工程力学3-空间力系.

1、1第第3章章 空间力系空间力系工程力学2第第3章章 空间力系空间力系3.1 力在空间直角坐标轴上的投影力在空间直角坐标轴上的投影3.2力对轴之矩力对轴之矩3.3 空间力系的平衡方程空间力系的平衡方程3.4 重心重心本本 章章 目目 录录3第第3章章 空间力系空间力系3.1 力在空间直角坐标轴上的投影力在空间直角坐标轴上的投影 力在空间直角坐标系中的表示：力在空间直角坐标系中的表示： xzy OF xzy OF43.1.1 直接投影法直接投影法已知力与已知力与 x、y、z 轴夹角轴夹角 、 、 。 FxFcos Fy Fcos FzFcos 90 FyFzOFxyz Fx第第3章章 空间力系空间

2、力系3.1 力在空间直角坐标轴上的投影力在空间直角坐标轴上的投影 FzFyFxi j k 若把力沿直角坐标轴分解，已知力投影，可求力的大小与方向。力的解析表达式为：xyzFF iF jF k zzFF k yyFF j xxFF i 分力与投影之间的关系：5xz FyO 已知力已知力F 与与 z 轴夹角轴夹角 ，以及在与该轴垂直平面上的投影与另，以及在与该轴垂直平面上的投影与另一轴的夹角一轴的夹角 。(2) (2) Fxy向向 x、y 轴投影轴投影Fz Fcos FxyFsin (1) (1) F 向向 z 轴和轴和 xy 面投影面投影Fx Fsin cos Fy Fsin sin FzFxF

3、yFx Fsin cos Fy Fsin sin Fz Fcos 力在面上的投影只能力在面上的投影只能用矢量来表示。用矢量来表示。3.1.2二次投影法二次投影法Fxy第第3章章 空间力系空间力系3.1 力在空间直角坐标轴上的投影力在空间直角坐标轴上的投影 6 平面上力对一点之矩，实际上为力使物体对过该点与平面上力对一点之矩，实际上为力使物体对过该点与平面垂直的轴的力矩。即：平面垂直的轴的力矩。即：xyF平面上平面上 实际中，当力不作用在垂直与转轴的平面内时，力也可实际中，当力不作用在垂直与转轴的平面内时，力也可使物体转动。仅有平面上力对点的力矩的概念是不够的。使物体转动。仅有平面上力对点的力矩

4、的概念是不够的。)()(FMFhFMzO 因此：因此：yxz空间空间F7hBzyOx分解分解Fxy在与在与z轴垂直的轴垂直的xy面内面内FFz z经验可知经验可知：Fz不能使门转动，只有不能使门转动，只有Fxy对门对门有转动效应，且这种转动效应与力有转动效应，且这种转动效应与力Fxy的大小的大小及其作用线到点及其作用线到点O的距离的距离h有关。有关。hFFMFMxyxyOz )()(为代数量为代数量即：力对轴之矩，等于力在即：力对轴之矩，等于力在垂直于该轴垂直于该轴的平面上的投影对轴与平面交点之矩。的平面上的投影对轴与平面交点之矩。Fz Fxy 力对轴之矩定义式为：力对轴之矩定义式为：FA1、

5、力与轴平行，矩为零。、力与轴平行，矩为零。即：即： 力与轴位于同一平面内时，力与轴位于同一平面内时，矩为零。矩为零。2、力与轴相交，矩为零。、力与轴相交，矩为零。特殊情况：特殊情况：8 合力矩定理合力矩定理逆逆 z 轴看，轴看，Fxy使物体绕使物体绕O点逆时针转动为正，反之为负。点逆时针转动为正，反之为负。 空间任意力系的合力对于任一轴的矩等于力系中所有各空间任意力系的合力对于任一轴的矩等于力系中所有各力对于该轴的矩的代数和。（用于求力矩）力对于该轴的矩的代数和。（用于求力矩）符号规定符号规定：右手螺旋法则：右手螺旋法则：四指屈向表四指屈向表Fxy绕绕O点转动方向，拇指与点转动方向，拇指与 z

6、 轴指向一致为正，反之为负。轴指向一致为正，反之为负。 FMz 0 0zOFxyFxy FMz 0 0zOFxy9例题例题3-1 如图所示，已知手柄的如图所示，已知手柄的A点作用力点作用力F500N。求力。求力F在三个坐标轴上在三个坐标轴上的投影及对三个坐标轴之矩。（单位：的投影及对三个坐标轴之矩。（单位：mm）解解：FxyFcos 60 Fz Fsin 60 433.01N 作辅助坐标系作辅助坐标系Axyz，先将先将 F 沿沿z轴和轴和Axy面分解，再将面分解，再将Fxy沿沿 x、y轴轴分解。根据分力和投影的关系可得力分解。根据分力和投影的关系可得力F在三个坐标轴上的投影：在三个坐标轴上的投

