线性代数试验--方阵对角化与matlab在微积分中的应用ppt课件

1、实验四实验四 方阵对角化与方阵对角化与MATLABMATLAB在微积分中的应用在微积分中的应用l4.1 特征值与特征向量特征值与特征向量l4.1.1 实验目的实验目的l1.掌握掌握MATLAB软件线性变换的几何软件线性变换的几何含义；含义；l2.掌握掌握MATLAB软件求解特征值和特软件求解特征值和特征向量的方法。征向量的方法。4.1.2 实验指导实验指导l下表给出与本次实验相关的下表给出与本次实验相关的MATLAB命令命令指令指令功能功能eig(A)以列向量形式返回方阵以列向量形式返回方阵A的特征值的特征值u, v =eig(A)返回两个矩阵返回两个矩阵u和和v，矩阵，矩阵v为矩阵为矩阵A的

2、特征值所构的特征值所构成的对角阵，矩阵成的对角阵，矩阵u的列为矩阵的列为矩阵A的单位特征向量，的单位特征向量，它与它与v中的特征值一一对应中的特征值一一对应poly矩阵的特征多项式矩阵的特征多项式solve(d)求代数方程的符号解求代数方程的符号解roots( ) 求多项式的零点求多项式的零点eigshow(A)用用MATLAB演示矩阵演示矩阵A的特征向量几何含义的特征向量几何含义4.1.3 实验内容实验内容l例例4.1.1 求求3阶方阵阶方阵A的特征多项式，并求特征值。的特征多项式，并求特征值。 191817161514131211Al解：方法一：解：方法一：l A=11 12 13;14

3、15 16;17 18 19; %输入矩阵输入矩阵Al PA=poly(A) %A的特征多项式的特征多项式lPA =l 1.0000 -45.0000 -18.0000 -0.0000 v=roots(PA) %求特征多项式零点，即特征值v = 45.3965 -0.3965 0.0000方法二： A=11 12 13;14 15 16;17 18 19; eig(A)ans = 45.3965 -0.3965 0.0000121010,0101AA30.50,02A4cossin,sincos2A。分别为的几何关系。其中与向量后，向量，请分析经过线性变换已知向量例iiiiAxyxAyx12

4、2 . 1 . 4图图4.1线性变化几何意义线性变化几何意义解：由附录解：由附录1.21.2程序可以画出如下图程序可以画出如下图4.14.1： 线性代数实验教学团队附录程序附录程序1.绘制向量程序：绘制向量程序： % 绘制二维向量函绘制二维向量函数数function drawvec(u)plot(0;u(1),0;u(2); % 画向量线段画向量线段hold ontheta=acos(u(1)/norm(u); % 计算夹角计算夹角if(u(2) syms k %定义定义k为符号变量为符号变量l A = 0.5 0.25; 0.25 0.5; %输入矩阵输入矩阵lB=A-k*eye(lengt

5、h(A) %构造矩阵构造矩阵B=A-KIlB = 1/2-k, 1/4l1/4, 1/2-kld=det(B); %计算B行列式 ld =lk2 - k + 3/16lv=solve(d) %求特征多项式的根lv =l 1/4l 3/4llamdal=eval(v) %化符号解为数值解llamdal =l 0.2500l 0.7500线性代数实验教学团队l方法二：用方法二：用MATLAB命令：命令：l A = 0.5 0.25; 0.25 0.5; %输入矩阵输入矩阵Al Q,d = eig(A) %求矩阵求矩阵A的特征值与特征向的特征值与特征向量量lQ =l -0.7071 0.7071l

6、0.7071 0.7071ld = %注意在对角线上的值才是注意在对角线上的值才是特征值特征值l 0.2500 0l 0 0.7500l A*Q(:,1) %验证Ax=kx lans =l -0.1768l 0.1768l 0.25* Q(:,1)lans =l -0.1768l 0.1768l特征值与特征向量的几何含义：特征值与特征向量的几何含义：lA = 0.5 0.25; 0.25 0.5; l eigshow(A) 图图4.2特征值与特征向量的几何意义特征值与特征向量的几何意义线性代数实验教学团队l4.3 方阵正交对角化方阵正交对角化l4.3.1 实验目的实验目的l1.掌握掌握MATL

7、AB软件方阵正交化的方法；软件方阵正交化的方法；l2.通过通过MATLAB软件进一步理解方阵对软件进一步理解方阵对角化意义。角化意义。线性代数实验教学团队4.3.2 4.3.2 实验指导实验指导l下表给出与本次实验相关的下表给出与本次实验相关的MATLAB命令命令为了能够更好的求得矩阵的为了能够更好的求得矩阵的n n次幂，需要对方阵进行对角化处理。次幂，需要对方阵进行对角化处理。 命令命令功能功能disp(suhuh)显示单引号中的字符串显示单引号中的字符串P,D=eig(A)矩阵矩阵D为矩阵为矩阵A的特征值所构成的对角阵，的特征值所构成的对角阵，矩阵矩阵P的列为矩阵的列为矩阵A的单位特征向量

