第四章 弯曲内力

1、第四章第四章 弯曲内力弯曲内力第一节第一节 弯曲的概念和实例弯曲的概念和实例第二节第二节 受弯杆件的简化受弯杆件的简化第三节第三节 剪力与弯矩剪力与弯矩第四节第四节 剪力方程和弯矩方程、剪力图与弯矩图剪力方程和弯矩方程、剪力图与弯矩图第五节第五节 载荷集度、剪力和弯矩间的关系载荷集度、剪力和弯矩间的关系第六节第六节 平面曲杆的弯曲内力平面曲杆的弯曲内力w 起重机大梁起重机大梁第一节第一节 弯曲的概念和实例弯曲的概念和实例火车轮轴火车轮轴镗刀杆镗刀杆第一节第一节 弯曲的概念和实例弯曲的概念和实例 工程中经常遇到前面提及到的工程中经常遇到前面提及到的起重机大梁起重机大梁、火车轮轴火车轮轴这样的杆件

2、。作用于这些杆件上的外力这样的杆件。作用于这些杆件上的外力垂直于杆件轴线垂直于杆件轴线，使原为直线的轴线变形后成为曲线。这种形式的变形，使原为直线的轴线变形后成为曲线。这种形式的变形称为弯曲变形。称为弯曲变形。以弯曲变形为主的杆件称为梁。某些杆以弯曲变形为主的杆件称为梁。某些杆件，如件，如镗刀杆等，在载荷作用下，不但有镗刀杆等，在载荷作用下，不但有弯曲变形，还弯曲变形，还有扭转等变形。当讨论其弯曲变形时，还是把它作为梁有扭转等变形。当讨论其弯曲变形时，还是把它作为梁来处理。来处理。工程问题中，绝大部分受弯工程问题中，绝大部分受弯杆件的横截面都有一根对杆件的横截面都有一根对称轴，因而整个杆件都有

3、一个包含轴线的称轴，因而整个杆件都有一个包含轴线的纵向对称面。纵向对称面。前面提及到的前面提及到的起重机大梁起重机大梁、火车轮轴都属于这种情况。火车轮轴都属于这种情况。当作用于杆件上的当作用于杆件上的所有外力都作用在纵向对称面内所有外力都作用在纵向对称面内时（图时（图.），弯曲变形后的轴线也将是位于这个对称），弯曲变形后的轴线也将是位于这个对称面内的一条曲线。这是弯曲问题中最常见的情况，称为面内的一条曲线。这是弯曲问题中最常见的情况，称为对称弯曲。对称弯曲。本章讨论受弯本章讨论受弯杆件的横截面上的内力，以后两章将分杆件的横截面上的内力，以后两章将分别讨论别讨论弯曲的应力和变形。弯曲的应力和变形

4、。第一节第一节 弯曲的概念和实例弯曲的概念和实例纵向对称面纵向对称面FqFAFB图图.第一节第一节 弯曲的概念和实例弯曲的概念和实例杆件轴线杆件轴线第二节第二节 受弯杆件的简化受弯杆件的简化w 一、支座的几种基本形式一、支座的几种基本形式向心推向心推力轴承力轴承滚珠轴承滚珠轴承第二节第二节 受弯杆件的简化受弯杆件的简化第二节第二节 受弯杆件的简化受弯杆件的简化二、荷载的简化二、荷载的简化(a)集中荷载集中荷载F1集中力集中力M集中力偶集中力偶(b)分布荷载分布荷载q(x)任意分布荷载任意分布荷载q均布荷载均布荷载第二节第二节 受弯杆件的简化受弯杆件的简化三、静定梁的基本形式三、静定梁的基本形式

5、静定梁静定梁仅用静力平衡方程即可求得反力的梁仅用静力平衡方程即可求得反力的梁(a)悬臂梁悬臂梁(b)简支梁简支梁(c)外伸梁外伸梁第三节第三节 剪力与弯矩剪力与弯矩w 求弯曲内力（剪力和弯矩）的基本方法求弯曲内力（剪力和弯矩）的基本方法截面法截面法一一、截面法过程：、截面法过程：切取、替代、平衡切取、替代、平衡第三节第三节 剪力与弯矩剪力与弯矩FABaxASSAy0:0FFFFFxFMxFMMAAC0:0 xAFSFMCFSFMBFCABSBSy0:0FFFFFFFFxFxlFxFMxlFxFMMABBC0:0二、平面弯曲梁横截面上的内力：二、平面弯曲梁横截面上的内力： 剪力剪力平行于横截面的

