第六章用MATLAB求解微分方程及微分方程组

1、1. 微分方程的解析解微分方程的解析解 求微分方程（组）的解析解命令:dsolve(方程方程1, 方程方程2,方程方程n, 初始条件初始条件, 自变量自变量) 运行结果：u = tan(t-c)用用MATLAB求解微分方程求解微分方程解解 输入命令：dsolve(Du=1+u2,t) 解解 输入命令: y=dsolve(D2y+4*Dy+29*y=0,y(0)=0,Dy(0)=15,x)运行结果为 : y =3e-2xsin（5x）解解 输入命令 ： x,y,z=dsolve(Dx=2*x-3*y+3*z,Dy=4*x-5*y+3*z,Dz=4*x-4*y+2*z, t)； x=simple(

2、x) % 将x化简 y=simple(y) z=simple(z)运行结果为：x = (c1-c2+c3+c2e -3t-c3e-3t)e2t y = -c1e-4t+c2e-4t+c2e-3t-c3e-3t+c1-c2+c3)e2t z = (-c1e-4t+c2e-4t+c1-c2+c3)e2t 2. 用用Matlab求常微分方程的数值解求常微分方程的数值解t，x=solver（f,ts,x0,options）ode45 ode23 ode113ode15sode23s由待解方程写成的m-文件名ts=t0，tf，t0、tf为自变量的初值和终值函数的初值ode23：组合的2/3阶龙格-库塔-

3、芬尔格算法ode45：运用组合的4/5阶龙格-库塔-芬尔格算法自变量值函数值用于设定误差限(缺省时设定相对误差10-3, 绝对误差10-6),命令为：options=odeset（reltol,rt,abstol,at）, rt，at：分别为设定的相对误差和绝对误差. 1、在解n个未知函数的方程组时，x0和x均为n维向量，m-文件中的待解方程组应以x的分量形式写成. 2、使用Matlab软件求数值解时，高阶微分方程必须等价地变换成一阶微分方程组.注意注意:不同求解器Solver的特点求解器SolverODE类型特点说明ode45非刚性一步算法；4，5阶Runge-Kutta方程；累计截断误差达

4、(x)3大部分场合的首选算法ode23非刚性一步算法；2，3阶Runge-Kutta方程；累计截断误差达(x)3使用于精度较低的情形求解器SolverODE类型特点说明ode113非刚性多步法；Adams算法；高低精度均可到10-310-6计算时间比ode45短ode23t适度刚性采用梯形算法适度刚性情形ode15s刚性多步法；Gears反向数值微分；精度中等若ode45失效时，可尝试使用不同求解器Solver的特点求解器SolverODE类型特点说明ode23s刚性一步法；2阶Rosebrock算法；低精度当精度较低时，计算时间比ode15s短ode23tb刚性梯形算法；低精度当精度较低时，

5、计算时间比ode15s短解解: 令 y1=x，y2=y11、建立m-文件vdp1000.m如下： function dy=vdp1000(t,y) dy=zeros(2,1); dy(1)=y(2); dy(2)=1000*(1-y(1)2)*y(2)-y(1); 2、取t0=0，tf=3000，输入命令： T,Y=ode15s(vdp1000,0 3000,2 0); plot(T,Y(:,1),-)或 t,x=ode15s(t,x)x(2);1000*(1-x(1)2)*x(2)-x(1),0,3000,2;0);axisaxis(0 3000 -3 3),plot(t,x)3、结果如图0

6、50010001500200025003000-2.5-2-1.5-1-0.500.511.52解解 1、建立m-文件rigid.m如下： function dy=rigid(t,y) dy=zeros(3,1); dy(1)=y(2)*y(3); dy(2)=-y(1)*y(3); dy(3)=-0.51*y(1)*y(2);2、取t0=0，tf=12，输入命令： T,Y=ode45(rigid,0 12,0 1 1); plot(T,Y(:,1),-,T,Y(:,2),*,T,Y(:,3),+)3、结果如图024681012-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.81图

7、中，y1的图形为实线，y2的图形为“*”线，y3的图形为“+”线.导弹追踪问题导弹追踪问题 设位于坐标原点的甲舰向位于x轴上点A(1, 0)处的乙舰发射导弹，导弹头始终对准乙舰.如果乙舰以最大的速度v0(是常数)沿平行于y轴的直线行驶，导弹的速度是5v0，求导弹运行的曲线方程.又乙舰行驶多远时，导弹将它击中？解法一解法一（解析法）由(1),(2)消去t整理得模型:(3) 151)1 (2yyx解法二解法二(数值解)1.建立m-文件eq1.m function dy=eq1(x,y) dy=zeros(2,1); dy(1)=y(2); dy(2)=1/5*sqrt(1+y(1)2)/(1-x)

8、; 2. 取x0=0，xf=0.9999，建立主程序ff6.m如下： x0=0，xf=0.9999 x,y=ode15s(eq1,x0 xf,0 0); plot(x,y(:,1),b.) hold on y=0:0.01:2; plot(1,y,b*) 结论结论: 导弹大致在（导弹大致在（1，0.2）处击中乙舰）处击中乙舰2151 )1 (yyx)1/(15121221xyyyy令y1=y,y2=y1，将方程（3）化为一阶微分方程组。解法三解法三(建立参数方程求数值解) 设时刻t乙舰的坐标为(X(t)，Y(t)，导弹的坐标为(x(t)，y(t).3因乙舰以速度v0沿直线x=1运动，设v0=1

9、，则w=5，X=1，Y=t4. 解导弹运动轨迹的参数方程建立m-文件eq2.m如下： function dy=eq2(t,y) dy=zeros(2,1); dy(1)=5*(1-y(1)/sqrt(1-y(1)2+(t-y(2)2); dy(2)=5*(t-y(2)/sqrt(1-y(1)2+(t-y(2)2); 取t0=0，tf=2，建立主程序chase2.m如下： t,y=ode45(eq2,0 2,0 0); Y=0:0.01:2; plot(1,Y,-)， hold on plot(y(:,1),y(:,2),*)轨迹图如下例：例： 饮酒模型饮酒模型模型1：快速饮酒后，胃中酒精含量的

10、变化率Myykdtdy)0(1模型2：快速饮酒后，体液中酒精含量的变化率0)0(112xMekxkdtdxtk即tkMey1用Matlab求解模型2：syms x y k1 k2 M tx=dsolve(Dx+k2*x=k1*M*exp(-k1*t),x(0)=0,t)运行结果：M*k1/(-k1+k2)*exp(-k2*t+t*(-k1+k2)-exp(-k2*t)*M*k1/(-k1+k2)即：)(12211tktkeekkMkx用以下一组数据拟合上述模型中的参数k1、k2：时间(小时)0.250.50.7511.522.533.544.55酒精含量30687582827768685851

11、5041时间(小时)678910111213141516酒精含量3835282518151210774M=64000/490 =130.6122 （毫克百毫升） 建立函数文件：function f=curvefun1(k,t)f=k(1)*64000/490*(exp(-k(2)*t)-exp(-k(1)*t)/(k(1)-k(2) 输入拟合数据： t=0 0.25 0.5 0.75 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16; c=0 30 68 75 82 82 77 68 68 58 51 50 41 38 35 28 25 18 15 12 10 7 7 4;任取k1、k2的一组初始值：k0=2,1;输入命令：k=lsqcurvefit(curvefun1,k0,t,c) 运行结果为： k