热学气体分子热运动速率和能量分布学习教案

1、会计学1热学热学(rxu) 气体分子热运动速率和能量分气体分子热运动速率和能量分布布第一页，共71页。第一章我们引入了平衡态和温度的概念，但在热力学范围内不能得到深刻第一章我们引入了平衡态和温度的概念，但在热力学范围内不能得到深刻的认识。第二章以分子运动论为基础，认识了压强和温度的微观本质，对的认识。第二章以分子运动论为基础，认识了压强和温度的微观本质，对平衡态下分子热运动的规律有了初步平衡态下分子热运动的规律有了初步(chb)(chb)认识，我们有一个基本的认识，我们有一个基本的统计公理（假设）。这个公理只解决了分子热运动速度方向的几率问题，统计公理（假设）。这个公理只解决了分子热运动速度方

2、向的几率问题，并没有涉及分子热运动速率大小取值的概率，无法作进一步的定量分析。并没有涉及分子热运动速率大小取值的概率，无法作进一步的定量分析。分子热运动情况是分子物理的重要研究对象，我们必须讨论速率大小取值分子热运动情况是分子物理的重要研究对象，我们必须讨论速率大小取值的概率问题。由于分子数目如此巨大，速率的取值从的概率问题。由于分子数目如此巨大，速率的取值从0 0到到，这个取值区，这个取值区间非常大，分子在任何一个微小速率范围内的取值其概率都不会大，但到间非常大，分子在任何一个微小速率范围内的取值其概率都不会大，但到底有多小却不易判断。所以，这是一个大数量偶然微观运动的集体效应的底有多小却不

3、易判断。所以，这是一个大数量偶然微观运动的集体效应的问题，既统计的问题，对应的规律就是一个统计规律。一般地研究这个问问题，既统计的问题，对应的规律就是一个统计规律。一般地研究这个问题比较复杂，我们以理想气体为基础来开展讨论。题比较复杂，我们以理想气体为基础来开展讨论。 31 麦克斯韦气体麦克斯韦气体(qt)速率分布律速率分布律第1页/共71页第二页，共71页。 对于由大量对于由大量分子组成的热力分子组成的热力学系统从微观上学系统从微观上加以研究时，必加以研究时，必须须(bx)用统计的用统计的方法方法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4、 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 小球小球(xio qi)在伽尔顿在伽尔顿板中的分布规板中的分布规律律 .第2页/共71页第三页，共71页。 统计规律统计规律(gul) 当小球数当小球数 N 足够大时小球的分布具有足够大时小球的分布具有统计规律统计规律(gul).设设 为第为第 格中的粒子数格中的粒子数 .iNi 概率概率 粒子在第粒子在第 格中格中出现的可能性大小出现的可能性大小 .i1iiiiNN归一化条

5、件归一化条件 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iiNN粒子总数粒子总数第3页/共71页第四页，共71页。引言：引言：气体分子处于无规则的热运动之中，由于碰气体分子处于无规则的热运动之中，由于碰撞，每个分子的速度都在不断地改变，所以撞，每个分子的速度都在不断地改变，所以(suy)在某一时刻，对某个分子来说，其速在某一时刻，对某个分子来说，其速度的大小和方向完全是偶然的。然而就大量度的大小和方向完全是偶然的。然而就大量分子整体而言，在一

6、定条件下，分子的速率分子整体而言，在一定条件下，分子的速率分布遵守一定的统计规律分布遵守一定的统计规律气体速率分布气体速率分布律。律。气体分子按速率分布的统计规律最早是由麦克斯韦气体分子按速率分布的统计规律最早是由麦克斯韦(mi k s wi)于于1859年在概率论的基础上导出的，年在概率论的基础上导出的，1877年玻耳兹曼由经年玻耳兹曼由经典统计力学中导出，典统计力学中导出，1920年斯特恩从实验中证实了麦克斯韦年斯特恩从实验中证实了麦克斯韦(mi k s wi)分子按速率分布的统计规律。分子按速率分布的统计规律。第4页/共71页第五页，共71页。麦克斯韦麦克斯韦(mi k s wi)（Ja

