离散时间系统的时域分析

1、1第七章第七章 离散时间系统的时域分析离散时间系统的时域分析7.1引言引言7.6卷积（卷积和）卷积（卷积和）7.5离散时间系统的单位样值响应离散时间系统的单位样值响应7.4常系数线性差分方程的求解常系数线性差分方程的求解7.3离散时间系统的数学模型离散时间系统的数学模型7.2离散时间信号离散时间信号序列序列27.1引言引言一一. 信号的分类：信号的分类： 按按时时间间特特性性. 1.tt对对应应特特定定时时间间: :离离散散对对应应所所有有时时间间: :连连续续按按幅幅值值特特性性. 2：幅幅度度量量化化幅幅度度连连续续：3模拟信号模拟信号)(tft0量化信号量化信号)(tft0123456离

2、散信号离散信号)(kfk01 2 3 4 5 6 7数字信号数字信号01 2 3 4 5 6 7312456)(kfk时间取值：时间取值：连续连续连续连续不连续不连续不连续不连续幅度取值：幅度取值：连续连续不连续不连续连续连续不连续不连续4二、连续时间系统与离散时间系统的比较二、连续时间系统与离散时间系统的比较连续时间系统连续时间系统离散时间系统离散时间系统微分方程微分方程差分方程差分方程数学模型数学模型( )H s系统函数系统函数H(z)经典法经典法卷积积分法卷积积分法时域分析时域分析经典法经典法卷积求和法卷积求和法拉普拉斯变换拉普拉斯变换傅里叶变换傅里叶变换变换域分析变换域分析z变换变换离

3、散傅里叶变换离散傅里叶变换()H j频响特性频响特性()jH e57.2 7.2 离散时间信号离散时间信号- -序列序列一一. .离散时间信号的表示离散时间信号的表示 离散系统中，信号用序列表示，如果序列的第离散系统中，信号用序列表示，如果序列的第n n项表示项表示为为f(nf(n) )，则全部信号序列表示为，则全部信号序列表示为f(nf(n), n), n为整数，表示函为整数，表示函数值在序列中出现的序号。数值在序列中出现的序号。 1 1、离散信号只在离散的时刻上有定义；、离散信号只在离散的时刻上有定义；2 2、离散信号可以看作是、离散信号可以看作是( (在满足奈奎斯特抽样率的条件下在满足奈

4、奎斯特抽样率的条件下) )对对连续信号进行理想抽样的结果，此时连续信号进行理想抽样的结果，此时3 3、离散信号在数学上可以表示为数值的序列，为了方便，序、离散信号在数学上可以表示为数值的序列，为了方便，序列列f(nf(n) )与序列的第与序列的第n n个值两者在符号上不加区别；个值两者在符号上不加区别；4 4、序列不一定是时间的函数。、序列不一定是时间的函数。6()x nT) 0( x)(Tx)2( Tx)3 ( Tx)5 ( TxnTTT2T3T4T50省略省略T1. 图解表示图解表示序列的表示方法序列的表示方法n123450) 0( x) 1 ( x) 2( x) 3 ( x) 5 ( x

5、)(nx72. 有序序列表示有序序列表示1120 0.51120nnx nnnn为其它值 1, 2, 0.5,1x n 或：或：0112n x n2115 . 03. 解析式表示解析式表示 0 x nn n x nn123450543218二、二、 序列的分类序列的分类1. 双边序列双边序列 序列序列x (n)对所有的整数对所有的整数n (- n )都存在确定的非零值。都存在确定的非零值。2. 单边序列单边序列有始序列（右边序列）：有始序列（右边序列）：0)(1nxnn，时时当当有终序列（左边序列）：有终序列（左边序列）：0)(2nxnn，时时当当序序列列的的有有终终序序列列称称为为反反因因果

6、果02n3. 有限序列有限序列。区间有非零确定值区间有非零确定值仅在仅在序列序列2nnn1x(n)x(n)列列的的有有始始序序列列称称为为因因果果序序01n9三、离散信号的一些基本运算三、离散信号的一些基本运算 1. 序列相加序列相加 序列序列x(n) 与与y(n)相加，是指两个序列同序号的数相加，是指两个序列同序号的数值逐项相应相加，而构成一个新的序列值逐项相应相加，而构成一个新的序列z(n) ，即，即 )()()(nynxnz)()()(nynxnz2. 序列相乘序列相乘 序列序列x(n) 与与y(n)相乘，是指两个序列同序号的数值相乘，是指两个序列同序号的数值逐项相应相乘，而构成一个新的