6、内力，符号：，正负号平行于横截面的内力，符号：，正负号规定：使梁有左上右下错动趋势的剪力为正，反之为规定：使梁有左上右下错动趋势的剪力为正，反之为负负(左截面上的剪力向上为正，右截面上的剪力向下为左截面上的剪力向上为正，右截面上的剪力向下为正正)； FSFS剪力为正剪力为正FSFS剪力为负剪力为负第三节第三节 剪力与弯矩剪力与弯矩第三节第三节 剪力与弯矩剪力与弯矩MMMM 弯矩弯矩绕截面转动的内力，符号：绕截面转动的内力，符号：M，正负号正负号规定：使梁变形呈上凹下凸的弯矩为正，反之为负规定：使梁变形呈上凹下凸的弯矩为正，反之为负(梁梁上压下拉的弯矩为正上压下拉的弯矩为正)。弯矩为正弯矩为正弯

7、矩为负弯矩为负第三节第三节 剪力与弯矩剪力与弯矩例一例一 求下图所示简支梁求下图所示简支梁1 1- -1 1与与2 2- -2 2截面的剪力和弯矩。截面的剪力和弯矩。)0(kN29030kN1502335 .460y的正误或校核求也可由BBABBAAABFFMFqFFFFFqFFM2112m21.5mq=12kN/m3m1.5m1.5mF=8kNABFAFB解：解： 1 1、求支、求支反力反力第三节第三节 剪力与弯矩剪力与弯矩mkN26)5 . 12(2kN7A1A1SFFMFFFmkN3025 . 15 . 15 . 1kN115 . 1B2B2SqFMFqF2 2、计算、计算1-11-1截

8、面截面的内力的内力3 3、计算、计算2-22-2截面截面的内力的内力F=8kNFAS1F1MFBq=12kN/mS2F2M第四节第四节 剪力方程和弯矩方程、剪力方程和弯矩方程、剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图剪力和弯矩均可表示为截面位置剪力和弯矩均可表示为截面位置x的函数，即的函数，即)()(SSxMMxFF称为称为剪力方程和弯矩方程剪力方程和弯矩方程在一般情况下，梁横截面上的剪力和弯矩随在一般情况下，梁横截面上的剪力和弯矩随截面的位置而变化。截面的位置而变化。第四节第四节 剪力方程和弯矩方程、剪力图与弯矩图剪力方程和弯矩方程、剪力图与弯矩图在载荷无突变的一段杆的各截面在载荷无突变的一段杆的各截面

9、 上内力按相同的规律变化。上内力按相同的规律变化。第四节第四节 剪力方程和弯矩方程、剪力图与弯矩图剪力方程和弯矩方程、剪力图与弯矩图 控制截面的概念：控制截面的概念：外力规律发生变化的截面外力规律发生变化的截面集中集中力、集中力偶作用点、分布载荷的起点和终点处的横力、集中力偶作用点、分布载荷的起点和终点处的横截面。截面。第四节第四节 剪力方程和弯矩方程、剪力图与弯矩图剪力方程和弯矩方程、剪力图与弯矩图因此，必须因此，必须分段分段列出梁的剪力方程和弯矩方程，列出梁的剪力方程和弯矩方程，各段的分界点各段的分界点为各段梁的为各段梁的控制截面控制截面。剪力图和弯矩图剪力图和弯矩图用图示方法形象地表示剪

10、用图示方法形象地表示剪力和弯矩沿梁轴线的变化情况。力和弯矩沿梁轴线的变化情况。第四节第四节 剪力方程和弯矩方程、剪力图与弯矩图剪力方程和弯矩方程、剪力图与弯矩图xxM(+)(+)(-)(-)注意：注意：必须标明控制必须标明控制截面上的内力值截面上的内力值QF第四节第四节 剪力方程和弯矩方程、剪力图与弯矩图剪力方程和弯矩方程、剪力图与弯矩图例二例二 在图示简支梁在图示简支梁ABAB的的C C点处作用一集中力点处作用一集中力F F，作该梁作该梁的剪力图和弯矩图。的剪力图和弯矩图。解：解： 1 1、求支反力、求支反力lFaFlFbFBA；2、建立剪力方程和弯矩、建立剪力方程和弯矩方程方程axlFbx

11、xFxMaxlFbFxFAC段0)(0)(:AAS图QF第四节第四节 剪力方程和弯矩方程、剪力图与弯矩图剪力方程和弯矩方程、剪力图与弯矩图 lxaxllFaxlFxMlxalFaFxFCB段ABS)()(:由剪力、弯矩图知：在集中力作用点，弯矩图发生转由剪力、弯矩图知：在集中力作用点，弯矩图发生转折，剪力图发生突变，其突变值等于集中力的大小，折，剪力图发生突变，其突变值等于集中力的大小，从左向右作图，突变方向沿集中力作用的方向。从左向右作图，突变方向沿集中力作用的方向。图M第四节第四节 剪力方程和弯矩方程、剪力图与弯矩图剪力方程和弯矩方程、剪力图与弯矩图例例三三、悬臂梁受力如图所示。试列出梁的