7、mes Clerk Maxwell 18311879)19世纪世纪(shj)伟大伟大的英国物理学家、的英国物理学家、数学家。经典电数学家。经典电磁理论的奠基人，磁理论的奠基人，气体动理论的创气体动理论的创始人之一。始人之一。 他提出了有旋电场和位移电流概念，建他提出了有旋电场和位移电流概念，建立了经典电磁理论，预言了以光速传播的立了经典电磁理论，预言了以光速传播的电磁波的存在。电磁波的存在。1873年，他的电磁学通论问世，这年，他的电磁学通论问世，这是一本划时代巨著，它与牛顿时代的自是一本划时代巨著，它与牛顿时代的自然哲学的数学原理并驾齐驱，它是人类然哲学的数学原理并驾齐驱，它是人类(rnli

8、)探索电磁规律的一个里程碑。探索电磁规律的一个里程碑。在气体动理论方面，他还提出气体分子在气体动理论方面，他还提出气体分子按速率分布的统计规律。按速率分布的统计规律。第5页/共71页第六页，共71页。统计统计(tngj)规律性规律性分子运动论从物质微观结构出发，研究大量分分子运动论从物质微观结构出发，研究大量分子组成的系统的热性质。其中个别分子的运动子组成的系统的热性质。其中个别分子的运动（在动力学支配下）是无规则的，存在着极大（在动力学支配下）是无规则的，存在着极大的偶然性。但是，总体上却存在着确定的规律的偶然性。但是，总体上却存在着确定的规律性。（例：理想气体性。（例：理想气体(l xin

9、 q t)压强）压强）人们把这种支配大量人们把这种支配大量(dling)粒子综合性质和集粒子综合性质和集体行为的规律性称为统计规律性体行为的规律性称为统计规律性第6页/共71页第七页，共71页。速度取向的概率问题。速度是矢量，必须解决有关大小取值的概速度取向的概率问题。速度是矢量，必须解决有关大小取值的概率问题。首先我们容易想到这样两个事实：率问题。首先我们容易想到这样两个事实：1 1。由于分子受到频繁。由于分子受到频繁的碰撞，每个分子热运动的速率是变化的，要某一分子具有多大的碰撞，每个分子热运动的速率是变化的，要某一分子具有多大的运动速率没有意义，所以只能估计在某个速率间隔内出现的概的运动速

10、率没有意义，所以只能估计在某个速率间隔内出现的概率；率；2 2。哪怕是相同的速率间隔，例如都是。哪怕是相同的速率间隔，例如都是100ms-1100ms-1，但是不同的，但是不同的速率附近，其概率是不等的，例如，速率附近，其概率是不等的，例如，100-200 ms-1100-200 ms-1和和500-600 ms-500-600 ms-1 1有相同的速率间隔，但第一个间隔总的来说速率较低，第二个间有相同的速率间隔，但第一个间隔总的来说速率较低，第二个间隔总的来说速率较大，其概率是不等的。比如，速率接近为隔总的来说速率较大，其概率是不等的。比如，速率接近为0 0的可的可能性很小，速率非常大的可能

11、性也很小，而居中速率的可能性则能性很小，速率非常大的可能性也很小，而居中速率的可能性则较大。根据较大。根据(gnj)(gnj)这个两个事实，我们自然要问，在不同速率这个两个事实，我们自然要问，在不同速率间隔取值的概率有没有规律？肯定是有的，这个规律能用一个函间隔取值的概率有没有规律？肯定是有的，这个规律能用一个函数定量表示出来。为此，我们引入速率分布函数来描述分子热运数定量表示出来。为此，我们引入速率分布函数来描述分子热运动在不同速率间隔取值的概率规律。动在不同速率间隔取值的概率规律。 第7页/共71页第八页，共71页。1 1、气体分子、气体分子(fnz)(fnz)的速率分布律的速率分布律l速