8、，它与的单位特征向量，它与D中的特征值一一对应中的特征值一一对应4.3.3 实验内容实验内容例例4.3.2 化方阵化方阵222254245A为对角阵。为对角阵。 l解：解： a=2 2 -2;2 5 -4;-2 -4 5; %输入矩阵输入矩阵Al p,v=eig(a) %求特征值与特征向求特征值与特征向量量p = -0.2981 0.8944 0.3333 -0.5963 -0.4472 0.6667 -0.7454 0 -0.6667v = 1.0000 0 0 0 1.0000 0 0 0 10.0000vApp14.4 MATLAB在微积分中的应用在微积分中的应用4.3.1 实验目的实验

9、目的1.了解了解MATLAB软件在微积分中应用；软件在微积分中应用；2.掌握掌握MATLAB软件求泰勒展开式、不定积分软件求泰勒展开式、不定积分和定积分的方法；和定积分的方法；3.进一步理解进一步理解MATLAB软件在数学学习中的重软件在数学学习中的重要作用。要作用。线性代数实验教学团队4.3.2 4.3.2 实验指导实验指导l下表给出与本次实验相关的下表给出与本次实验相关的MATLAB命令命令命令命令功能功能taylor(f,n,x,a) 将将f进行泰勒展开进行泰勒展开syms x定义定义x为符号变量为符号变量int（s,v）以以v v为自变量，对被积函数或符号表为自变量，对被积函数或符号表

10、达式达式s s求不定积分求不定积分int(s,v,a,b)求定积分求定积分线性代数实验教学团队4.4.1 实验内容实验内容 泰勒多项式逼近泰勒多项式逼近12! )12()1(9!917!715!513!311sin nnxxxxxxxn)(2nxo 33!xyx353!5!xxyx3573!5!7!xxxyxxysin yxxsin6422464224xyO泰勒多项式逼近泰勒多项式逼近12! )12()1(9!917!715!513!311sin nnxxxxxxxn)(2nxo xsinxysin35793!5!7!9!xxxxyx3579113!5!7!9!11!xxxxxyx642246

11、Ox4224y线性代数实验教学团队例例4.4.1 将将21xx分别展开为分别展开为x和和x-1的幂级数的幂级数.解：计算关于解：计算关于x x展式的前展式的前8 8项项( (展开至展开至x7)x7) syms x f=x/sqrt(1+x2); taylor(f,8) ans = - (5*x7)/16 + (3*x5)/8 - x3/2 + x 线性代数实验教学团队计算关于计算关于x-1展式的前展式的前3项项, (展开至展开至(x-1)2) taylor(f,3,x,1) ans = 2(1/2)/2 + (2(1/2)*(x - 1)/4 - (3*2(1/2)*(x - 1)2)/16线

12、性代数实验教学团队例例4.4.2 关于关于xysin的泰勒展开式逼近的泰勒展开式逼近. syms x a=taylor(sin(x),3) %展开至展开至x2 a = x b=taylor(sin(x),5) %展开至展开至x4 b = x - x3/6 c=taylor(sin(x),11) %展开至展开至x10 c = x9/362880 - x7/5040 + x5/120 - x3/6 + x d=taylor(sin(x),13) %展开至展开至x12 d = -x11/39916800 + x9/362880 - x7/5040 + x5/120 - x3/6 + x解：解：线性代

13、数实验教学团队 ezplot(sin(x); hold on ezplot(x); hold on ezplot(x - x3/6); hold on ezplot(x9/362880 - x7/5040 + x5/120 - x3/6 + x); hold on ezplot(- x11/39916800 + x9/362880 - x7/5040 + x5/120 - x3/6 + x); grid on线性代数实验教学团队4.4.2 实验内容实验内容 符号积分符号积分符号积分由函数符号积分由函数int来实现来实现. 该函数的一般调用格该函数的一般调用格式为式为:int(s)：没有指定积分

14、变量时，系统按最接近：没有指定积分变量时，系统按最接近x的的变量对被积函数或符号表达式变量对被积函数或符号表达式s求不定积分。求不定积分。int(s,v)：以：以v为自变量，对被积函数或符号表达为自变量，对被积函数或符号表达式式s求不定积分。求不定积分。int(s,v,a,b)：求定积分运算。：求定积分运算。a,b分别表示定积分的分别表示定积分的下限和上限。该函数求被积函数在区间下限和上限。该函数求被积函数在区间a,b上的定上的定积分。积分。a和和b可以是两个具体的数，也可以是一个符可以是两个具体的数，也可以是一个符号表达式，还可以是无穷号表达式，还可以是无穷(inf)。例例4.4.2 知知c

15、bxaxf2，求，求)(xf的积分的积分. syms a b c x f=sym(a*x2+b*x+c) f = a*x2 + b*x + c int(f) ans = (a*x3)/3 + (b*x2)/2 + c*x 解：解： int(f,x,0,2) ans = (8*a)/3 + 2*b + 2*c int(f,a) ans = a*(c + b*x) + (a2*x2)/2 int(int(f,a),x) ans = (a*x*(a*x2 + 3*b*x + 6*c)/6 如何写作业四步骤如何写作业四步骤) )一、下载作业模板一、下载作业模板二、把二、把wordword更名为更名为 学号姓名第一次作学号姓名第一次作业，如，业，如， 20191041032019104103张三第一次作业张三第一次作业三、按照模板中题目要求开始作业三、按照模板中题目要求开始作业四、关闭四、关闭wordword文件文件如何交作业四步骤如何交作业四步骤) )一、打开桌面上一、打开桌面上IEIE浏览器浏览器输入输入 ftp2 ftp2 回车按下回车按下EnterEnter键键) )二、用户名填入二、用