数值分析-第七章第一部分 (1)

1、1 习题习题P257 4(2), 8, 10(1), 11, 12, 13(1) 16, 19, 21(3点公式点公式) 第七章数值微分与数值积分21数值微分数值微分问问题题：若若已已知知函函数数在在一一些些节节点点上上的的值值，如如何何近近似似节节点点处处的的导导数数？xhx hx (0)h ( )fx 3xhx hx (0)h 1.1差商型求导公式：差商型求导公式：( )fx hxfhxfxf)()()( hhxfxfxf)()()( hhxfhxfxf2)()()( 向前差商公式向前差商公式向后差商公式向后差商公式中心差商公式中心差商公式4Taylor由由公公式式推推得得，例例如如中中心

2、心差差商商的的误误差差阶阶2()():( )()2f xhf xhfxO hh 中中心心()f xh232()( )( )( )()2!3!hhf xhf xhfxfxf ( )():( )( )f xf xhfxO hh 向向后后()( )( )( )f xhf xfxO hh 向向前前：差商型求导公式的截断误差：差商型求导公式的截断误差：()()2f xhf xhh 212( )()()12hfxff2( )( )6hfxf 2( )6hf ( )2hf ( )2hf 231( )( )( )()2!3!hhf xhfxfxf 52()2 ( )()( )f xhf xf xhfxh 22

3、()2 ( )()( )()f xhf xf xhfxO hh二阶导数的中心差商公式：二阶导数的中心差商公式：二阶导数的中心差商公式的截断误差：二阶导数的中心差商公式的截断误差：23(4)1()( )( )( )( )()2!3!4!hhhf xhf xhfxfxfxf 4 4234(4)2()( )( )( )( )()2!3!4!hhhf xhf xhfxfxfxf 2(4)( )12hf 6()()inifxLx (1)1( )( )( )( )(1)!nnnff xLxxn 由由得得，(1)0( )()()()(1)!nniniijjj iffxLxxxn 1.2插值型求导公式：插值型

4、求导公式：用插值多项式的导数作为函数导数的近似，即用插值多项式的导数作为函数导数的近似，即()()inifxLx等距节点下的常用公式等距节点下的常用公式,见课本见课本71.3利用样条插值函数求数值微分利用样条插值函数求数值微分( )( )(5.5)S xf x设设为为的的三三次次样样条条插插值值函函数数，由由三三次次样样条条插插值值函函数数的的性性质质 定定理理，可可用用三三次次样样条条插插值值函函数数的的导导数数或或二二阶阶导导数数，近近似似函函数数的的导导数数或或二二阶阶导导数数。)()(xSxf ( )( ) ( , )fxSxxa b误差估计误差估计:( )( )( )4( )( )(

5、 )() (1,2)kkkkRxfxSxO hk 8)()()(aFbFdxxfba 定积分的图形表示定积分的图形表示2 NewtonCotes求积求积公式公式9行星运行轨道行星运行轨道:开普勒定律开普勒定律行星在两点之间的运行距离行星在两点之间的运行距离21212222122212(sin )(cos )( sin )(cos ) baLdxdyrdrdrrd sinrycosrx21101.被被积积函函数数的的原原函函数数不不能能用用初初等等函函数数表表示示2.被被积积函函数数只只有有图图形形或或者者数数据据表表, ,没没有有解解析析式式下下列列情情况况下下，需需要要用用数数值值积积分分2

6、1sin, , ,lnxxexx 3.被被积积函函数数的的原原函函数数的的求求解解过过程程复复杂杂321, ,(1)4arcsin2xxxx 问题：如何构造数值积分公式？问题：如何构造数值积分公式？11( )baf x dx 积分中值定理积分中值定理: ( )()fba , ,2aba b 若若取取有有( )( )()baf x dxf a ba ( )( )()baf x dxf b ba ( )()()2baabf x dxfba 未未知知，左左矩矩形形公公式式右右矩矩形形公公式式中中矩矩形形公公式式2.1 数值积分的基本思想数值积分的基本思想12( )baf x dx ( )( )2ba

