大学二年级概率论与随机过程概率第六节

1、 离散型随机变量的分布离散型随机变量的分布 两点分布两点分布均匀分布均匀分布二项分布二项分布泊松分布泊松分布几何分布几何分布二项分布二项分布泊松分布泊松分布1010.p,n 两点分布两点分布1 n回回 顾顾 一、分布函数的概念一、分布函数的概念二、分布函数的性质二、分布函数的性质三、例题讲解三、例题讲解四、小结四、小结第三节第三节 随机变量的分布函数随机变量的分布函数 对于随机变量对于随机变量X, 我们不仅要知道我们不仅要知道X 取哪些值取哪些值, 还要知道还要知道 X 取这些值的概率取这些值的概率 ; 而且更重要的是想知而且更重要的是想知道道 X 在任意有限区间在任意有限区间(a,b)内取值

2、的概率内取值的概率.21xXxP 12xXPxXP )(2xF)(1xF21xXxP 分布分布函数函数 ).()(12xFxF ?一、分布函数的概念一、分布函数的概念例如例如内的概率内的概率落在区间落在区间求随机变量求随机变量,(21xxX1.概念的引入概念的引入 2.分布函数的定义分布函数的定义说明说明(1) 分布函数主要研究随机变量在某一区间内取值分布函数主要研究随机变量在某一区间内取值的概率情况的概率情况.)(,的分布函数的分布函数称为称为函数函数是任意实数是任意实数是一个随机变量是一个随机变量设设定义定义XxXPxFxX .)()2(的一个普通实函数的一个普通实函数是是分布函数分布函数

3、xxF 实例实例 抛掷均匀硬币抛掷均匀硬币, 令令 ., 0, 1出反面出反面出正面出正面X求随机变量求随机变量 X 的分布函数的分布函数.解解1 Xp0 Xp,21 0 1x,0时时当当 x, 0 0)( xXPxF 0 1x,10时时当当 x)(xXPxF 0 XP;21 ,1时时当当 x)(xXPxF 0 XP1 XP2121 . 1 . 1, 1, 10,21, 0, 0)(xxxxF得得 );,(, 1)(0)1( xxF);(),()()2(2121xxxFxF 证明证明21xx 由由,21xXPxXP 得得).()(21xFxF 故故1xX ,2xX ,)(11xXPxF 又又,

4、)(22xXPxF 二、分布函数的性质二、分布函数的性质 , 0)(lim)()3( xFFx,)(xXPxF 0lim)(lim xXPxFxxxoxo; 1)(lim)( xFFx证明证明,越越来来越越小小时时当当 x,的的值值也也越越来来越越小小xXP 有有时时因因而而当当, x(, ),(,)XxxX 同样,当时必然落在内 ).(),()(lim)4(000 xxFxFxx即任一分布函数处处即任一分布函数处处右连续右连续. ., 1,0, 0, 0)(221211xxxxxpxxpxxF. 1lim)(lim xXPxFxx所以所以xo)(xF 1x 2x 1p 2p 1 重要公式重要

5、公式),()() 1 (aFbFbXaP ).(1) 2(aFaXP 证明证明,bXaaXbX 因为因为, bXaaX,bXaPaXPbXP 所以所以).()(aFbFbXaP 故故 ,TTTTTHTHTHTTTHHHTHHHTHHHS 因此分布律为因此分布律为818383813210pX解解则则三、例题讲解三、例题讲解.31,5 . 5,31, XPXPXPXX列概率值列概率值并求下并求下的分布律及分布函数的分布律及分布函数求求出现的次数出现的次数三次中正面三次中正面表示表示将一枚硬币连掷三次将一枚硬币连掷三次例例1,反面反面正面正面设设 TH ;218381 ,0时时当当 x,10时时当当

6、 x求分布函数求分布函数)(xXPxF x o 1 2 3)(xXPxF 0 XP;810 iaip)(xXPxF 1iaip0 XP1 XP; 0 ,21时时当当 x ,32时时当当 x;87838381 ,3时时当当 x)(xXPxF )(xXPxF 2ixip0 XP1 XP2 XPx o 1 2 3. 1 3ixip0 XP1 XP2 XP3 XP 31 XP313P XP XP X) 1 () 3(FF 41188 . 3 , 1, 32 ,87, 21 ,84, 10 ,81, 0 , 0)(xxxxxxF所所以以3P X3.8 5 . 5 XP5 . 51 XP31 XP 13

