概率论正态总体的假设检验

1、概率论正态总体的假设检验某车间用一台包装机包装葡萄糖.包得的袋装糖当机器正常时,某日开工后为检验包装机是否正常,包装的糖9袋,称得净重为(公斤):0.497 0.506 0.518 0.524 0.4980.511 0.520 0.515 0.512问机器是否正常?例例1 1重是一个随机变量X, 且),(2NX其均值为=0.5公斤, 标准差=0.015公斤.随机地抽取它所00:0.5H5 . 0:1H解解：先提出假设（=0.05）第1页/共41页统计量：拒绝域：02|.xzzn代入计算，022.21.96xzn511. 0)512. 0497. 0(91x0.02521.96,zz常，认为包装

2、机工作不正于是拒绝0H0XZn第2页/共41页例例20:40H1:40H解解 先提出假设先提出假设某工厂生产的固体燃料推进器的燃烧率某工厂生产的固体燃料推进器的燃烧率X 服从服从，正常时均值为，正常时均值为=40=40生产一批推进器，从中随机取生产一批推进器，从中随机取n n = 25= 25只，测得燃烧率只，测得燃烧率得样本均值得样本均值，问工艺革新后燃烧率，问工艺革新后燃烧率正态分布，即正态分布，即),(2NXcm/scm/s，标准差标准差=2cm/s=2cm/s（不变）（不变）, ,现用新的生产方法现用新的生产方法（ =0.05=0.05）41.25/xcm s是否有显著的提高是否有显著

3、的提高? ?统计量：0XZn第3页/共41页0.051.645zz查表查表zz所以落在了拒绝域之内，拒绝所以落在了拒绝域之内，拒绝H0 ，接受，接受H1 认为工艺革新后燃烧率有显著的提高。认为工艺革新后燃烧率有显著的提高。拒绝域为拒绝域为zz计算计算0|3.125/xzn-第4页/共41页2、未知、未知2，检验，检验00:H01:H未知2，可用样本方差212)(11nkkXXnS代替20100:HH统计量：0XTSnT 检验拒绝域：02| |(1)xttnsn第5页/共41页,:00H01:H统计量：拒绝域：(1)ttn右边检验,:00H01:H统计量：拒绝域：(1)ttn 左边检验0XTSn

4、0XTSn第6页/共41页抽取6件, 得尺寸数据如下:),(2NX232.56, 29.66, 31.64, 30.00, 31.87, 31.03问这批产品是否合格?某工厂生产的一种螺钉， 标准要求长度是32.5毫米实际生产的产品其长度 X 假定服从正态分布 ，未知，现从该厂生产的一批产品中例例3 3（ =0.01）统计量：拒绝域：02| |(1)xttnsn0XTSn解: :提出假设 H0：=0=32.5；H1： 0第7页/共41页0322. 4)5()5(005. 02 tt| | 2.997t 将数据代入计算，0322. 4，认为产品合格。所以接受0H第8页/共41页解: :得拒绝域为

5、t t0.05(9)=1.8331例例4 4 某厂生产镍合金线，其抗拉强度X的均值为10620 (kg/mm2)今改进工艺后生产一批镍合金线，抽取10根,测得抗拉强度(kg/mm2)为: 10512, 10623, 10668, 10554, 10776, 10707, 10557, 10581, 10666, 10670. 认为 ,取=0.05 ,问新生产的镍合金线的抗拉强度是否比过去生产的合金线抗拉强度要高?),(2NX0100:HH，0XTSn取统计量第9页/共41页t10631.4106200.451.83318110所以接受H0。代入计算，第10页/共41页正态总体均值的假设检验正态

6、总体均值的假设检验的检验均值单个总体一),(.2NX检验）的检验（已知，关于Z2. 1nXZ0检验）的检验（未知，关于t2. 20100:HHnSXT00100:HH第11页/共41页某次考试的考生成绩某次考试的考生成绩从中随机地抽取从中随机地抽取3636位考生的成绩，平均成绩为位考生的成绩，平均成绩为63.563.5分，分，),(2NX2, 未知，未知，例例5 5标准差标准差 s =15分，分， 问在显著水平问在显著水平0.05下是否可以认为下是否可以认为全体考生的平均成绩为全体考生的平均成绩为70分？分？ 求求的置信水平为的置信水平为0.95的置信区间。的置信区间。001:70:70HH拒