7、f af b 若若用用梯梯形形的的面面积积近近似似有有梯梯形形公公式式101( )( )L xf xxaxb记记是是关关于于和和的的一一次次插插值值多多项项式式1( )( )bbaaf x dxL x dx ( )f x梯梯形形公公式式是是用用一一次次插插值值多多项项式式的的积积分分近近似似的的积积分分一一般般地地，可可以以用用插插值值多多项项式式的的积积分分近近似似函函数数的的积积分分13( )baf x dx ( )( )nLxf xnLagrange设设是是的的 次次插插值值多多项项式式 nkkbakxfdxxl0)()(0() ( )nbkkakf xlx dx ( ),bkkaAlx

8、 dx 记记则则0( )()nbkkakf x dxA f x kkxA为为求求积积节节点点，为为求求积积系系数数插插值值型型求求积积公公式式( )bnaLx dx 插值型求积公式插值型求积公式( )kAf x只只与与节节点点有有关关，与与无无关关14插值型求积公式的截断误差插值型求积公式的截断误差: :()( )( )bbnnaaRff x dxLx dx(1)1()( )(1)!nbxnafx dxn ( )( )bnaf xLx dx , a b考考虑虑用用积积分分区区间间的的等等分分点点为为插插值值节节点点的的情情形形1501, xa xb 积积分分区区间间的的左左右右端端点点为为插插

9、值值接接点点，1( )( )( )xbxaLxf af babba 1( )( )bbaaf x dxLx dx ( )( )bbaaxbxaf adxf bdxabba ( )( )2baf af b 梯梯形形公公式式 ( )( )( )2babaf x dxf af b 2.2 NewtonCotes求积公式求积公式162001122( )( )()( )()( )()Lxlx f xlx f xlx f x 1200102()()( )()()bbaaxxxxlx dxxxxx 1221()()2baxxxx dxh 012 , ,2aba bxa xxb 将将区区间间二二等等分分xat

10、h 令令3220(1)(2)2httdth 3h 6ba ,2bah 相相邻邻节节点点间间的的距距离离记记为为170211012()()( )()()bbaaxxxxlx dxxxxx 4()6ba 0122021()()( )()()bbaaxxxxlx dxxxxx 6ba 2( )( )bbaaf x dxLx dx ( )4()( )62baabf aff b (Simpson)抛抛物物线线公公式式公公式式( )( )4 ()( )62babaabf x dxf aff b 18( )0( )()()nbnkkakf x dxbaCf x 此求积公式称为此求积公式称为n阶阶Newton

11、-Cotes公式公式1nn 以以个个等等分分点点为为插插值值节节点点的的 次次插插值值多多项项式式, , 1a bnn 一一般般地地 设设将将区区间间 等等分分, ,得得个个等等分分点点0( )( )()nnkkkLxlx f x ( )bkkaAlx dx ( )()nkba C ( )Cotes,nkCn称称为为系系数数 它它与与被被积积函函数数 积积分分区区间间无无关关只只与与积积分分区区间间的的等等分分数数 有有关关. .19Cotes系数表系数表n)(nkC1234212161646181838381907903290129032907Cotes1每每一一行行的的系系数数和和为为8,

12、Cotes,n 时时系系数数中中出出现现负负数数求求积积公公式式不不稳稳定定梯梯形形公公式式Simpson公公式式38Simpson公公式式Cotes公公式式20 : ( )( )( )2babaf x dxf af b 梯梯形形公公式式xf(x)L(x)1x0 xy 1001( )()()2xxhf x dxf xf x 10hxxab21: ( )( )4 ()( )62babaabSimpsonf x dxf aff b 公公式式xf(x)hhL(x)0 x1x2xa2ab b 20012 ( )()4 ()()3xxhf x dxf xf xf x yh为为相相邻邻节节点点的的距距离离

13、22 30012333: ( )()3 ()3 ()()88xxhSimpson sf x dxf xf xf xf x 公公式式x0 x1xf(x)x2hhL(x)x3hy23 nkkkbaxfAdxxf0)()(设设求求积积公公式式定定义义1.7精精确确成成立立的的多多项项式式时时为为次次数数不不超超过过当当,)(mxf nkkmkbamxPAdxxP011)()(有有次次多多项项式式存存在在某某个个),(11xPmm 则称该求积公式具有则称该求积公式具有m次代数精确度。次代数精确度。 nkkkbaxfAdxxf0)()(2.3 误差估计误差估计（一）求积公式的代数精确度（一）求积公式的代