12、率分布函数的定义：速率分布函数的定义：l一定量的气体分子总数为一定量的气体分子总数为N，dN表示速率分布在某区间表示速率分布在某区间 vv+dv内的分子数，内的分子数， dN/N表示分布在此区间内的分子数表示分布在此区间内的分子数占总分子数的比率。占总分子数的比率。l实验规律：实验规律：l在不同的速率附近，给定的速率间隔在不同的速率附近，给定的速率间隔dv内，比值内，比值(bzh)dN/N是不同的。容易想见，速率间隔越大，是不同的。容易想见，速率间隔越大， dN/N？l dN/N 是是 v 的函数；的函数；l当速率区间足够小时（宏观小，微观大），当速率区间足够小时（宏观小，微观大）， dN/N

13、还应还应与区间大小成正比。与区间大小成正比。1、速率分布、速率分布(fnb)函数函数为此，规定以单位速率间隔为比较标准，即为此，规定以单位速率间隔为比较标准，即 ，这样，比，这样，比值值 就反映出了随速率就反映出了随速率v的改变而改变。为此我们规的改变而改变。为此我们规定定 ；NdvdNNdvdN第8页/共71页第九页，共71页。速率分布速率分布(fnb)函数函数定义：处于一定温度下的气体，分布在速率定义：处于一定温度下的气体，分布在速率v v附近附近(fjn)(fjn)的单位速率间隔内的分子数占总分子数的百分比只是速率的单位速率间隔内的分子数占总分子数的百分比只是速率v v的函数，称为速率分

14、布函数。的函数，称为速率分布函数。理解分布函数的几个要点：理解分布函数的几个要点： 1. 1.条件：一定温度（平衡态）和确定的气体系统，条件：一定温度（平衡态）和确定的气体系统，T T和和m m是一定的；是一定的；2.2.范围：（速率范围：（速率v v附近的）单位速率间隔，所以要除以附近的）单位速率间隔，所以要除以dvdv；3.3.数学形式数学形式(xngsh)(xngsh)：（分子数的）比例，局域分子数与总分子数：（分子数的）比例，局域分子数与总分子数之比。之比。第9页/共71页第十页，共71页。l物理意义：物理意义：l速率在速率在 v 附近，单位速率区间附近，单位速率区间(q jin)的分

15、子的分子数占总分子数的概率，或概率密度。数占总分子数的概率，或概率密度。表示速率表示速率(sl)分布在分布在vv+dv内的分子数占总分子数的概率内的分子数占总分子数的概率表示表示(biosh)速率分布在速率分布在v1v2内内的分子数占总分子数的概率的分子数占总分子数的概率归一化条件归一化条件第10页/共71页第十一页，共71页。应注意的问题应注意的问题: :分布函数是一个统计结果分布函数是一个统计结果(ji gu)(ji gu)，以上各种讨论都是建立在众多分，以上各种讨论都是建立在众多分子微观运动基础上的，分子的数目越大，结论越正确。所以：子微观运动基础上的，分子的数目越大，结论越正确。所以：

16、1 1）少数分子谈不上概率分布）少数分子谈不上概率分布偶然事件少了，或分子数少了，就不能表现出稳定的统计特性。偶然事件少了，或分子数少了，就不能表现出稳定的统计特性。例如，抛两分的硬币，抛的次数越多，币制和国徽朝上的次数才更加接例如，抛两分的硬币，抛的次数越多，币制和国徽朝上的次数才更加接近相等，否者将有很大差异。近相等，否者将有很大差异。2 2）统计规律表现出涨落）统计规律表现出涨落所谓涨落就是对稳定的统计结果所谓涨落就是对稳定的统计结果(ji gu)(ji gu)的偏差，统计规律必然伴随的偏差，统计规律必然伴随着涨落。例如，在某一速率着涨落。例如，在某一速率v v附近附近dvdv间隔内求出

