性改善，则称 X&1对yt存在格兰杰非因果性关系。为简便，通常总是把 Xt-1对yt存在非因果关 系表述为xt （去掉下标-1 ）对yt存在非因果关 系（严格讲，这种表述是不正确的）。在实际中， 除了使用格兰杰非因果性概念外，也使用“格 兰杰因果性”概念。顾名思义，这个概念首先 由格兰杰（Granger 1969）提出。西姆斯（Sims 1972）也提出因果性定义。这两个定义是一致 的。根据以上定义，Xt对yt是否存在因果关系的 检验可通过检验 VAR模型以yt为被解释

30、变量 的方程中是否可以把Xt的全部滞后变量剔除掉而完成。比如 VAR模型中以yt为被解释变 量的方程表示如下：yt=m + U1 t (8.39)如有必要，常数项，趋势项，季节虚拟变量等 都可以包括在上式中。则检验Xt对yt存在格兰 杰非因果性的零假设是Ho：1 = 2 =k = 0显然如果（8.39）式中的 旨的滞后变量的回归 参数估计值全部不存在显着性，则上述假设不 能被拒绝。换句话说，如果Xt的任何一个滞后 变量的回归参数的估计值存在显着性，则结论 应是xt对yt存在格兰杰因果关系。上述检验可 用F统计量完成。(SSE _SSEU)/k F = SSE, (T - kN)其中SSEr表示

31、施加约束(零假设成立)后的 残差平方和。SSEu表示不施加约束条件下的残 差平方和。k表示最大滞后期。N表示VAR模 型中所含当期变量个数， 本例中N = 2，T表示 样本容量。在零假设成立条件下，F统计量近似服从F( k, T - k N )分布。用样本计算的F值如 果落在临界值以内，接受原假设，即Xt对yt不 存在格兰杰因果关系。例 8.5 :( file: stock)以 661 天(19)的上海(SH)和深圳(SZ) 股票收盘价格综合指数为例， SZ SH1 0 02 0 03 0 04 0 05 0 06 0 015 0 010 0 07 0 06 0 05 0 04 0 03 0

32、0滞后10期的Granger因果性检验结果如下:(当概率小于0.05时，表示推翻原假设)Pairwise Granger Causality TeslsDate: 05/16/04 Time： 19:56Sample: 1 661Lags: 10Null Hypothesis:CbsF-StatisticProbabilitySH does riot Granger Cause SZ SZ does not Granger Cause SH6511.3E37523.43950.193160.00000上表中概率定义为，P(F1.36)=0.19316图示如下:图7P(F23.44) = 0.0

33、0000因为F值(1.36)落在原假设接受域，所 以原假设“上海股票价格综合指数对深圳股票 价格综合指数不存在 Granger因果关系”被 接受。因为F值（23.44）落在原假设拒绝域，所 以原假设“深圳股票价格综合指数对上海股票 价格综合指数不存在Granger因果关系”被推 翻。附录：格兰杰因果关系检验EViews操作方法是，打开数剧组窗口，点 View键，选Granger Causility。在打开的对话 窗口中填上滞后期（上面的结果取滞后期为 10），点击OK键。用滞后5, 10, 15, 20, 25期的检验式分别检 验，结果见下表：k=5k=10k=15k=20k=25H0 : S

34、HdoesnotGran ger1.081.361.211.291.40接受HCause SZH0 : SZdoesnotGran ger43.923.415.912.610.3拒绝HCause SH结论都是上海股票价格综合指数不是深圳 股票价格综合指数变化的原因，但深圳股票价 格综合指数是上海股票价格综合指数变化的原 因。注意：(1) 滞后期k的选取是任意的。实质上是一一 个判断性问题。一般来说要试检验若干个不同 滞后期k的格兰杰因果关系检验，且结论相同 时，才可以最终下结论。(2) 当做xt是否为导致yt变化的格兰杰原因检验时，如果zt也是yt变化的格兰杰原因， 且zt又与Xt相关，这时在

35、xt是否为导致yt变化 的格兰杰因果关系检验式的右端应加入zt的滞后项(实际上是3个变量VAR模型中的一个 方程)。(3) 不存在协整关系的非平稳变量之间不能 进行格兰杰因果关系检验。.7 VAR模型与协整如果VAR模型Yt = - i Yt-i + - 2 Yt-i + +二 k Yt-k + ut,ut IID (0,)的内生变量都含有单位根，那么可以用这些变 量的一阶差分序列建立一个平稳的VAR模型Yt= 1*Yt-1 + 二 2 Yt-2 + +二 k*Yt-k + ut*然而，当这些变量存在协整关系时，采用 差分的方法构造 VAR模型虽然是平稳的，但 不是最好的选择。如果Yt1(1)

36、，且非平稳变量间存在协整 关系。那么由这些非平稳变量组成的线性组合 则是平稳的。建立单纯的差分VAR模型将丢失重要的非均衡误差信息。因为变量间的协整 关系给出了变量间的长期关系。同时用这种非 均衡误差以及变量的差分变量同样可以构造平 稳的VAR模型。从而得到一类重要的模型， 这就是向量误差修正模型。对于k阶VAR模型，Yt =二 i Yt-i + 二 2 Yt-2 + k Yt-k + ut，其向量误差修正模型(VEC )的表达式是Yt =(二 1+二 2+-+ k-1)Yt-i-C 2+二 3+一+二 k) Yt-1 -(二 3 + -+ k) Yt-2 -二 k Yt - (k-1) +