14、数精确度24结论：结论：01. ( )()nbkkakf x dxA f xm 求求积积公公式式具具有有 次次代代数数精精度度 . 2次次代代数数精精度度至至少少具具有有次次插插值值导导出出的的求求积积公公式式由由nn0( )()nbkkakf x dxA f x 3. 221.nNCn阶阶公公式式至至少少具具有有次次代代数数精精度度0110 (0,1,) nbllkkaknbmmkkakx dxA xlmxdxA x ( )bnaLx dx ( )f xn当当是是次次数数不不超超过过 的的多多项项式式时时，等等号号成成立立25 ( )( )( )2babaf x dxf af b 例例：求求

15、梯梯形形公公式式的的代代数数精精度度。()( )baI ff x dx 解解：记记， ()( )( )2baI ff af b abI )1(梯形公式具有梯形公式具有1次代数精确度次代数精确度)( 31)(332abxI )( 21)(22abxI (1)(11)2baIba 221( )()()22baI xabba 222331()()23baI xabba 26( )( )4 ()( )62bab aabf x dxf aff b 例例：求求抛抛物物线线公公式式的的代代数数精精度度。( )( )baI ff x dx 解解：记记 )()2(4)(6)(bfbafafabfIabI ) 1

16、 (抛物线公式具有抛物线公式具有3次代数精确度次代数精确度)( 31)(332abxI )( 21)(22abxI )( 41)(443abxI )( 51)(554abxI ababI ) 141 (6) 1 (221( )(2()()62b aI xaa bbba )(31)2( 46)(332222abbbaaabxI )(41 )2( 46)(443333abbbaaabxI 4444)2( 46)(bbaaabxI)54645 (24432234babbabaaab 27:例例 确确定定系系数数使使得得下下列列求求积积公公式式代代数数精精确确度度尽尽可可能能高高，并并指指出出有有几几

17、次次代代数数精精确确度度？ 11101)1()0()1()(fAfAfAdxxf,3:高高为为使使代代数数精精确确度度尽尽可可能能个个待待定定系系数数有有解解 32021111101AAAAAAA 313431101AAA公公式式等等号号成成立立得得时时令令, 1)(2xxxf 28,)(3时时当当xxf 11101)1()0()1()(fAfAfAdxxf0 右右边边左左边边4)(xxf 当当 313431101AAA 52左左边边,32 右右边边, 1)(2精精确确成成立立上上述述公公式式对对xxxf .3次次代代数数精精确确度度所所以以上上述述公公式式具具有有29( ) ( )( )(

18、)bbaaf x g x dxfg x dx 梯梯形形公公式式的的误误差差？( ) ( )( )2babaf x dxf af b 广广义义积积分分中中值值定定理理：( ) , g xa b 在在上上不不变变号号, ,则则存存在在1 ( )( )baf xL x dx ()()()2bxafxaxb dx ( )()()2bafxaxb dx 2( )() ()4bafxa d xb 3( )()12fba 30（二）梯形公式与（二）梯形公式与Simpson公式的误差估计公式的误差估计 13( )( )( )( )2()( ) ( , )12babaR ff x dxf af bbafa b

19、则则梯梯形形公公式式的的误误差差为为若若定定理理,)(:2 . 7)2(baCxf 31 公公式式的的误误差差为为则则，若若定定理理Simpson ,)( 3 . 7)4(baCxf 25(4)( )( )( ) 4 ()( )62()( ) ( , )2880bab aabRff x dxf aff bb afa b 3Simpson已已知知公公式式的的代代数数精精度度为为:证证明明3333( )( )4()( )62babaabP x dxP aPP b 3( )3P x若是 次多项式，则若是 次多项式，则(3)( )()()()3!2bafabxaxxb dx , a b在在上上变变号号

20、， 不不能能直直接接用用广广义义积积分分中中值值定定理理?3( )baP x dx 2?2()Rf 322( )( )( ) 4 ()( )62bab aa bR ff x dxf aff b babadxxHdxxf)()(3dxbxbaxaxfbax )()2)(! 4)(2)4( 满满足足插插值值多多项项式式的的三三次次取取)()(3xHHermitexf)2()2( ),2()2()()( ),()(3333bafbaHbafbaHbfbHafaH ( )( ) 4 ()( )62bab aa bf x dxH aHH b 33 1125)4() 1() 1()2(! 4)(dtttt