17、的比值间隔内求出的比值dN/NdN/N是是0.060.06，表，表示有示有6%6%的分子，它们的速率取值分布在（的分子，它们的速率取值分布在（v v，v+dvv+dv）内，但并不是说，）内，但并不是说，每时每刻就一定是每时每刻就一定是0.060.06，也有可能是，也有可能是0.059980.05998，0.06010.0601，等等，但长等等，但长时间的平均值仍是时间的平均值仍是0.060.06。 第11页/共71页第十二页，共71页。3 3）“具有某一速率的分子有多少具有某一速率的分子有多少”是不恰当的说法是不恰当的说法f (v)f (v)是针对是针对v v附近单位速率间隔的，离开速率间隔来

18、谈分子数有多少附近单位速率间隔的，离开速率间隔来谈分子数有多少就没有意义了。就没有意义了。 4 4）气体由非平衡到平衡的过程是通过分子间的碰撞来实现的。）气体由非平衡到平衡的过程是通过分子间的碰撞来实现的。因此，分子间的碰撞是使分子热运动达到并保持确定分布因此，分子间的碰撞是使分子热运动达到并保持确定分布(fnb)(fnb)的决的决定因素。定因素。第12页/共71页第十三页，共71页。课堂练习课堂练习1速率分布函数速率分布函数 的物理意义为：的物理意义为： （）具有速率（）具有速率 的分子占总分子数的百分比的分子占总分子数的百分比 （）速率分布在（）速率分布在 附近的单位附近的单位(dnwi)

19、速率间隔中的分速率间隔中的分子数占总分子数的百分比子数占总分子数的百分比 （）具有速率（）具有速率 的分子数的分子数 （）速率分布在（）速率分布在 附近的单位附近的单位(dnwi)速率间隔中的分速率间隔中的分子数子数 （）（） 第13页/共71页第十四页，共71页。练习练习2、下列各式的物理、下列各式的物理(wl)意义分别为意义分别为:(1)(2)(3)(4)速率速率(sl)在在v-v+dv内的分子数占总分子数的百分比内的分子数占总分子数的百分比速率速率(sl)在在v-v+dv内的分子数内的分子数速率在速率在v1v2内的分子数占总分子数的百分比内的分子数占总分子数的百分比速率在速率在v1v2内

20、的分子数内的分子数第14页/共71页第十五页，共71页。练习练习3在平衡状态下，已知理想气体在平衡状态下，已知理想气体(l xin q t)分子的麦克斯韦速率分布函数为分子的麦克斯韦速率分布函数为 、分子质量、分子质量为为 、最可几速率为、最可几速率为 ，试说明下列各式的物理，试说明下列各式的物理意义：意义：（）（） 表示表示(biosh)_； （）（） 表示表示(biosh)_ 分子平动动能的平均值分子平动动能的平均值 分布在速率区间分布在速率区间 的分子数在总分子数中占的分子数在总分子数中占的百分率的百分率 Pv第15页/共71页第十六页，共71页。练习练习4已知分子总数为已知分子总数为

21、，它们的速率分布函数，它们的速率分布函数为为 ，则速率分布在区间，则速率分布在区间(q jin) 内的分子内的分子的平均速率为的平均速率为 )(vf（A） （C） （B） （D） （B） 第16页/共71页第十七页，共71页。2.2.麦克斯韦麦克斯韦(mi k s wi)(mi k s wi)速速度分布律度分布律在平衡态下，当气体分子间的相互作用可以在平衡态下，当气体分子间的相互作用可以忽略时，分布在速度区间忽略时，分布在速度区间 的分子的分子数占总分子数的比率为数占总分子数的比率为vvdv 麦克斯韦速度麦克斯韦速度(sd)(sd)分布律分布律第17页/共71页第十八页，共71页。3.3.麦克

22、斯韦速率麦克斯韦速率(sl)(sl)分布律分布律在平衡态下，当气体分子间的相互作用可以在平衡态下，当气体分子间的相互作用可以忽略时，分布在速度区间忽略时，分布在速度区间 也就是也就是分布在分布在vxvx+dvx/vyvy+dvy/vzvz+dvz的分子数占总的分子数占总分子数的比率为分子数的比率为:vvdv zyxkTvvvmdvdvdvvekTmNdNzyx22)(232222 第18页/共71页第十九页，共71页。这个区间内的分子，它们的速度这个区间内的分子，它们的速度矢量的端点矢量的端点(dun din)都在一定都在一定的体积元的体积元ddvxdvydvz内内也就是满足这个条件的速度也就

