第二章集成光子学平面介质光波导和

1、第2章 平面介质光波导和耦合模理论深圳大学光电工程学院柴广跃2.1 平面光波导的射线光学分析2.2 平面光波导的波导方程分析 2.2.1 TE模的场方程及传播模式 2.2.2 TM模的场方程及传播模式2.3 有损光波导2.4 条形光波导的波导方程分析 2.4.1 模 2.4.2 模2.5 耦合模理论 2.5.1 模式耦合 2.5.2 平面光波导的耦合模微扰理论 2.5.3 导模之间的耦合 2.5.4 导模与辐射模之间的耦合 2.5.5 光波导的激励ymnExmnE目录目录第2章 平面介质光波导和耦合模理论 平板光波导（仅在x方向具有折射率差） 条形光波导（在x、y方向均具有折射率差）Ridge

2、 waveguidStrip loaded waveguidBuried waveguid2.1 平面光波导的射线光学分析1122sinsinnn21sincnarcnSnell定律2.1.1光的全反射现象2.1.4-全反射临界角c21nn反射光的Fresnel定律222112111122222112211211cossincoscoscoscoscossinrosionnnEnnrrEnnnnn2.1.42222211211/2112/2222/2112211211cossincoscoscoscoscossinroPionnnnEnnrrEnnnnnn2.1.5当 时，振幅反射率均为实数，

3、即：一部分反射，一部分折射 211arcsinnn当 时，rp=1,即：对P型偏振光，只存在反射波，不存在透射波211arcsinnn2222/cossincossinrrrrriiiiIIIIIRRRIIII2222/cossincossintrtttiiiiIIIIITTTIIII入射波为线偏振光，-入射光电场矢量偏振面与入射面的夹角光从空气入射到到普通玻璃时反射率R随入射角的变化曲线反射率与1入射光的偏振态，2入射角，3折射率差有关无损耗介质：1RT有损耗介质：1RT何种光可以方可在光波导中传输（纵模）？光场在光波导截面中的能量分布（横模）？分布对光波导性能的影响？模式之间的关系？相邻光

4、波导之间的关系？同上吸收系数的物理起因与分析123nnn1n2n3n23nn-非对称波导23nn-对称波导非对称波导传导模条件为非对称波导传导模条件为2121sincnn3131sincnn1213sinsinsinicc辐射模？传导模？辐射模？传导模？衬底衬底芯层芯层覆盖层（包层）覆盖层（包层）传导模传导模辐射模辐射模自由空间传输的平面波与波导中传播的平面波( , )exp ()ZooEz tEjtk z2/ook 1sinZikk在波导中传播的波为锯齿状，可分解为沿Z方向传播的行波和沿X方向传播的驻波定义：沿Z方向的导模 传播常数为1112/ookn kn-在折射率n1的自由空间沿Z方向传

5、播的电磁波的波矢量分量（传播常数）1n2n3n1( , )exp ()ZoEz tEjtk z110 12/oknk n真空波矢量折射率为n1介质2、平面光波导的模式及传播常数31sincnn21sinsnn123nnnsin 1 1 sin c c sin s ssin c c sin 1 1 sinsin s ssinsin c c2121ookkn kn k0320k nn k300n k芯层芯层包层包层芯层芯层包层包层衬底衬底01sinik n带入123nnnZ方向-行波-传播常数x方向-驻波模式m特征方程n驻波条件2dm11011coscosxkkk n定义1n2n3nd2xdmk

6、d0 1123cosk ndm2.2.242.2.23m=0,1,2,zx相位突变为包层界面全反射时的的相位突变为衬底层界面全反射时312131232121212222/0cos)/(sinarctan22/0cos)/(sinarctannnnn特征方程01123cosk n dm 对结构参数一定的波导，给定的m对应于特定的分离的1(m)，对应着分离的导模传导常数 每个对应着一个传导模式 存在多个模式的波导-多模波导多模波导 仅能存在一个模式的波导-单模波导单模波导 单模只能是模号最低的传导模式-基模基模2.2.23 波导的结构参数？纵模纵模？某个传导模式在光波导Z方向的能量分布形式某个传导

7、模式在光波导X方向的能量分布形式传导模传导模？光波导中满足特征方程决定条件的光波形式23xk dm123nnnm=00Kd单模m=1Kdk0n1,场随x绝对值的增大而增大，不存在，无解基模的能量最集中！基模的能量最集中！3、导模截止波长及单模传输条件0 1123cosk n dm002 /k 思路：由特征方程可知， k ， m不变，1导模截止波长c定义：由导模变为泄露模21sinsnn对称平板光波导的基模不截止导模截止条件推导思路：将带入特征方程222223232212sinsin0,arctanarctancosscsnnnn221232cdnnm22122cdnnm截止时，传导模的条件为