7、序列逐项相应相乘，而构成一个新的序列z(n) ，即，即:100521710)(1nnnnxn：解解0212112)(2nnnnnxn072121512)()(21nnnnnxnxnn01052212710)()(121nnnnnnxnxnn15210)(1nnnxn0202)(2nnnnxn113、序列时延、序列时延 指原序列指原序列x(n)逐项依次后移（右移）逐项依次后移（右移）m位后，给出位后，给出一个新序列一个新序列z(n)=x(n-m) 若向左移位（向前移位）为若向左移位（向前移位）为z(n)=x(n+m)n32101 2)(nxn) 1( nx32101 2n)1(nx3210123

8、4124、序列反褶、序列反褶 表示将自变量表示将自变量n换为换为n 即即 z(n)=x(-n)n)(nx32101 2n)(nx 32101 2135 5、尺度变换、尺度变换 将波形压缩或扩展，这时要按规律去处某将波形压缩或扩展，这时要按规律去处某些点或补足相应的零点值，这种运算又称序列些点或补足相应的零点值，这种运算又称序列重排。重排。) )则则为为波波形形的的扩扩展展。a an n而而x x( (构构成成x x( (a an n) )为为压压缩缩数数a a, ,若若将将自自变变量量n n乘乘以以正正整整。14 对于离散信号，由于仅在为整数时才有意义，进行对于离散信号，由于仅在为整数时才有意

9、义，进行尺度变换或波形的展缩时可能会使部分信号丢失或改尺度变换或波形的展缩时可能会使部分信号丢失或改变，因此，一般情况下不研究离散信号的尺度变换。变，因此，一般情况下不研究离散信号的尺度变换。156、序列差分、序列差分(对应于连续信号的微分对应于连续信号的微分)一阶前向差分一阶前向差分二阶前向差分二阶前向差分一阶后向差分一阶后向差分)() 1()(nxnxnx)() 1()()(2nxnxnxnx)() 1(2)2(nxnxnx) 1()()(nxnxnx二阶后向差分二阶后向差分) 2() 1(2)() 1()()()(2nxnxnxnxnxnxnx167、 序列的求和（累加）序列的求和（累加

10、） (对应于连续信号的积分对应于连续信号的积分)()(mxnynm 6111n3)()(mxnynm 324)(nx21131n3217任意序列可以分解为加权、延迟的单位样值信任意序列可以分解为加权、延迟的单位样值信号之和。即：号之和。即： 8、序列的分解、序列的分解 mx nx mnmdtftf)()()(181、单位样值信号（、单位样值信号（Unit Sample)四、常用的离散信号四、常用的离散信号)0(0)0(1)(nnn)(0)(1)(000nnnnnn)(0nn0n0n)(n0n(1) 筛选特性筛选特性)()()(mxmnnxn19 应用此性质，可以把任意离散信号应用此性质，可以把

11、任意离散信号x (n)表示为表示为一系列延时单位函数的加权和。一系列延时单位函数的加权和。mmnmxnxnxnxnx)()() 1() 1 ()() 0() 1() 1()(2) 加权特性加权特性)()()()(mnmxmnnx20 (t)用面积表示强度，用面积表示强度，(幅度为幅度为 ,但强但强度为面积度为面积) (n)的值就是的值就是n=0时的瞬时值（不时的瞬时值（不是面积）是面积） 000)(ttt1)(dtt0, 10, 0)(nnn (t) ：奇异信号，数学抽象函数；：奇异信号，数学抽象函数； (n)：非奇异信号，可实现信号。：非奇异信号，可实现信号。 (n)与与 (t) 区别区别:

12、)(nn21利用单位序列利用单位序列 (n)表示任意序列表示任意序列mmnmxnx)()()(例：例： ,0 ,0 , 3,0 ,5 .1, 1 ,0 ,0nnf 235 . 11nnn)(nfn22 3 232 42 23 34 4x nnnnxnxnxn 例如例如： x nn12340123232. 单位阶跃序列单位阶跃序列0001)(nnnu)(numnmnmnu01)(1131n202)(nu1131n20) 1( nu4)(),(mnAunAu000)()()(nnnxnunx性质：性质：推广：推广：24:)()(的的关关系系与与nnu) 1()()()(nununun)()(tut