37、Ut(8.45)k二二 i - I = 1 + 2 + +二 k -Ii =1k厂瓦 n j = - , j = 1,2,k-1，Yt=二 Yt-i + i Yt-i + 2 Yt-2 + + k-i Yt -(k-i)+ ut(8.47)二 称为压缩矩阵(impact matrix ,影响矩 阵)。口是全部参数矩阵的和减一个单位阵。二为多项式矩阵，其中每一个元素都是一个多 项式。运算规则于一般矩阵相同。滞后期的延 长不影响对协整向量个数的分析。根据Granger定理，向量误差修正模型 (VEC )的表达式是A?(L) (1- L) Yt = Yt-i + d (L) ut (8.48)其中A

38、?(L)是多项式矩阵A(L)分离出因子(i- L) 后降低一阶的多项式矩阵，d (L)是由滞后算子 表示的多项式矩阵。上式与(8.47)式完全相同。其中A?(L) (i- L) Yt = A?(L) Yt=Yt- i Yt-i - 2 Yt-2 -k-i Yt - (k-i) d(L) ut= ut在这里d (L)退化为单位列向量。若 Yt CI(i, i),比较(8.47)和(8.48)式 必然有其中P是协整矩阵，a是调整系数矩阵。和P 都是Nxr阶矩阵。表示有 r个协整向量，0 1, 2，-r,存在r个协整关系。因为Yt1(1), 所以 Yt I(0)。从VAR模型变换为模型向量误差修正模

39、 型称为协整变换 (cointegrating transformation)。压缩矩阵 n 决定模型VAR 模型中是否存在，以及以什么规模存在协整关系。若 Yt Cl(1, 1)，Yt 1(0)，所以除了二 Yt-1， 模型中各项都是平稳的。而对于二Yt-1有如下三 种可能。1) 当Yt的分量不存在协整关系，二的特 征根为零，二=0。2) 若 rank (口)= N (满秩)，保证 Yt-1 平稳的唯一一种可能是 Yr I(0)。3) 当Yt I(1)，若保证-Yt-1平稳，只有 一种可能，即Yt的分量存在协整关系。Yt 1(0)rank (二)=r1rN r n丫“/-1 n 1a 11a

40、21a1ra小2rI 11 y1,t1-1N yN,t-1.r1 y1,t1rN yN,t1 r 1N r11 ( 11 y1,t N1 ( 11 y1,t* * 1N yN,t_1)*Sr (r1 y1,t 十+卩氓 yN,t)* * 1N yN,t_1)*肚 Nr (卩 r1 y1,t * 卩 rN yN,t)小罚8.8单位根与二降秩的关系。下面分析VAR模型中存在单位根与压缩矩阵口降秩的关系。以k = 1的VAR模型为例,Yt = n i Yt-i + ut（8.56）它的VEC表达式是Yt= - Yt-i + ut。如果VAR模型中存在单位根，二一定降秩8.9 VAR模型中协整向量的估

41、计与检验8.9.1 VAR模型中协整向量的估计（略）.9.2 VAR模型中协整向量的检验检验存在r个协整向量（存在r个协整关系）, 即（N -r）个非协整向量，或者（N -r）个单 位根，可以表达为特征方程| - I | = 0相应（N -r）个特征值，几个等价检验：1）存在r个协整关系姿特征方程| - - I | = 0 存在r个非零特征值（根）2）存在r个协整关系幻VAR模型中存在（N -r）个单位根3）存在r个协整关系姿特征方程| - - I | = 0 相应（N -r）个特征值r+1,，N，为零。协整检验是一个连续检验过程。Yt=二 Yt-1 + 1Yt-1 + + k-1Yt - (

42、k-1) + Dt + Ut(1) 首先从检验r = 0开始。意即在 VAR模型中不存在协整向量(含有N个单位根)。如果r = 0不能被拒绝，说明 N个变量间不存在 协整关系。检验到此终止。不能建立VEC模型。如果r = 0被拒绝，则应继续进行下面的检 验。(2) r 1。意即在VAR模型中存在1个协整 向量(含有N-1个单位根)。如果r 1不能被 拒绝，检验到此终止。如果 厂1被拒绝，则应 进一步作如下检验。(3) r兰N -。意即在VAR模型中存在 N - 个协整向量(含有1个单位根)。如果M N - 不能被拒绝，检验到此终止。如果N -被拒绝，说明r =N。在检验过程中，比如 r 严-1已经被拒绝， 但M r*不能被拒绝，则结论是VAR模型(8.61) 中存在严个协整向量。(4) 协整检验过程中的每一步检验都属于右 单端检验。8.3.3 VEC模型中确定项的处理1.常数项的处理VEC模型中常数项的位置可分3种情形讨论。位置不同，相应的协整检验用表也不同。（1）常数项，完全属于协整空间。（2）常数项”的一部分进入协整空间，一 部分属于数据空间（VAR的常数项）。（3）常数项只进入数据空间