2.1幂级数应用.ppt课件

1、例例8 8 将下列函数展开成将下列函数展开成 x x 的幂级数的幂级数222)1(1)(. 4 ;sin)(. 32)(. 2 ;arctan)(. 1xxfxxfxxxxfxxf 例例9 9 求下列函数在指定点处的求下列函数在指定点处的TaylorTaylor级数展开式级数展开式0 x ,11arctan)(. 42 332)(. 3; 1 )(. 2; 2 ln)(. 100200 在在在在在在在在xxxfxxxxxfxexfxxxfx例例1010.!)!1()1(211的的和和求求 nnnnn6.3.6 6.3.6 一、近似计算一、近似计算 二、微分方程的级数解法二、微分方程的级数解法幂

2、级数展开式的应用举例幂级数展开式的应用举例 第十一章 一、近似计算一、近似计算mxxm1)1 (2!2) 1(xmmnxnnmmm!) 1() 1()11(x例例1. 计算计算5240.104 32r8231!254112331!3594116431!451494181181131256)31511(3240459926. 200741. 03的近似值, 精确到282811811131!254134105 . 013431518231!254112331!35941解解: 553243240514)1(331)11(432)1ln(432xxxxxx例例2. 计算计算2ln的近似值 ,使准确到

3、.104解解: 知知)11(432)1ln(432xxxxxx故)1ln()1ln(11lnxxxx5351312xxx令211xx得7533171315131313122ln)11(x,31x于是有9431912r211)91(91132911111327533171315131313122ln6931. 01131111133113193414102 . 0787321在上述展开式中取前四项, 说明说明: 在展开式在展开式xx11ln中,令121nx53)121(51)121(3112121lnnnnnn得) 1ln( n具此递推公式可求出任意正整数的对数 . 如53)91(51)91(3

4、19122ln25ln6094. 1 ( n为自然数) , 53)121(51)121(311212lnnnnn5351312xxx753)20(!71)20(!51)20(!312020sin例例3. 利用利用,!3sin3xxx求9sin误差. 解解: 先把角度化为弧度先把角度化为弧度9(弧度)52)20(!51r5)2 . 0(120151031!3sin3xxx!55x!77x000646. 0157080. 03)20(!312020sin误差不超过 510的近似值 , 并估计91802015643. 0( 取 例例4. 计算积分计算积分的近似值, 精确到)56419. 01解解:1

5、2xe!) 1(20nxnnn)(xxexd22210 xd 2210!) 1(20nxnnn0!) 1(2nnnxxnd2021.104! 1)(2x!2)(22x!3)(32x0 !) 1(2nnn1221n) 12(nxexd22120!3721!252132111642xdex22102!3721!252132111642nnnnr22) 12( !1141042102) 12( !nnn那么 n 应满足4nxexd22120则所求积分近似值为欲使截断误差5205. 0,4n取例例5. 计算积分计算积分xxxdsin10的近似值, 精确到.104解解: 由于由于, 1sinlim0 xxx故所给积分不是广义积分.若定义被积函数在 x = 0 处的值为 1, 则它在积分区间! ) 12() 1(!7!5!31sin2642nxxxxxxnnxxxdsin101!331!551! ) 12() 12() 1(nnn3r00167. 005556. 01上连续, 且有幂级数展开式 :!7714103 . 03528019461. 0二、二、 微分方程的幂级数解法微分方程的幂级数解法例例6 6 求解微分方程求解微分方程 1)0(, 1)0(02)1(2yyyyx解题步骤：解题步骤：010 ,(3).