高等代数(第三版)10.3双线性函数

1、第十章第十章 双线性函数与辛空间双线性函数与辛空间 10.3 10.3 双线性函数双线性函数一、双线性函数的定义及性质一、双线性函数的定义及性质 二、对称双线性函数二、对称双线性函数第十章第十章 双线性函数与辛空间双线性函数与辛空间 10.3 10.3 双线性函数双线性函数一、双线性函数的概念一、双线性函数的概念12211221221122(1) ()( ,)( ,)(2)(, )(, )(, )fkkk fk ff kkk fk f 11， 设V是数域P上的线性空间，f是V到P的一个二元函数，如果f满足11(,)f 2212式中,是中任意向量，k ,k 是中任意数，则称为上双线的一个性函数第

2、十章第十章 双线性函数与辛空间双线性函数与辛空间 10.3 10.3 双线性函数双线性函数例1 欧氏空间V的内积是V上双线性函数例2 设12( ),( )ff都是线性空间V上的线性函数，则12( ,)( )()fff 是V上一个双线性函数第十章第十章 双线性函数与辛空间双线性函数与辛空间 10.3 10.3 双线性函数双线性函数例3、设nP是数域P上n维列向量构成的线性空间，(, )f X YX AY令则 是 上的一个双线性函数(, )f X YnP,nnnX YPAP第十章第十章 双线性函数与辛空间双线性函数与辛空间 10.3 10.3 双线性函数双线性函数则V上双线性函数可表示为11(,)

3、nnijijijfX YX AYa x y 定理 设V是P上一个n维线性空间，双线性函数的表达式第十章第十章 双线性函数与辛空间双线性函数与辛空间 10.3 10.3 双线性函数双线性函数1211121212221212 ( ,)( ,)( ,)( ,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)( ,)4nnnnnnnnfVffffffAffff 设为数域P上n维线性空间上的一个双线性函数， ， ， ，是的一组基，则矩阵叫做在 ， ， ，下定义的度量矩阵第十章第十章 双线性函数与辛空间双线性函数与辛空间 10.3 10.3 双线性函数双线性函数结论1: 在给定基下,V上全体双线性函数与P上的全体n级

4、矩阵之间有一个双射.结论2：同一个双线性函数在不同基下的度量矩阵是合同的第十章第十章 双线性函数与辛空间双线性函数与辛空间 10.3 10.3 双线性函数双线性函数 ( ,)( ,)fff 设为线性空间上的一个双线性函数，如果，对任意的，可推出 ，就叫定义做非退化的 ( ,)f 双线性函数是非退化的充分必要条件为其度量矩阵为结论非退化矩阵第十章第十章 双线性函数与辛空间双线性函数与辛空间 10.3 10.3 双线性函数双线性函数二、对称双线性函数 (,)(,)()(,)(,)()(,)fffffff 设为线性空间上的一个双线性函数，如果对中任意两个向量，都有，则称为如果对中任意两个向量，都有，

5、则称定义为对称双线性函数反对称双线性函数第十章第十章 双线性函数与辛空间双线性函数与辛空间 10.3 10.3 双线性函数双线性函数 (,)().(,)(). ffff双 线 性 函 数 是 对 称 的当 且 仅 当，当 且 仅 当 它 在 任 一 组 基 下 的度 量 矩 阵 是 对 称 矩 阵双 线 性 函 数 是 反 对 称 的当 且 仅 当 -，当 且 仅 当 它 在 任 一 组 基 下 的度 量 矩 阵 是 反 对结称 矩 阵论第十章第十章 双线性函数与辛空间双线性函数与辛空间 10.3 10.3 双线性函数双线性函数12 ( ,)5( ,)nff 设为数域P上n维线性空间上的一个对

6、称双线性函数，则存在V的一组基 ， ， ，使在这组基下的度量矩定理阵为对角阵.第十章第十章 双线性函数与辛空间双线性函数与辛空间 10.3 10.3 双线性函数双线性函数121 1 ( , ),( , )(0)niirrfxyfx yx yrn ii设V为复数域上n维线性空间,是上的对称双线性函数，则存在V的一组基 ， ， ，对中任意向量 有推论第十章第十章 双线性函数与辛空间双线性函数与辛空间 10.3 10.3 双线性函数双线性函数121 111 ( , ),( , )(0)niipppprrfxyfx yx yxyx yprn ii设V为实数域上n维线性空间，上的一个对称双线性函数，则存

7、在V的一组基 ， ， ， ，对中任意向量 有2推论第十章第十章 双线性函数与辛空间双线性函数与辛空间 10.3 10.3 双线性函数双线性函数 ( ,)( ,)( ,)fff 设V为数域上线性空间,是上的对称双线性函数，定义当 时，上函数称为对二次齐应的次函数第十章第十章 双线性函数与辛空间双线性函数与辛空间 10.3 10.3 双线性函数双线性函数1 ( , ),()11,()00()0,1,rsiiijkffirfijfV ks -r1设为n维线性空间上的反对称双线性函数，则存在V的一组基 ， ， ,使, , ,定理第十章第十章 双线性函数与辛空间双线性函数与辛空间 10.3 10.3 双

8、线性函数双线性函数1 ( , )( ,)01,( ,)0iiijffinfij 上的对称双线性函数如果是非退化的，则存在V的一组基， ，,使 结论1第十章第十章 双线性函数与辛空间双线性函数与辛空间 10.3 10.3 双线性函数双线性函数1 ( , )( ,)11,( ,)00iiijffirfij -1r-r上的反对称双线性函数如果是非退化的，则存在V的一组基， ,使 结论2 第十章第十章 双线性函数与辛空间双线性函数与辛空间 10.3 10.3 双线性函数双线性函数 fff设V为数域上线性空间,在上定义了一个非退化双线性函数，则称为一个当 是非退化对称双线性函数时，称为上的；当是维实线性空间时， 是非退化对称双线性定义8双线性度量空间正交空间准欧