7、影：FxFcos 60 cos 45 176.75NFyFcos 60 sin45 176.75N10例题例题3-1 如图所示，已知手柄的如图所示，已知手柄的A点作用力点作用力F500N。求力。求力F在三个坐标在三个坐标轴上的投影及对三个坐标轴之矩。（单位：轴上的投影及对三个坐标轴之矩。（单位：mm）解：解：力力F 对三个坐标轴的力矩对三个坐标轴的力矩：176 75 0 235 35Nmxxymm.FF176 75 0 2433 01 0.05=57NmxzFFFyyymmm. 176 7 0.05=8.8NmyFFzzmm. Fz 433.01NFx176.75NFy176.75N113.3

8、 空间力系的平衡方程空间力系的平衡方程1、可仿照平面一般力系的简化，由力系简化得到平衡方程。、可仿照平面一般力系的简化，由力系简化得到平衡方程。2、直观上，空间力系可使物体、直观上，空间力系可使物体 x 、 y 、 z 沿方向移动、绕沿方向移动、绕x 、 y 、 z 轴转动。轴转动。6个独立方程，求解个独立方程，求解 6个未知量。个未知量。xzOy用下列方法可得到空间力系的平衡方程：用下列方法可得到空间力系的平衡方程：若物体处于平衡状态，则物体不会沿任意方向变速移动和不会若物体处于平衡状态，则物体不会沿任意方向变速移动和不会绕任意轴变速转动。绕任意轴变速转动。不移不移不转不转不移不移不移不移不

9、转不转不转不转000000 xyzxyzFFFmmm 12设汇交点为坐标原点，则：设汇交点为坐标原点，则：3个独立方程，求解个独立方程，求解3个未知量。个未知量。空间汇交力系平衡方程：空间汇交力系平衡方程：000 xyzmmm 平衡方程为：平衡方程为：OF1F2Fn空间力系平衡方程空间力系平衡方程xzy000000 xxyyzzFmFmFm000 xyzFFF 13空间力系平衡方程空间力系平衡方程000000 xxyyzzFmFmFm设各力平行设各力平行 z 轴，则：轴，则：000zxyFmm 3个独立方程，求解个独立方程，求解3个未知量。个未知量。 000 xyzFFmFF1F2Fn空间平行

10、力系平衡方程：空间平行力系平衡方程：平衡方程为：平衡方程为：xzOy14PQABCDMa例题例题3.2 已知圆桌半径已知圆桌半径r500mm，重力，重力P600N，圆桌的三脚，圆桌的三脚A、B、C形成等边三角形。若中线形成等边三角形。若中线CD上距圆心为上距圆心为a的点的点M作用铅垂力作用铅垂力Q1500N。求：。求：1、三脚对地面的约束力；、三脚对地面的约束力； 2、使圆桌不致翻到的最大、使圆桌不致翻到的最大距离距离a。FAFBFC解：解：以圆桌为研究对象以圆桌为研究对象aMxyyxzDABC15解：解：以圆桌为研究对象以圆桌为研究对象 0zF0 xM0 yMFA+FB+FCP Q 0FBr

11、cos30FArcos300Q a +FCrFArsin30FBrsin300例题例题3.2AB900NFF C12300N33QaFPQr C12033QaFPQr mm600150050035022 1500PQ raQ 在载荷在载荷Q作用下，圆桌要翻倒时，作用下，圆桌要翻倒时，C腿将离开地面，使腿将离开地面，使FC0。 因此，若要圆桌不翻到，必须因此，若要圆桌不翻到，必须FC0。解得：解得：解得：解得：16AA60 xyFF cosBB60 xyFF cosCC60 xyFF cosTT60 xyFF cos0 xF AB30300 xyxyFcosFcos0yF ABTC30300 x

12、yxyxyxyFsinFsinFF0zF ABCT606060600F sinF sinF sinF sinPAB31 55kNFF.C1 55kNF.解得：解得：列平衡方程：列平衡方程：解：解：各力在各力在xy面的投影为：面的投影为：取整体为研究对象取整体为研究对象例例3-3 用三脚架和绞索提升重为用三脚架和绞索提升重为P 30kN的物体，已知如图。的物体，已知如图。求匀速提升物体时各杆所受的力。求匀速提升物体时各杆所受的力。170 xF ABT1T230300 xxFFF cosFcos0zF ABT1T230300zzFFF sinFsinP0FxmBT1T210003060030600