23、是满足这个条件的速度(sd)矢量的端点都落在半矢量的端点都落在半径为径为v，厚度为，厚度为dv的球壳层内。的球壳层内。这个球壳层的体积等于其内这个球壳层的体积等于其内壁的面积壁的面积4v2乘以厚度乘以厚度dv ： d 4v2dv第19页/共71页第二十页，共71页。将将ddvxdvydvz代入代入麦克斯韦麦克斯韦速率速率(sl)分布分布分布律分布律麦克斯韦麦克斯韦(mi k s wi)(mi k s wi)速率分布律速率分布律 zyxkTvvvmdvdvdvvekTmNdNzyx22)(232222 且：且：得：得：得第20页/共71页第二十一页，共71页。记忆这个公式分三部分：记忆这个公式分

24、三部分：第一部分，第一部分，4pv2dv4pv2dv是是“球壳球壳”的体积，而的体积，而“球壳球壳”全方位的高度对称性正全方位的高度对称性正是分子热运动想各个是分子热运动想各个(gg)(gg)方向几率均等的生动表现；方向几率均等的生动表现；第二部分第二部分 , ,正是分子热运动速率取值不等几率的表现，值得注意，这个指数衰正是分子热运动速率取值不等几率的表现，值得注意，这个指数衰减律的结果没有单位，减律的结果没有单位，mv2/2mv2/2是分子热运动的动能，是分子热运动的动能，kTkT既有能量的量既有能量的量纲，所以指数衰减的指数部分是热运动的动能与体系能量状态特征纲，所以指数衰减的指数部分是热

25、运动的动能与体系能量状态特征量之比，对于量之比，对于(duy)(duy)大的速率，指数衰减的速度比大的速率，指数衰减的速度比v2v2增加的速度快增加的速度快得多，二者共同影响的结果，分布函数值必然较小。得多，二者共同影响的结果，分布函数值必然较小。第21页/共71页第二十二页，共71页。第三部分，第三部分，是归一化因子，这里也有一个值得注意的问题，指数衰减部分没有单位，是归一化因子，这里也有一个值得注意的问题，指数衰减部分没有单位，4pv2dv4pv2dv具有速度立方的单位，分布律只是分子数的比值，也没有单位，具有速度立方的单位，分布律只是分子数的比值，也没有单位，所以所以(suy)(suy)

26、归一化因子必须具有速度负立方的单位。即归一化因子必须具有速度负立方的单位。即 应该具有速度的量纲，的确如此，正是一个具有统计特性的应该具有速度的量纲，的确如此，正是一个具有统计特性的速率，后面知道，叫最可几速率。速率，后面知道，叫最可几速率。 第22页/共71页第二十三页，共71页。麦克斯韦麦克斯韦速率分布速率分布(fnb)函数函数m分子的质量分子的质量(zhling)T热力学温度热力学温度k玻耳兹曼常量玻耳兹曼常量vPv v+dvv面积面积= dN/Nf(v)f(vP)曲线下面宽度为曲线下面宽度为 dv 的小窄条面积的小窄条面积等于分布在此速率等于分布在此速率(sl)区间内的分区间内的分子数

27、占总分子数的子数占总分子数的概率概率dN/N 。.第23页/共71页第二十四页，共71页。麦克斯韦速率分布麦克斯韦速率分布(fnb)曲线曲线 21vvdvvfNNOv)(vfdvpv1v2v dvvfNdN在在f(v)vf(v)v整个整个(zhngg)(zhngg)曲线下的面积为曲线下的面积为 1 - 1 - 归一化条件。归一化条件。第24页/共71页第二十五页，共71页。最概然速率最概然速率(sl) 平均平均(pngjn)速率速率 方均根速率方均根速率(sl) 分子速率的三个统计值分子速率的三个统计值 第25页/共71页第二十六页，共71页。最概然速率最概然速率(sl)(the most p