7、XPXP) 1 () 3(FF 5 . 55 . 51 XPXP418 1.2011 . 0 的分布律为的分布律为设随机变量设随机变量 XXkp321 412141解解)(,3 , 2 , 1xXPxFxX 且且处取得概率值处取得概率值只在只在由于由于例例2.32,2523,21, XPXPXPX并求并求的分布函数的分布函数求求 . 3, 1, 32,21, 21,1, 1, 0)(xxXPXPxXPxxF得得 . 3, 1, 32,43, 21,41, 1, 0)(xxxxxF即即 )(xXPxF 由由,41 )23()25(2523FFXP .214143 2)2()3(32 XPFFXP

8、)21(21FXP 得得21431 .43 请同学们思考请同学们思考不同的随机变量不同的随机变量,它们的分布函数一定也不相它们的分布函数一定也不相同吗同吗?答答 ., 1;, 1., 1;, 121出反面出反面出正面出正面出反面出反面出正面出正面XX不一定不一定.例如抛均匀硬币例如抛均匀硬币, 令令 . 1, 1; 11,21; 1, 0)(xxxxF函数函数但它们却有相同的分布但它们却有相同的分布同的随机变量同的随机变量是两个不是两个不则不同则不同在样本空间上的对应法在样本空间上的对应法与与,21XX xxkkpxXPxF)(分布函数分布函数分布律分布律kkxXPp 离散型随机变量分布律与分

9、布函数的关系离散型随机变量分布律与分布函数的关系 例例3 一个靶子是半径为一个靶子是半径为2米的圆盘米的圆盘,设击中靶上任设击中靶上任一同心圆盘上的点的概率与该圆盘的面积成正比一同心圆盘上的点的概率与该圆盘的面积成正比,并设射击都能中靶并设射击都能中靶,以以X表示弹着点与圆心的距离表示弹着点与圆心的距离.试求随机变量试求随机变量 X 的分布函数的分布函数.解解,0时时当当 x,是不可能事件是不可能事件xXP 02,x当时222024xxPXx; 0)( xXPxF于是于是设设x为同心圆盘的半径为同心圆盘的半径 于是于是)(xXPxF ,2时时当当 x故故 X 的分布函数为的分布函数为 . 2,

10、 1, 20,4, 0, 0)(2xxxxxF0 XP0 xXP .42x )(xXPxF . 1 其图形为一连续曲线其图形为一连续曲线 ., 0, 20,2)(其它其它若记若记tttf.d)()(ttfxFx 则则,()()(上的积分上的积分在区间在区间恰是非负函数恰是非负函数xtfxF.为连续型随机变量为连续型随机变量此时称此时称 X注意注意 两类随机变量的分布函数图形的特点不两类随机变量的分布函数图形的特点不一样一样. .)( xxkipxXPxF2.分布律与分布函数的关系分布律与分布函数的关系1.离散型随机变量的分布函数离散型随机变量的分布函数四、小结四、小结 一、概率密度的概念与性质

11、一、概率密度的概念与性质二、常见连续型随机变量的分布二、常见连续型随机变量的分布三、小结三、小结第四节连续型随机变量及其概第四节连续型随机变量及其概率密度率密度 性质性质. 0)()1( xf. 1d)()2( xxf证明证明 .d)()(1xxfF .,)(,d)()(,),(简称概率密度简称概率密度率密度函数率密度函数的概的概称为称为其中其中为连续型随机变量为连续型随机变量则称则称有有使对于任意实数使对于任意实数非负函数非负函数存在存在的分布函数的分布函数如果对于随机变量如果对于随机变量XxfXttfxFxxFXx 一、概率密度的概念与性质一、概率密度的概念与性质1.定义定义 xo)(xf

12、11d)( xxfS1SxxfSxxd)(211 )()()3(1221xFxFxXxP xxfxxd)(21 xxfxd)(2 证明证明.d)(21xxfxx )()(1221xFxFxXxP xxfxd)(1 1x 2x ).()(,)()4(xfxFxxf 则有则有处连续处连续在点在点若若)(aFaXP ,d)(xxfa 1aXPaXP xxfxxfad)(d)( )(1aF xxfxxfad)(d)( .d)(xxfa 同时得以下计算公式同时得以下计算公式 注意注意 对于任意可能值对于任意可能值 a ,连续型随机变量取连续型随机变量取 a 的概率等于零的概率等于零.即即. 0 aXP证

13、明证明aXP . 0 由此可得由此可得xxfxaaxd)(lim0 连续型随机变量的概率与区间的开闭无关连续型随机变量的概率与区间的开闭无关bXaP bXaP bXaP .bXaP . 0 aXP若连续型随机变量若连续型随机变量 X=a 是不可能事件是不可能事件,则有则有, 0 aXP若若是是不不可可能能事事件件aX . 0 aXP若若 X=a 为离散型随机变量为离散型随机变量, 注意注意连连续续型型离离散散型型是是不不可可能能事事件件则则不不能能确确定定aX .271)3(;)2(;)1(., 0, 43,22, 30,)( XPXkxxxkxxfX求求的分布函数的分布函数求求确定常数确定常