12、剪力方程和弯矩方程，、悬臂梁受力如图所示。试列出梁的剪力方程和弯矩方程，作出梁的剪力图和弯矩图，并求出梁的作出梁的剪力图和弯矩图，并求出梁的 和和 及其所及其所在截面位置。在截面位置。maxQFmaxM解：解：取参考坐标系取参考坐标系AxyAxy。1 1、列出梁的剪力方程和弯矩、列出梁的剪力方程和弯矩 方程方程ABAB段段: :PamxM)()0(ax0)(xFQ)0(axPm=PaACBaayxxx第四节第四节 剪力方程和弯矩方程、剪力图与弯矩图剪力方程和弯矩方程、剪力图与弯矩图BCBC段段: :PxFQ)()2(axa)()(axPmxM)2(axaPxPa22 2、作梁的剪力图和弯矩图、

13、作梁的剪力图和弯矩图Pm=PaACBaaxx-P图QFPa图M(+)(-)第四节第四节 剪力方程和弯矩方程、剪力图与弯矩图剪力方程和弯矩方程、剪力图与弯矩图maxQFmaxMPFQmaxPaMmax（在（在BCBC段的各截面）段的各截面）3 3、求、求和和（在（在ABAB段的各截面）段的各截面）第四节第四节 剪力方程和弯矩方程、剪力图与弯矩图剪力方程和弯矩方程、剪力图与弯矩图注意：注意：1 1、在列梁的剪力方程和弯矩方程时，参数、在列梁的剪力方程和弯矩方程时，参数x x可以从坐标可以从坐标原点算起，也可从另外的点算起，仅需要写清楚方程的原点算起，也可从另外的点算起，仅需要写清楚方程的适用范围（

14、适用范围（x x的区间）即可。的区间）即可。2 2、剪力、弯矩方程的适用范围，在集中力（包括支座反、剪力、弯矩方程的适用范围，在集中力（包括支座反力）作用处，力）作用处， 应为开区间，因在该处剪力图有应为开区间，因在该处剪力图有突变；而在集中力偶作用处，突变；而在集中力偶作用处，M(x)M(x)应为开区间，因在该应为开区间，因在该处弯矩图有突变。处弯矩图有突变。)(xFQ第四节第四节 剪力方程和弯矩方程、剪力图与弯矩图剪力方程和弯矩方程、剪力图与弯矩图3 3、若所得方程为、若所得方程为x x的二次或二次以上方程时，则在作图时除的二次或二次以上方程时，则在作图时除计算控制截面的值外，应注意曲线的

15、凹凸向及其极值。计算控制截面的值外，应注意曲线的凹凸向及其极值。例例四四、外伸简支梁受力如图所示。试列出梁的剪力方程外伸简支梁受力如图所示。试列出梁的剪力方程和弯矩方程，作出梁的剪力图和弯矩图。和弯矩方程，作出梁的剪力图和弯矩图。ABqF=qaCa2axAyFByFx第四节第四节 剪力方程和弯矩方程、剪力图与弯矩图剪力方程和弯矩方程、剪力图与弯矩图解：解：1 1、取参考坐标系、取参考坐标系CxyCxy。根据平衡条件求支座反力根据平衡条件求支座反力0AMqaFBy210BMqaFAy25yABqF=qaCa2axAyFByF第四节第四节 剪力方程和弯矩方程、剪力图与弯矩图剪力方程和弯矩方程、剪力

16、图与弯矩图2 2、列出梁的剪力方程和弯矩方程、列出梁的剪力方程和弯矩方程qaxFQ)()0 (axqaxxM)()0 (axCA段段:AB段段 :)()(axqFqaxFAyq)3(axa)(25)(axqaqaxxM2)(21axq)3(axa第四节第四节 剪力方程和弯矩方程、剪力图与弯矩图剪力方程和弯矩方程、剪力图与弯矩图yABqF=qaCa2axAyFByFaxE23第四节第四节 剪力方程和弯矩方程、剪力图与弯矩图剪力方程和弯矩方程、剪力图与弯矩图qaaxFQ23)(qaaxFQ21)3(0ax25281)25(qaaxM)(xFQ3 3、作梁的剪力图和弯矩图、作梁的剪力图和弯矩图)(2