13、ddt 对比：对比：dtu)()(0)() 3()2() 1()()(mmnnnnnnu253、矩形序列、矩形序列)()(),0(0) 10 (1)(0nnunuNnnNnnRN4、斜变序列、斜变序列)()(nnunx143210n.543210n12340265、指数序列、指数序列)()(nuanxn1a10 a01a1a276、正弦序列、正弦序列 (Sinusoidal sequence) 式中，式中， 是正弦序列包络的频率。是正弦序列包络的频率。000220,2010T)sin()(0nnx28列都是周期序列。列都是周期序列。注意：并非所有正弦序注意：并非所有正弦序正整数，称为周期。正整

14、数，称为周期。为使上式成立的最小实为使上式成立的最小实周期序列定义周期序列定义NNnxnx)()(：由周期序列的定义由周期序列的定义kN2要要使使上上式式成成立立：则则正正整整数数任任意意整整数数kN2)sin()sin()sin(NnNnn29：由周期序列的定义由周期序列的定义kN2要要使使上上式式成成立立：则则。，序列序列为无理数时，为非周期为无理数时，为非周期当当为最小整数的值为最小整数的值取使取使为有理数时为有理数时当当周期序列周期序列令令整数时整数时当当2(3)k2N2k2(2),2N1,k2(1)，k，k, ,为为)sin()sin()sin(NnNnn正正整整数数任任意意整整数数

15、kN2307.3 离散时间系统数学模型离散时间系统数学模型l离散线性时不变系统离散线性时不变系统l离散系统的数学模型离散系统的数学模型l从常系数微分方程得到差分方程从常系数微分方程得到差分方程l已知网络结构建立离散系统数学模型已知网络结构建立离散系统数学模型31一一.线性时不变离散时间系统线性时不变离散时间系统 TX(n)Y(n)=Tx(n)2.线性系统线性系统 满足均匀性与叠加性满足均匀性与叠加性1.系统定义系统定义:一个系统一个系统,若输入是离散时间信号若输入是离散时间信号,输输出也是离散时间信号出也是离散时间信号,则此系统为离散时间系统则此系统为离散时间系统.32离散线性时不变系统离散线

16、性时不变系统 线性：线性：1.叠加性：叠加性：2.均匀性：均匀性： 时不变性时不变性)(nxi)(nyi)(nhMiinx0)(Miiny0)()(nxaii)(nyaii)(mnxi)(mnyi33线性：均匀性和叠加性线性：均匀性和叠加性如果：如果：则：则：)(1nx)(1nyLTI)(2nx)(2nyLTI)()(2211nxcnxcLTI)()(2211nycnyc)()()()(11naynaxTnynxT则若)()(22nbynbxT)()(21nbxnaxT)()(21nxbTnxaT)()(21nbynay34时不变性：时不变性： 系统的运算关系系统的运算关系T在在 整个运算过程

17、中不随整个运算过程中不随时间（不随序列先后）而变化。时间（不随序列先后）而变化。若：若：则：则：LTI)(nx)(nyLTI)(Nnx)(Nny)()()()(nnyNnxTnynxT则则若若35二、二、离散时间系统的数学描述离散时间系统的数学描述差分方程差分方程)()(.)()()()(.)()(1111011110teEdttdeEdttedEdttedEtrCdttdrCdttrdCdttrdCmmmmmmnnnnnn连续系统的数学模型连续系统的数学模型基本运算：各阶导数，系数乘，相加基本运算：各阶导数，系数乘，相加36离散系统的数学模型离散系统的数学模型输入是离散序列及其时移函数输入是

18、离散序列及其时移函数输出是离散序列及其时移函数输出是离散序列及其时移函数系统模型是输入输出的线性组合系统模型是输入输出的线性组合 延时单元、系数乘，相加延时单元、系数乘，相加),.2(),1(),(nxnxnx),.2(),1(),(nynyny37 线性时不变离散系统的数学模型为线性时不变离散系统的数学模型为常系数线性常系数线性差分方程：差分方程：)() 1()(10NnyanyanyaN)() 1()(10MnxbnxbnxbM 各序列的序号自各序列的序号自 n 以递减方式给出，称以递减方式给出，称后向后向 (或或右移序右移序)差分方程。差分方程。MrrNkkrnxbknya00)()(或

19、写作或写作38另一种形式：另一种形式：)() 1()(01nyaNnyaNnyaNN)() 1()(01nxbMnxbMnxbMM 各序列的序号自各序列的序号自 n 以递增方式给出，称以递增方式给出，称前向前向 (或左或左移序移序)差分方程差分方程。MrrNkkrnxbknya00)()(或写作或写作NM 差分方程的差分方程的阶数阶数: 输出序列的最高序号与最低序号之差。输出序列的最高序号与最低序号之差。前向差分方程与后向差分方程之间可以相互转换。前向差分方程与后向差分方程之间可以相互转换。要求解要求解 n 阶差分方程，需要有阶差分方程，需要有n 个独立的初始条件个独立的初始条件 。 39三、