14、数其它其它具有概率密度具有概率密度随机变量随机变量设设解解, 1d)()1( xxf由由例例1 的概率密度为的概率密度为知知由由Xk61)2( ., 0, 43,22, 30,6)(其它其它xxxxxf, 1d)22(d3043 xxxkx得得.61 k解之得解之得 03030,0,d ,03,6( )d(2)d ,34,621,4.xxxttxF xttttxx( )( )dxF xf tt由得 . 4, 1, 43,423, 30,12, 0, 0)(22xxxxxxxxF即即271)3( XP)1()27(FF .4841 .)3(;2)2(;,)1(:., 1,arcsin, 0)(的

15、概率密度的概率密度随机变量随机变量的值的值系数系数求求的分布函数为的分布函数为设连续型随机变量设连续型随机变量XaXaPBAaxaxaaxBAaxxFX 例例2 ),(lim)(xFaFax 故有故有解解 (1) 因为因为 X 是连续型随机变量是连续型随机变量, )(lim)(xFaFax ,)(连续连续所以所以xF aaBAarcsin aaBAarcsin即即BA2 , 0 BA2 , 1 .1 B ., 1,arcsin121, 0)(axaxaaxaxxF所所以以,21 A解之得解之得 )2(aF 0)2arcsin(121 aa6121 2)2(aXaP )( aF .32 )()(

16、xFxf 的概率密度为的概率密度为随机变量随机变量 X)3( ., 0,122其其它它axaxa 二、常见连续型随机变量的分布二、常见连续型随机变量的分布).,(,),(, 0,1)(baUXbaXbxaabxfX记记为为区区间间上上服服从从均均匀匀分分布布在在区区间间则则称称其其它它具具有有概概率率密密度度设设连连续续型型随随机机变变量量定定义义 1. 均匀分布均匀分布xo)(xf a b概率密度概率密度函数图形函数图形 均匀分布的意义均匀分布的意义,),(Xba变量变量上服从均匀分布的随机上服从均匀分布的随机在区间在区间.),(性是相同的性是相同的内的可能内的可能中任意等长度的子区间中任意

17、等长度的子区间落在区间落在区间baxo)(xf a bab 1 lablp l ., 1, 0)(bxbxaabaxaxxF分布函数分布函数xo)(xF a b 1 例例3 设电阻值设电阻值R是一个随机变量是一个随机变量, 均匀分布在均匀分布在900欧欧1100欧欧.求求R的概率密度及的概率密度及R 落在落在950欧欧1050欧的概率欧的概率.解解由题意由题意,R 的概率密度为的概率密度为 ., 0,1100900),9001100(1)(其其它它rrf故有故有1050950 RP. 5 . 0d20011050950 r 例例4 设随机变量设随机变量 X 在在 2, 5 上服从均匀分布上服从

18、均匀分布, 现现对对 X 进行三次独立观测进行三次独立观测 ,试求至少有两次观测值试求至少有两次观测值大于大于3 的概率的概率. X 的分布密度函数为的分布密度函数为 ., 0, 52,31)(其它其它xxf设设 A 表示表示“对对 X 的观测值大于的观测值大于 3 的次数的次数”,解解即即 A= X 3 . 2 YP.2720 因而有因而有设设Y 表示表示3次独立观测中观测值大于次独立观测中观测值大于3的次数的次数,则则.32,3 bY 32132232033213233 3)( XPAP由由于于,32d3153 x ,0,( )0,0.0,.xXexf xxX定义设连续型随机变量的概率密度

19、为其中为常数 则称服从参数为 的指数分布2. 指数分布指数分布记为：记为：XE() 某些元件或设备的寿命服从指数分布某些元件或设备的寿命服从指数分布.例如例如无线电元件的寿命无线电元件的寿命 , 电力设备的寿命电力设备的寿命, 动物的寿动物的寿命等都服从指数分布命等都服从指数分布.应用与背景应用与背景分布函数分布函数1,0,( )0, 0.xexF xx 例例5 设某类日光灯管的使用寿命设某类日光灯管的使用寿命 X 服从参数为服从参数为=1/2000的指数分布的指数分布(单位单位:小时小时)(1)任取一只这种灯管任取一只这种灯管, 求能正常使用求能正常使用1000小时以小时以上的概率上的概率.