17、5axaqaqadxdM第四节第四节 剪力方程和弯矩方程、剪力图与弯矩图剪力方程和弯矩方程、剪力图与弯矩图第四节第四节 剪力方程和弯矩方程、剪力图与弯矩图剪力方程和弯矩方程、剪力图与弯矩图某些机器的机身（压力机等）某些机器的机身（压力机等）由几根直杆组成，而各杆在由几根直杆组成，而各杆在其联接处的夹角不能改变，其联接处的夹角不能改变，这种联接称为刚节点。有刚这种联接称为刚节点。有刚节点的框架称为刚架。节点的框架称为刚架。AxFAyFABByF刚节点刚节点横梁横梁立柱立柱第四节第四节 剪力方程和弯矩方程、剪力图与弯矩图剪力方程和弯矩方程、剪力图与弯矩图做图示刚架的内力图做图示刚架的内力图qLLA

18、BC22qL22qL)(kNmMqL2qL)(kNFsqLqL/2qL/2第五节第五节 载荷集度、剪力和弯矩载荷集度、剪力和弯矩间的关系间的关系1.假设：规定假设：规定q(x)向上为正，向下为负；任取微段，认为向上为正，向下为负；任取微段，认为其上其上q(x)为常数，无集中力、集中力偶；内力作正向假为常数，无集中力、集中力偶；内力作正向假设。设。2.微分关系推导：微分关系推导：MF1q(x)ABxdx一一、剪力、弯矩和分布载荷间的微分关系、剪力、弯矩和分布载荷间的微分关系第五节第五节 载荷集度、剪力和弯矩间的关系载荷集度、剪力和弯矩间的关系)(d)(d0)()(d)()(0SSSSxqxxFd

19、xxqxFxFxFFy：)(d)(d0)(21)()()(d)(0S2SxFxxMxqdxxFxMxMxMMdxO：)(d)(d22xqxxM第五节第五节 载荷集度、剪力和弯矩间的关系载荷集度、剪力和弯矩间的关系二、讨论微分关系的几何意义二、讨论微分关系的几何意义1.微分关系的几何意义：微分关系的几何意义： 剪力图上某点处的切线斜率等于该点处荷载集度的大小；弯矩剪力图上某点处的切线斜率等于该点处荷载集度的大小；弯矩图上某点处的切线斜率等于该点剪力的大小。图上某点处的切线斜率等于该点剪力的大小。 2.各种荷载下剪力图与弯矩图的形态各种荷载下剪力图与弯矩图的形态：外力情况外力情况q0(向下向下)无

20、荷载段无荷载段集中力集中力F作用作用处：处：集中力偶集中力偶M作作用处：用处：剪力图上的特剪力图上的特征征(向下斜直线向下斜直线)水平线水平线突变突变，突变值突变值为为F不变不变弯矩图上的特弯矩图上的特征征(下凸抛物线下凸抛物线)斜直线斜直线有有尖点尖点有有突变突变，突变突变值为值为M最大弯矩可最大弯矩可 能的截面位置能的截面位置剪力为零的截剪力为零的截面面剪力突变的截剪力突变的截面面弯矩突变的某弯矩突变的某一侧一侧第五节第五节 载荷集度、剪力和弯矩间的关系载荷集度、剪力和弯矩间的关系3.其它规律其它规律： |M|max可能发生在剪力为零处、集中力作用处、集中力偶可能发生在剪力为零处、集中力作

21、用处、集中力偶作用处；作用处； q突变反向，剪力图有尖点，弯矩图有凸凹性反转拐点；突变反向，剪力图有尖点，弯矩图有凸凹性反转拐点； 荷载图关于梁左右对称，则剪力图关于梁中点反对称，弯荷载图关于梁左右对称，则剪力图关于梁中点反对称，弯矩图左右对称；荷载图关于梁中点反对称，则剪力图左右对矩图左右对称；荷载图关于梁中点反对称，则剪力图左右对称，弯矩图关于梁中点反对称。称，弯矩图关于梁中点反对称。第五节第五节 载荷集度、剪力和弯矩间的关系载荷集度、剪力和弯矩间的关系例例五五、一外伸梁受力如图所示。试作梁的剪力图、弯矩图。、一外伸梁受力如图所示。试作梁的剪力图、弯矩图。ABmKNM.601m1m4mF=3KNCDq=2KN/mAyFByF解：解：1 1、根据平衡条件求支座反力、根据平衡条件求支座反力第五节第五节 载荷集度、剪力和弯矩间的关系载荷集度、剪力和弯矩间的关系0AMKNFAy2 .7KNFBy8 . 30BM校核无误。由0yFABmKNM.601m1m4mF=3KNCDq=2KN/mAyFByF第五节第五节 载荷集度、剪力和弯矩间的关系载荷集度、剪力和弯矩间的关系2 2、由微分关系判断各段的、由微分关系判