13、3000zFF sinFsinP0FymT1T21002002000PFF 0FzmT1T2B306003060010000 xF cosFcosFA5.2kNxF A8kNzFB7 8kNxF. B4 5kNzF.T1T2210kNFF联立求解得：联立求解得：解：研究对象：研究对象：皮带轮、鼓轮、轴以及重物皮带轮、鼓轮、轴以及重物例例3-4 起重装置如图，皮带轮半径起重装置如图，皮带轮半径R200mm，鼓轮半径，鼓轮半径r100mm，皮带紧边张力皮带紧边张力FT1是松边张力是松边张力FT2的的2倍。皮带与水平方向夹角为倍。皮带与水平方向夹角为30 。试求匀速提升重为试求匀速提升重为10kN的

14、物体时，皮带的张力和两个轴承的约束力。的物体时，皮带的张力和两个轴承的约束力。18xzyo3.4 3.4 重心重心PC1P1P2PiCiC2C物体的重力物体的重力是地球对物体的吸引力。是地球对物体的吸引力。 若将物体视为无数微元的若将物体视为无数微元的集合，则所有微元所受地球引集合，则所有微元所受地球引力近似构成力近似构成空间平行力系空间平行力系。 实验证明，无论物体怎样放置，其重力永远通过物实验证明，无论物体怎样放置，其重力永远通过物体内一个固定的点，该点为物体的重心。体内一个固定的点，该点为物体的重心。其合力即为物体的重力。其合力即为物体的重力。iPP 其中心即为物体的重心。其中心即为物体

15、的重心。3.4.1重心的概念及坐标公式19C1122nnii-PyPyP yP yPy C1 122nniiPxPxP xP xPxC1 122nnii-PzPzP zP zPz 根据合力矩定理，对根据合力矩定理，对x轴取矩：轴取矩：对对y轴取矩：轴取矩：为求重心位置为求重心位置zC，将坐标系和物体同时绕，将坐标系和物体同时绕x轴转轴转90 如图如图,对对x轴取矩：轴取矩：3.4 重心重心3.4.1重心的概念及坐标公式iicx PxP iicy PyP iicz PzP 重心坐标公式:20 xzyC1P1P2PiPCiC2CxCyCzCxiyiziiicx PxP 对于均质物体，单位体积的重量

16、为对于均质物体，单位体积的重量为 。则：则：Pi=Vi P= Viicy PyP iicz PzP 重心坐标重心坐标iicxVxV iicyVyV iiczVzV 一般情况下，重心的坐标公式：一般情况下，重心的坐标公式：VdVxxVc VdVyyVc VdVzzVc 对于对于均质物体均质物体重心位置仅取决于物体的几何形状和尺寸，此重心位置仅取决于物体的几何形状和尺寸，此时，时，重心又为物体的几何中心，即形心。重心又为物体的几何中心，即形心。3.4.1重心的概念及坐标公式21均质等厚的薄板均质等厚的薄板，由若干块组合而成，每块物体面积为，由若干块组合而成，每块物体面积为 A1, A2，. An，

17、重心在对称面上的坐标为（，重心在对称面上的坐标为（x1,y1） （x2,y2） （xn,yn），那么整个物体的重心为：），那么整个物体的重心为：iiiiCCA xA yxyAAiAA 一般情况下，薄板的重心为：一般情况下，薄板的重心为：3.4.1重心的概念及坐标公式ACx dAxA ACy dAyA 22 R 3.4.2 确定物体重心的方法确定物体重心的方法（1）简单几何形状的物体的重心）简单几何形状的物体的重心 均质物体有对称面、对称轴、对称中心，物体的重心一定在对称均质物体有对称面、对称轴、对称中心，物体的重心一定在对称面、对称轴、对称中心上。面、对称轴、对称中心上。xy例题：例题：求图示

18、扇形面积的重心。求图示扇形面积的重心。解：解：RRddA 21 dR32 cos32Ry AdAAAdAyyAc 22cos3221RdRR sin32R 对于半圆对于半圆2 ，重心，重心 34RyC 由对称性，有由对称性，有xC0 0 2221RdR23ddAb( y ) y)()(yhhbyb20C1dd6132hAb(hy)y ybhy AhhyAAbh例例3-6 求图示三角形的形心求图示三角形的形心y坐标。坐标。在距在距x轴为轴为y处，取宽度为处，取宽度为dy的狭长条作为微面积如图，则：的狭长条作为微面积如图，则：由三角形相似，可得：由三角形相似，可得：形心的坐标为：形心的坐标为：解：解：3.4.2 确定物体重心的方法确定物体重心的方法24112233C12332mmx Ax Ax AxAAA112233C12327mmy Ay Ay AyAAA：A130 10，x115，y145解：解：建立参考坐标系建立参考坐标系Oxy。将图形分割为三部分，确定各部分的面积和形心坐标：将图形分割为三部分，确定各部分的面积和形心坐标：代入公式可得：代入公式可得：A240 10，x235，y230：A330