20、 (2) 有一只这种灯管已经正常使用了有一只这种灯管已经正常使用了1000 小时以小时以上上,求还能使用求还能使用1000小时以上的概率小时以上的概率. . 0, 0, 0,1)(20001xxexFxX 的分布函数为的分布函数为解解 1000)1( XP10001 XP)1000(1F .607. 021 e10002000)2( XXP10001000,2000 XPXXP10002000 XPXP 1000120001 XPXP)1000(1)2000(1FF .607. 021 e指数分布的重要性质指数分布的重要性质 :“无记忆性无记忆性”. ).,(,)0(,21)(22)(22NX

21、XxexfXx记为记为的正态分布或高斯分布的正态分布或高斯分布服从参数为服从参数为则称则称为常数为常数其中其中的概率密度为的概率密度为设连续型随机变量设连续型随机变量定义定义 3. 正态分布正态分布(或或高斯分布高斯分布) 正态概率密度函数的几何特征正态概率密度函数的几何特征;)1(对称对称曲线关于曲线关于x ;21)(,)2(xfx取得最大值取得最大值时时当当 ; 0)(,)3(xfx时时当当;)4(处有拐点处有拐点曲线在曲线在x ;,)(,)6(轴作平移变换轴作平移变换着着只是沿只是沿图形的形状不变图形的形状不变的大小时的大小时改变改变当固定当固定xxf;)5(轴为渐近线轴为渐近线曲线以曲

22、线以 x=-2 .,)(,)7(图形越矮越胖图形越矮越胖越大越大图形越高越瘦图形越高越瘦越小越小而形状在改变而形状在改变不变不变图形的对称轴图形的对称轴的大小时的大小时改变改变当固定当固定xf 正态分布的分布函数正态分布的分布函数texFxtd21)(222)( 正态分布是最常见最重要的一种分布正态分布是最常见最重要的一种分布,例如例如测量误差测量误差; 人的生理特征尺寸如身高、体重等人的生理特征尺寸如身高、体重等 ;正常情况下生产的产品尺寸正常情况下生产的产品尺寸:直径、长度、重量直径、长度、重量高度等都近似服从正态分布高度等都近似服从正态分布.正态分布的应用与背景正态分布的应用与背景 正态

23、分布下的概率计算正态分布下的概率计算texFxtd21)(222)( xXP ? 原函数不是原函数不是初等函数初等函数方法一方法一:利用利用MATLAB软件包计算软件包计算(演示演示)方法二方法二:转化为标准正态分布查表计算转化为标准正态分布查表计算 ).1, 0(,1, 0),(2NN记为记为态分布态分布的正态分布称为标准正的正态分布称为标准正这样这样时时中的中的当正态分布当正态分布 标准正态分布的概率密度表示为标准正态分布的概率密度表示为,21)(22 xexx 标准正态分布标准正态分布标准正态分布的分布函数表示为标准正态分布的分布函数表示为.,d21)(22 xtexxt 标准正态分布的

24、图形标准正态分布的图形 .225. 1),1 , 0( XPNX求求已已知知解解225. 1 XP)25. 1 ()2( 8944. 09772. 0 例例6 . 0828. 0 见见P240P240，附表，附表3 3 ).1 , 0(),(2NXZNX 则则若若引理引理证明证明的分布函数为的分布函数为XZ xZP xXPxXP ,d21222)( xtte得得令令,ut xZP xuued2122),(x ).1 , 0( NXZ 故故 解解xedcxd21222)( ,ux 令令ueudcd2122 dXcP ueudcd2122 .),(2dXcPNX 求求已已知知例例7 d ueudd

25、2122 ueucd2122 )()(cFdFdXcP 因因而而. cd . c . cddXcP 即即 例例8 证明证明).(1)(xx xexxxd21)(22 xexxd2122 xexd2122 xexxd2122 ).(1x 证明证明 (1) 所求概率为所求概率为89 XP)2(5 . 09089 )2(1 9772. 01 .0228. 0 解解例例9002.,(),( ,0.5 ).(1)90,89.(2)800.99,?d CXCXN ddXd将一温度调节器放置在贮存着某种液体的容器内调节器设定在液体的温度以计是一个随机变量 且若求小于的概率若要求保持液体的温度至少为的概率不低于问 至少为多少 99. 080)2( XP99. 0801 XP99. 0)80(1 F99. 05 . 0801 d ,01. 099. 015 . 080 d 327. 20.5-80 d即即.1635.81 d 分布函数分布函数概率密度概率密度三、小结三、小结2. 常见连续型随机变量的分布常见连续型随机变量的分布 xttfxFd)()(. 1 连续型随机变量连续型随机变量均匀分布均匀分布正态分布正态