8、Y的扁条形波 导中， 是主 模11yE4.3.2 模xmnE/yxmnmnEE222222 1/2max12142 2()()/Nk WX nnnn其推导过程和结果与2.3.1类似 一套m、n值对应一对 1.条形波导中的最大模式数目在 ， 的条件下成立23nn45nn2.5 耦合模理论2.5.1 模式耦合2.5.2 平面介质光波导的耦合模微扰理论2.5.3 导模之间的耦合 2.5.3.1 同向耦合 2.5.3.2 反向耦合2.5.4 导模和辐射模的耦合 2.5.4.1 耦合模方程 2.5.4.2 输出耦合 2.5.4.2 输入耦合2.5.5 光波导的激励 2.5.5.1 棱镜耦合法 2.5.5

9、.2 光栅耦合法 2.5.5.3 对接耦合 2.5.5.4 其它耦合方法2.5.1 模式耦合 定义：一个波导中由于某种原因产生的由一种模式向另外一种模式的转换，或多个波导组成的系统中，其中一个波导传输的模式向另外波导模式的转移 实质：模式的能量变换 例子：假设一无损沿Z轴传输的电磁波： 其导数为：exp ()ajtzdaj adz 两个发生耦合的电磁波的振幅分别为a1、a2 ,两者的关系有101 1122221 1022dajaK adzdaK ajadz 2.4.1耦合波方程01、 02 -分别是不存在耦合时两个波的波数K12 （K21 ）-耦合系数，表示模式2对模式1传输模场的影响（模式1

10、对模式2传输模场的影响）；实数或虚数；由耦合机制、器件结构、材料等决定同向：反向：*1221KK*1221KK 2.5.2 平面介质光波导的耦合微扰理论-耦合方程公式2.5.1的推导过程20( , )( , )( , )E r tP r tE r ttt000( , )( , )( , )( , ) ( ) ( , )pertP r tP r tPr tP r trE r t( , )pertPr t波导方程2.2.0.5改写成2.4.22.4.3-耦合波相关的微扰引起的极化强度20( , )( , )ypertyE r tEPr ttt2.4.46个分量由于存在扰动，可将耦合波导中的光场展开

11、为波导中所有可能模式的电磁场的线性叠加()1( , )( )( )exp ().2mymymmEr tAz Exjtzcc2.4.0.5c.c代表前一项的复共轭项，m第m个本征值由公式2.4.4可得直角坐标下的分量波导方程22()2()2()( )( )0mmmyyErErx 2.4.0.6把2. 4.0.5带入2.4.0.6，并做“缓慢”假设及各本证模场分布函数的正交性 ，s=m,为1，其余为022mmmd AdAdzdz()( ),2msyxs mmEEdx, s m可以得到公式2.4.1及另外一种表示式( )( )2()()( )2( , )( )2ssjtzjtzssspertyydA

12、dAjeeccPr tEx dxdzdzt 2.4.5s模式阶数，“+、-” -波的传播方向2.5.3 导模之间的耦合-1、同向耦合2个波导很近时波场近似为两个无扰动波场之和( )ayE( )byEx( )( )( )( )exp( )( )expayyabybEA z ExjzB z Exjz2.4.6微扰极化强度( )220( )22( )( )( )( )exp( )( )( )( )expayaapertbybbA z Ex nxnxjzPB z Ex nxnxjz2.4.7带入公式2.4.5得到exp() exp() abbaabaabbdAjK BjzjM AdzdBjK Ajzj

13、M Adz 2.4.82.4.922( )( )0,( )( )( )( )4abba aba byyyKnxnxEx Ex dx2.4.1022( , ) 20,( )( ) ( )4a ba ba byyMnxnxEx dx2.4.11n(x)为为a、b交汇区的折射率分布交汇区的折射率分布公式意义：发生耦合后，a波的波数变为 ，b波波的数变为 ，两个波导的导模间的传播常数相位差，也叫相位，只有在0，才发生耦合模间的能量转移aaMbbM()()bbaaMM2.4.12假设：z=0处只有波导b存在单模光传输，微扰发生在z0区域0(0)BB(0)0A22( )( ) )0dA zB zdz2.4

14、.13物理意义：能量守恒定律！当两个波导的尺寸、折射率、材料相同时，方程2.4.1的解为：,abbaabKKMM22 1/2022 1/222 1/222 1/2022 1/222( )sin()()( )cos()sin()()j zj zabKA zBeKzKB zB eKzjKzKKK2.4.14波导a,b中光波所携带的能量为：222 1/2022 1/20( )sin ()()( )( )abaKP zPKzKP zPP z2.4.1520(0)PB-为波导b的输入能量定向耦合器：/2LK光开关：=0变化到K2220( )/()aP zPKK20( )sin ()aP zPKz2.5.