7、绝域为拒绝域为0/2| |(1)/xttnsn-解解 先提出假设先提出假设0XTSn取统计量第12页/共41页0.025(35)2.0301t| | 2.6t故落在拒绝域之内，拒绝故落在拒绝域之内，拒绝H0 ，接受，接受H1即不能认为全体考生的平均成绩为即不能认为全体考生的平均成绩为70分。分。 的置信水平为的置信水平为0.95的置信区间为的置信区间为/2(1)sxtnn0.02515(63.5(35)36t(58.425,68.575)计算计算| | 2.6t 第13页/共41页二、关于二、关于2假设检验假设检验在显著性水平条件下检验假设20212020:HH其中0是已知常数，例例1 已知某

8、种延期药静止燃烧时间T,),(2NT今从一批延期药中任取10副测得静止燃烧时间（单位秒）数据为3804. 1857. 13836. 14059. 13405. 13424. 14021. 13789. 14053. 13760. 1问：是否可信这批延期药的静止燃烧时间T的方差为)05. 0(.025. 022解：解：提出假设222220010:0.025:HH第14页/共41页提出假提出假设设由于s 2集中了2的信息，自然想用s 2与2进行比较)1n(/S)1n(2202如果H0为真，所以取统计量2220(1)nS|00为真拒绝HHP22122200(1)(1)nSnSPkPk22122200

9、(1)(1)nsnskk或H0为真) 1(2n拒绝域形式：222220010:0.025:HH第15页/共41页)(22n2 yfx)(221n222122200(1)(1)nSnSPkPk) 1(221nk) 1(,2212nk即拒绝域为：) 1() 1(2212222nn或第16页/共41页本题7 . 2) 9 () 1(2975. 0221n023.19) 9 () 1(2025. 022n根据样本值算得6176. 7025. 0023. 09222023.197 . 22则接受H0 。22025. 0可信这批延期药的静止燃烧时间T的方差为显然第17页/共41页（ =0.05）解: :

10、提出假设某次统考后随机抽查26份试卷, 测得平均成绩:试分析该次考试成绩标准差是否为已知该次考试成绩取统计量例例2 2查表分分，样本方差1625 .752Sx分左右。12),(2NX12:12:100HH2220(1)nS12.13)25(2975. 0646.40)25(2025. 0根据样本值算得125.28121622522646.4012.132故接受H0 。显然表明考试成绩标准差与12无显著差异。第18页/共41页，：；：左边检验：20212020HH；拒绝域：) 1(212n，：；：右边检验：20212020HH。拒绝域：) 1(22n20212020:HH统计量拒绝域：) 1()

11、 1(2212222nn或2220(1)nS第19页/共41页(=0.05) , 熔化时间80802120：，：HH拒绝域为20229S统计量：7 .13808 .12192所以接受 H0919. 61)9()9(05. 0222例例3 3电工器材厂生产一批保险丝，取10根测得其熔化时间（min）为42, 65, 75, 78, 59, 57, 68, 54, 55, 71.问是否可以认为这批保险丝合格？),(2NX解解以往合格的标准是融化时间的方差不大于80，16.919第20页/共41页某学生参加体育培训班结束时其跳远成绩某学生参加体育培训班结束时其跳远成绩X 近似近似例例4 4服从正态分

12、布，鉴定成绩是均值为服从正态分布，鉴定成绩是均值为576cm，标准差为，标准差为8cm，若干天后对该学生独立抽查，若干天后对该学生独立抽查10次，得跳远成绩次，得跳远成绩数据为数据为578，572，580，568，572，570，572，570，596，584，问该学生跳远成绩水平是否与鉴定成绩有，问该学生跳远成绩水平是否与鉴定成绩有显著差异？（显著差异？（=0.05）解1110,576.2niinxxn22211()74.17781niisxnxn第21页/共41页 提出假设取统计量取统计量查表查表(1)222(1)22001:8:8HH2220(1)nS20.975(9)2.70020.0