21、abf dxbxbaxaxfba )()2)(! 4)(2)4( 22abtbax 令令)3252()2(! 4)(5)4( abf 5)4()2(90)(abf )(2880)()4(5 fab ),( )(90)4(5bafh 或或h为为相相邻邻节节点点之之间间的的距距离离(4)22()( )()() ()4!2bxafabR fx a xx bdx 3431()()( ) ( )( )( ) ( , )212bab ab aRf x dxf af bfa b 5(4)2()()( ) ( ) 4 ()( )( ) ( , )622880bab aabb aRf x dxf aff bfa

22、 b 10310101( ) ()()( ) (,)212xxhhRf x dxf xf xfx x 205(4)201202( ) () 4 ()()( ) (,)390 xxhhRf x dxf xf xf xfx x 梯形公式的误差：梯形公式的误差：Simpson公式的误差：公式的误差：h为为相相邻邻节节点点之之间间的的距距离离3510: .xIedx 例例 分分别别用用梯梯形形公公式式和和抛抛物物线线公公式式计计算算定定积积分分的的近近似似值值，并并估估计计误误差差由由梯梯形形公公式式得得解解 :6839. 0)(2110 eeI12112| )(|1 fR由由抛抛物物线线公公式式得得

23、6323. 0)4(611210 eeeI288012880| )(|)4(2 fR0.083333 0.000347 Simpson计计算算结结果果表表明明, ,公公式式的的结结果果优优于于梯梯形形公公式式的的计计算算结结果果36如如何何构构造造更更高高精精度度的的数数值值积积分分公公式式？NewtonCotes 高高次次多多项项式式插插值值有有龙龙格格现现象象，一一般般不不用用高高阶阶的的公公式式，而而是是用用分分片片线线性性插插值值函函数数的的积积分分近近似似函函数数积积分分1,iixx 即即在在相相邻邻节节点点的的区区间间上上用用梯梯形形公公式式，再再求求和和得得到到复复化化梯梯形形公

24、公式式373 3复化求积公式复化求积公式替替用用分分段段线线性性插插值值函函数数代代被被积积函函数数)(xf3.1复化梯形公式复化梯形公式x0 x1xf(x)x2hhx3hhx4nabh 38 , a bn将将积积分分区区间间等等分分成成 个个小小区区间间，11( )( )2()( )2nknkhf af bf xTf 1,kkxx 在在上上用用梯梯形形公公式式, , 101)()(2nkkkxfxfh( )baf x dx bahn 记记则则， (0,1, )kxakhkn0ax 1xkx1kx 1nx nxb 求求和和110( )kknxxkf x dx 39 ，其其截截断断误误差差为为如

25、如果果baCxf,)()2( 11)(2)()(2)()(nkkbaTxfbfafhdxxffR复合梯形公式：复合梯形公式：11( )( )( )2()( )2naknbkhf x dxf af bf xTf 2( )( ) ( , )12Tb aRfh fa b 310()12nkkhf 130()12nkkfnhn ( , )a b 2()( )12hb a f ),(1 kkkxx 事事实实上上，nhb a 40 ，其其截截断断误误差差为为如如果果baCxf,)()2( 复合梯形公式：复合梯形公式：11( )( )( )2()( )2naknbkhf x dxf af bf xTf 2(

26、 )( ) ( , )12Tb aRfh fa b 2()O hlim()( )bnanTff x dx 2( ) , f xCa b 结结论论：当当时时，2且且是是 阶阶收收敛敛的的. .41()kkkf xf 记记，101()()22nnnknkhTfTf 事实上，事实上，结结论论：复复化化梯梯形形公公式式是是数数值值稳稳定定的的. .11(2)2nkh ()nhba(0,1, ),kkn 设设,()nba 无无论论 多多大大 误误差差不不超超过过初初始始误误差差的的倍倍42)(xf替替用用分分段段二二次次插插值值函函数数代代即分段用即分段用Simpson公式再求和可得复化公式再求和可得复

27、化Simpson公式公式.3.2 复化复化Simpson公式公式 x0 x2xf(x)x4hhxn-2hxn,2bahnmn .hx3x1xn-143122111( )( ) 2() 4()( )3mmkknkkhf af bf xf xS f ( )baf x dx , 2a bnm 将将积积分分区区间间等等分分成成个个小小区区间间，2bahm 记记则则， (0,1, )kxakhkn0ax 22kx 2kx2kxnxb 444442221212() 4 ()()6mkkkkhf xf xf x 2221( )kkmxxkf x dx ，222,kkxx 在在上上用用抛抛物物线线公公式式,