15、3 导模之间的耦合-2、反向耦合DBR（DFB）-LD：具有周期的光栅光波导，入射波b沿z方向传播，在厚度变化（折射率变化）处均有沿-z方向的反向波，设计等参数，使得各个反射波发生干涉-“谐振腔”由公式2.4.5也可得到耦合方程的另外一种形式22*jzjzdAjKBedzdBjKAedz 2.4.17式中2* ,2,1,2,3baKKKll假设：z=0处只有波导b存在单模光传输，微扰发生在z0区域=0时0(0)BB(0)0A00sinh()( )coshcosh()( )coshK zLA zBKLK zLB zBKL2.4.182.5.4 导模和辐射模的耦合 研究的意义：波导外的辐射模光场耦

16、合进波导内形成导模；波导内导模输出到波导外的辐射模（连续谱）；波导内的辐射损耗2.5.4.1 耦合模方程titradEEd1、辐射模的场量2.4.20-传播常数为的辐射模的振幅系数， -辐射模的模密度+ -辐射模传播常数的上下限2、假设:只有一个正向传输的v阶导模与输入光的某个波模及 辐射模之间存在有效的概率耦合；忽略掉该导模与其它导 模的耦合，以及输入光波模与辐射模间的耦合222220ddn kn2衬底折射率光波导的v阶导模与传播常数为的正反向传输的辐射模之间的耦合振幅方程为：( )( )exp () exp() vvdjKjzdzdjKjzdz 2.4.212.4.22假设输入场具有单一的

17、传播常数i，光波导的v阶导模与输入光的波模之间的耦合方程为：( )( )exp () exp() iiiviiivdjKjzdzdjKjzdz 2.4.232.4.24当输入光的波模与光波导的辐射模同时存在时，光波导与它们之间耦合方程为：( )( )( )( )( )0exp () exp () exp () exp () tviiivivivividjKjzjzdzjKjzKjzd 2.4.252.5.4.2 输出耦合-没有输入光及其波模（i=0）( )vvKf z v( )( )( )()(0)()vvvvvvLj LFj LF 耦合系数2.4.26-与z无关的因子，f(z)耦合的扰动函数

18、，与波导的耦合结构有关。假设在扰动区内微扰引起v(z)的变化很小，解2.4.21和2.4.22，得：01()( )exp() LvvFf zjz dzL2.4.272.4.282.4.29只有当f(z)含有空间频率为v的傅里叶分量时，才能使v阶导模向着对应的辐射模有效地转移功率v阶导模转移辐射模的总功率为22( )( )0( )(0) )tPLd2.4.30将公式2.4.27和2.4.28带入2.4.30得：exp()vvaz2.4.31221()2ttvvFd2.4.32耦合输出导致的波导导模的振幅时减系数2.5.4.3 输入耦合-有输入光及其波模（i0），同时v阶导模向辐射模输出能量*ex

19、p () exp () iviivvivvivivvdajK ajzdzdajK ajzadz ( )exp()ivivivllKf zfjlz 0viN 将2.4.31带入2.4.21252.4.332.4.342.4.35若f(z)的第N阶傅里叶分量的空间频率使v阶导模与输入光波模的相位匹配，即： ，则( )1 exp()ivNivvvf aa zjz 2.4.362.5.5 光波导的激励 光波导的激励将光从光波导外部耦合到光波导，并形成导波模 技术方法棱镜耦合法光栅耦合法棱镜-光栅耦合法横向耦合法2.5.5.1棱镜耦合法连续谱（辐射模）连续谱导模导模输入耦合耦合效率80%输出耦合，不同模

20、式对应不同的出射角。耦合效率可达100%WL120pnnnn以棱镜的光输入面的法线为参照时，有2.4.3900sin()sin()arcsin()pcpnnnn2.4.38减少并调整棱镜和光波导的间隙s，使得波导中的某个导模的传播常数也等于2.4.37，则到达导波层的渐逝波与波导导模之间的耦合将达到相位匹配，只要耦合强度足够大就可以激励出该模式在波导中传输。为了实现能量的全部转移，进入了棱镜的为入射光，其z方向的波数002sinsinppk nn2.4.37/2KL2.4.40K-耦合系数，取决于折射率和s/2coscos/2WKLKKW2.4.412.4.42关键点：1、精确的角度调整2、光

21、束边缘必须准确 地定位在棱镜O点特点最佳条件下可以得到很高效率可以从所有导波模中任选一种进行激励除平板波导外，也适合条形波导入射光束的入射位置需要准确、S等需要精细调整2.5.5.2 光栅耦合法光栅方程(sinsin )0, 1, 2,dmm 调整光栅入射角使得透射衍射角满足000sin2singgk nn输入耦合的例子，输出类似2、光栅的制作2sin 双光束干涉2.4.50减少的方法2sinpn 2.4.51npn0特点不受光波导折射率大小的限制可以选择所有导模中的任一种进行激励可以与波导集成入射光的入射位置无严格要求也可以在横向进行同样的激励对发散光束不能有效地耦合1、光栅的耦合0( , , )( , , )zE x y zF x y z e(