13、25(9)19.023拒绝域为拒绝域为22298s9 74.177810.4364其中其中221/2(1)n或或22/2(1)n22.719.023由于由于即可以认为即可以认为,未落在拒绝域之内未落在拒绝域之内,故接受故接受H0 。228第22页/共41页 提出假设取统计量取统计量查表查表(2)(2)001:576:576HH00/XZn/20.0251.96zz拒绝域为拒绝域为576|8/xzn576.25760.0798/ 10其中其中/2| zz0.079综合与综合与,该生跳远成绩水平与鉴定成绩无显著差异该生跳远成绩水平与鉴定成绩无显著差异.因此未落在拒绝域之内因此未落在拒绝域之内,故接

14、受故接受H0 ,即可以认为即可以认为576第23页/共41页8.3 两个正态总体均值与方差的假设检验两个正态总体均值与方差的假设检验11,nXX设为总体211(,)XN 的一个样本21,nYY222(,)YN 的一个样本, X与Y相互独立。为总体一、两个总体均值差的假设检验2212,均为已知，1、21检验,:210H,:211H统计量：221212XYUnn拒绝域：2|.uz第24页/共41页,:210H,:211H统计量：拒绝域：uz,:210H,:211H统计量：拒绝域：uz 221212XYUnn221212XYUnn第25页/共41页1222212未知未知, 关于关于的假设检验的假设检

15、验双边假设检验双边假设检验012112:HH其中为已知常数。统计量222112212(1)(1)2nSnSSnn1211wXYTSnn第26页/共41页左边假设检验左边假设检验右边假设检验右边假设检验故拒绝域为故拒绝域为/21212| |(2)1/1/xyttnnsnn12(2)ttnn 12(2)ttnn012112:HH012112:HH拒绝域为拒绝域为拒绝域为拒绝域为第27页/共41页注意：注意：在关于12的假设检验中，通常=0，即检验12是否成立。相互独立,从X 中取10个样品，问能否218.04,0.0204xs12例例1 1 假设总体认为2212(,),(,),XNYNXY 与从Y

16、 中取10个样品，227.94,0.0825ys？（=0.05）解解 提出假设012112:0:0HH22212未知第28页/共41页故拒绝域为/21212| |(2)1/1/xyttnnsnn计算2212990.22718sss8.047.94| |0.9850.227 1/101/10t/2120.025(2)(18)2.1009tnnt0.985未落在拒绝域之内,接受H0 ,可以认为12第29页/共41页二、两个正态总体方差的假设检验二、两个正态总体方差的假设检验12和均未知的条件下双边假设检验2222012112:HH211222(1,1)SFF nnS选取统计量(当H0 为真)故拒绝

17、域为2212/212/(1,1)ssFnn或22121/212/(1,1)ssFnn第30页/共41页左边假设检验右边假设检验拒绝域为拒绝域为2222012112:HH2222012112:HH2212112/(1,1)ssFnn221212/(1,1)ssF nn第31页/共41页例例2 2、 设某种产品来自甲、乙两个厂家，为考察产品性能的差异，现从甲乙产品中分别抽取了8件和9件产品，测其性能指标X，得到两组数据，经对其作相应运算得008. 0,238. 0,006. 0,190. 0222211sxsx假定测定结果服从正态分布),2 , 1)(,(2iNXii?10. 0) 1 (2221

18、条件下，能否认为在检验水平为加以说明。的置信区间，并对结果的置信度为求90%)2(21第32页/共41页解解: (1)检验假设2222012112:HH统计量：2221SSF 或拒绝域：由条件知，2212128,9,/0.006/0.0080.75,nnss查表得，,50. 3)8 , 7() 1, 1(05. 0212/FnnF,73. 31)7 , 8(1)8 , 7() 1, 1(05. 059 . 0212/1FFnnF2212/212/(1,1)ssFnn22121/212/(1,1)ssFnn第33页/共41页显然，50,. 375. 073. 31,:22210H所以，接受原假设即认为两总体方差相等。（2）由（1）的结论知但其值未知，,2221所以的置信水平为1-的置信区间为12)11)2(21212/21nnSnntXXw11(0.1900.2381.75310.0071)89( 0.120,0.024) 因为此区间包含因为此区间包含0，故可以认为两总体均值差为，故可以认为两总体均值差为0。第34页/共41页某车间用一台包装机包装葡萄糖.包得的袋装糖当机器正常时,某日开工后为检验包装机是否正常,包装的糖9袋,称得净重为(公斤):0.497 0.506 0.518 0.524 0.4980.511 0.520 0.515 0.512问机器是否正