28、robable speed) 物理意义：若把整个速率范围物理意义：若把整个速率范围(fnwi)划分为许划分为许多相等的小区间，则分布在多相等的小区间，则分布在 vP所在区间的分子所在区间的分子数比率最大。数比率最大。令令解得解得vp 随随 T 升高升高(shn o)而增大，随而增大，随 m 增大而增大而减小减小注：注：定义：定义：与与 f( (v) )极大值相对应的速率，称为最概然极大值相对应的速率，称为最概然速率。速率。第26页/共71页第二十七页，共71页。同一同一(tngy)气体，不同温气体，不同温度度vP与温度(wnd)T的关系:T 1T 2曲线的峰值曲线的峰值(fn(fn zh) z

29、h)右移右移, ,由于曲线下面积由于曲线下面积为为1 1不变，所以峰值不变，所以峰值(fn(fn zh) zh)降低。降低。第27页/共71页第二十八页，共71页。不同气体，同一不同气体，同一(tngy)温度温度vP与分子(fnz)质量m的关系:曲线的峰值曲线的峰值(fn(fn zh) zh)左移左移, ,由于曲线下面积由于曲线下面积为为1 1不变，所以峰值不变，所以峰值(fn(fn zh) zh)升高。升高。21mm ov)(vf1Pv2Pvm 2m 1第28页/共71页第二十九页，共71页。练习练习5.5.图为同一种气体，处于不同温度状态下的速率分布图为同一种气体，处于不同温度状态下的速率

30、分布曲线，试问（曲线，试问（1 1）哪一条曲线对应的温度高？（）哪一条曲线对应的温度高？（2)2)如果如果(rgu)(rgu)这两条曲线分别对应的是同一温度下氧气和氢气这两条曲线分别对应的是同一温度下氧气和氢气的分布曲线，问哪条曲线对应的是氧气，哪条对应的是氢的分布曲线，问哪条曲线对应的是氧气，哪条对应的是氢气？气？解：解：(1) T1 v0 的分子数为的分子数为 ( 2N/3 )同理同理 v v 0)0 ( v vo )1、作速率分布曲线、作速率分布曲线(qxin)。2、由、由N和和vo求常数求常数C。3、求粒子的平均速率。、求粒子的平均速率。4、求粒子的方均根速率。、求粒子的方均根速率。C

31、vov)(vfo解：解：第42页/共71页第四十三页，共71页。第43页/共71页第四十四页，共71页。二、验证二、验证(ynzhng)麦克斯韦速度麦克斯韦速度分布律分布律 1、实验、实验(shyn)装置装置O蒸汽源蒸汽源 S 分子束射出方向孔分子束射出方向孔R 长为长为 l 、刻有螺旋形细槽的、刻有螺旋形细槽的铝钢滚筒铝钢滚筒(gntng)D 检测器，测定通过细槽的分检测器，测定通过细槽的分子射线强度子射线强度2、实验原理、实验原理当圆盘以角速度当圆盘以角速度转动时，转动时，每转动一周，分子射线通每转动一周，分子射线通过圆盘一次，由于分子的过圆盘一次，由于分子的速率不一样，分子通过圆速率不一

32、样，分子通过圆盘的时间不一样，只有速盘的时间不一样，只有速率满足下式的分子才能通率满足下式的分子才能通过过S达到达到D第44页/共71页第四十五页，共71页。3、实验、实验(shyn)结果结果分子数在总分子数中所占的比分子数在总分子数中所占的比率与速率和速率间隔的大小率与速率和速率间隔的大小(dxio)有关；有关；速率特别大和特别小的分子数速率特别大和特别小的分子数的比率非常小；的比率非常小；在某一速率附近的分子数的比在某一速率附近的分子数的比率最大；率最大；改变气体的种类或气体的温度改变气体的种类或气体的温度时，上述分布情况有所差别，但时，上述分布情况有所差别，但都具有上述特点。都具有上述特