20、三、 离散时间系统的模拟离散时间系统的模拟1、离散时间系统的基本符号单元、离散时间系统的基本符号单元)(ny)1(ny1/E（a）单位延时）单位延时)(ny)(naya（b）相加）相加a)(ny)(nay)(nya)(nay（c）乘系数）乘系数)()(nynx)(ny)(nx)(ny)1(nyD40)(nyD)(nx)0(y)0() 1()(ynxny二二. 系统模拟系统模拟)()() 1(0nxnyany统统的的差差分分方方程程为为设设描描述述一一阶阶离离散散时时间间系系)()() 1(0nxnyany可可改改写写成成D0a)(ny)(nx) 1( ny41二阶系统的模拟二阶系统的模拟)()

21、() 1()2(01nxnyanyany统统的的差差分分方方程程为为设设描描述述二二阶阶离离散散时时间间系系)()() 1()2(01nxnyanyany可可改改写写成成)(nyD)(nxD)2( ny) 1( ny1a0a42一般二阶系统的模拟一般二阶系统的模拟)() 1()() 1()2(0101nxbnxbnyanyany)()() 1()2()(01nxnqanqanqnq使使设辅助函数设辅助函数，)() 1()(01nqbnqbny则则)(nqD)(nxD)2( nq) 1( nq1a0a)(ny1b0b高阶系统高阶系统的模拟可的模拟可以类推。以类推。43例：已知系统的差分方程如下，

22、试画出其模拟图。例：已知系统的差分方程如下，试画出其模拟图。) 1()()2() 1(7)(nxnxnynyny解：由系统的差分方程画模拟图的方法很多，如解：由系统的差分方程画模拟图的方法很多，如) 1()()2() 1(7)(nxnxnynynyD)(nxD71)(ny1D注意：模拟图中激励必须是注意：模拟图中激励必须是 x(n)，响应必须是，响应必须是 y(n)。这是一种不规范的模拟图，这是一种不规范的模拟图，它多用了一个延时器。它多用了一个延时器。44例：某离散系统如图所示，试写出其差分方程。例：某离散系统如图所示，试写出其差分方程。)(nyD)(nxD32) 1( ny) 1( ny解

23、：由模拟图知，加法器的输出为解：由模拟图知，加法器的输出为 ，另一延，另一延时器的输出为时器的输出为 。) 1( ny) 1( ny对加法器列方程，得对加法器列方程，得) 1(2)(3)() 1(nynynxny)() 1(2)(3) 1(nxnynyny整理，得整理，得45一阶差分一阶差分)() 1()(nxnaynyE1)(nxa)(ny(a)() 1(1)(nxnyany) 1( nyE1a)(nx)(ny(b)46图图输输出出延延时时一一位位。) )图图较较( (a a) ) 响响应应形形式式相相同同，但但( (b b不不同同。在在相相同同输输入入下下，出出端端有有所所 区区别别，仅仅

24、输输出出信信号号的的取取 1 1这这两两个个系系统统没没有有本本质质讨讨论论：类似。类似。解方法与后向差分方程解方法与后向差分方程4、前向差分方程的求4、前向差分方程的求方程。方程。习惯用前向形式的差分习惯用前向形式的差分3、在状态变量分析中3、在状态变量分析中字滤波器描述）。字滤波器描述）。如数如数向差分方程比较方便（向差分方程比较方便（2、一般因果系统用后2、一般因果系统用后E1)(nxa)(ny(a) 1( nyE1a)(nx)(ny(b)47四、差分方程的迭代求解四、差分方程的迭代求解)()()() 1()(.0)2() 1 ()2(20) 1 ()0() 1 (11)(0)0() 1

25、()0(02nuanyanxnaynynnaaaxayynaaxayynnxayynnn，)()()() 1()(nnxnxnayny当差分方程阶次较低时常用此法当差分方程阶次较低时常用此法48五、从常系数微分方程得到差分方程五、从常系数微分方程得到差分方程在连续和离散之间作某种近似在连续和离散之间作某种近似)()(nyty)() 1(1)(nynyTdttdys49)()(txtydtdyTtyTtydtdy)()()(1) 1(1)()(nyTnyTTnTyTnTydtdy)()()1 () 1(nTxnyTny)(tyTt)(Tty50)(tx)(ty)()()(txtydttdyRC取近似：取近