33、点。第45页/共71页第四十六页，共71页。麦克斯韦麦克斯韦(mi k s wi)速度分布函数速度分布函数三、玻尔兹曼能量分布律三、玻尔兹曼能量分布律 等温气压等温气压(qy)公式公式一、玻尔兹曼能量一、玻尔兹曼能量(nngling)分布律分布律问题：对于更一般的情形，如在外力场中的气问题：对于更一般的情形，如在外力场中的气体分子的分布将如何？体分子的分布将如何？其指数仅包含分子运动动能其指数仅包含分子运动动能分子按速度的分布不受力场分子按速度的分布不受力场的影响，按空间位置的分布的影响，按空间位置的分布却是不均匀的，依赖于分子却是不均匀的，依赖于分子所在力场的性质。所在力场的性质。玻尔兹曼的

34、推广玻尔兹曼的推广用用k+p 代替代替k，用，用x、y、z、 vx、 vy、 vz 为轴构为轴构成的六维空间中的体积元成的六维空间中的体积元 xdydzdvxdvydvz 代替速代替速度空间的体积元度空间的体积元dvxdvydvz 第46页/共71页第四十七页，共71页。玻尔兹曼能量玻尔兹曼能量(nngling)分布律分布律当系统在力场中处于平衡态时，其中坐标介于区间当系统在力场中处于平衡态时，其中坐标介于区间(q jin)xx+dx、yy+dy、zz+dz内，同时速度介于内，同时速度介于vxvx+dvx，vyvy+dvy，vzvz+dvz内的分子数为内的分子数为单位体积单位体积(tj)(tj

35、)分子数分子数n nn0为在为在p=0处，单位体积内具有各种速度的分子总数。处，单位体积内具有各种速度的分子总数。玻尔兹曼分子玻尔兹曼分子按能量分布律按能量分布律第47页/共71页第四十八页，共71页。对所有对所有(suyu)可能的速度积分可能的速度积分分子分子(fnz)在坐标间隔在坐标间隔xx+dx,yy+dy,zz+dz内的分内的分子子(fnz)数密度为：数密度为：分子分子(fnz)按按势能分布势能分布律律第48页/共71页第四十九页，共71页。重力场中粒子按高度重力场中粒子按高度(god)(god)的分布的分布(p=mgh)(p=mgh)重力场中，一方面是无规则的热运动使重力场中，一方面

36、是无规则的热运动使气体分子均匀分布于它们所能够到达的气体分子均匀分布于它们所能够到达的空间。另一方面是重力要使气体分子聚空间。另一方面是重力要使气体分子聚集到地面上。这两种作用平衡时，气体集到地面上。这两种作用平衡时，气体分子则在空间作非均匀分布，即气体分分子则在空间作非均匀分布，即气体分子数密度子数密度(md)随高度的增加按指数规随高度的增加按指数规律减小；律减小；分子质量越大，受重力的作用越大，分分子质量越大，受重力的作用越大，分子数密度子数密度(md)减小得越迅速；减小得越迅速； 对于温度较高的气体，分子的无规则运对于温度较高的气体，分子的无规则运动剧烈。分子数密度动剧烈。分子数密度(m

37、d)随高度减小随高度减小比较缓慢。比较缓慢。法国物理学家佩兰据此测量法国物理学家佩兰据此测量了玻耳兹曼常数进而了玻耳兹曼常数进而(jn (jn r)r)得到了阿伏伽德罗常数，得到了阿伏伽德罗常数，于于19221922年获得了诺贝尔物理年获得了诺贝尔物理奖。奖。第49页/共71页第五十页，共71页。假设：大气为理想气体假设：大气为理想气体 不同高度处温度不同高度处温度(wnd)(wnd)相等相等利用：利用：p = nkT p = nkT 可得可得: :RTMghkTmghenenn 00每升高每升高(shn o)10(shn o)10米，大气压强降低米，大气压强降低133Pa133Pa。近似符合实际，。近似符合实际，可粗略估计高度变化。可粗略估计高度变化。二、重力场中等温气压二、重力场中等温