28、,求求和和44 ，则则截截断断误误差差为为若若baCxf,)()4( ),(222kkkxx 4(4)( )( ), ( , )180sb aR fh fa b 复化复化Simpson公式：公式：122111( )( )( ) 2() 4()( )3mmbkknakkhf x dxf af bf xf xSf mkkmkkbasxfxfbfafhdxxffR112112)(4)(2)()(3)()( mkkfh1)4(5)(90 4(4)( )180b ah f mfhabhmkk 1)4(5)(290 ( , )a b 等等分分2m45 ，则则截截断断误误差差为为若若baCxf,)()4(

29、4(4)( )( ), ( , )180sb aR fh fa b 复化复化Simpson公式：公式：122111( )( )( ) 2() 4()3mmbkknakkhf x dxf af bf xf xS 4()O h等等分分2mlim()( )bnanSff x dx 4( ) , f xC a b 结结论论：当当时时，4且且是是 阶阶收收敛敛的的. .Simpson复复化化公公式式是是数数值值稳稳定定的的. .46例：对于函数例：对于函数,sin)(xxxf 给出给出n=8n=8的函数表的函数表, , 试用试用复化梯形公式及复化复化梯形公式及复化Simpson公式计算积分公式计算积分

30、10.sindxxxI解：解：ix)(ixf0.00.1250.250.3750.50.6250.750.8751.01.00.99739780.98961580.97672670.95885100.93615560.90885160.84147090.8771925复化梯形公式复化梯形公式=0.9456909复化复化Simpson公式公式=0.9460832准确值准确值 I=0.94608317811 1 (0) 2()(1)2 8kkTff xf 338212011 1 (0) 4() 2()(1)3 8kkkkSff xf xf 47等分数相同，即运算量基本相同时，复化等分数相同，即运算

31、量基本相同时，复化Simpson公式比复化梯形公式精度高公式比复化梯形公式精度高2104xSimpsonedx 例例：若若用用复复化化公公式式计计算算，问问需需要要将将积积分分几几等等分分才才能能保保证证计计算算结结果果有有 位位有有效效数数字字？并并计计算算近近似似值值. . 1 , 0 13 . 0 :2 xex解解210 0.31xe 41410 ,2 为为使使有有 位位有有效效数数字字，取取绝绝对对误误差差限限4(4)()( )180nShRff 482(4)( ) ( ), xfxf xe 需需要要求求的的最最大大值值，2( )2xfxxe ， 44210 ,6.0415nn22(

32、)(42),xfxxe . 8即可即可取取 n41021 412180h 2(5)42( )8 (42015)xfxxxxe ，(4)(4)01max( )(0)12xfxf 23( )( 812 )xfxxx e ，2(4)42( )(164812)xfxxxe ，4(4)()( )180nShRff 492222222(0.125)(0.25)(0.375)(0.5)(0.625)(0.75)(0.875)11(1424238424)0.7468eeeeeeee 210 xedx 如果用复化梯形公式计算，则由误差公式如果用复化梯形公式计算，则由误差公式2141410122he2()( )1

33、2nThRff 2)24()(2xexxf 50n 2)128()(3xexxxf 101max( )(1)4ffe 49.52n为了达到相同的精度复化为了达到相同的精度复化Simpson公式公式比复化梯形公式的运算量小比复化梯形公式的运算量小502223( )(),122nnbahTTf ()nTnRfIT 21()12bahf 221()3nnnITTT 22()nTnRfIT 22()()212hbaf 1101()()nkkffn 21201()()2nkkffn 121()()( )banfffx dxba 当当 充充分分大大时时，1( , )a b 2( , )a b 复化梯形公式

34、事后误差估计复化梯形公式事后误差估计512215(),nnnSSIS ()nSnRfIS 4(4)1(),180bahf 221()15nnnISSS 22()nSnRfIS 4(4)2()(),2180hbaf (4)(4)12()()ff 1( , )a b 2( , )a b ,2mn 通通常常采采取取将将区区间间不不断断对对分分的的方方法法 即即取取复化复化Simpson公式事后误差估计公式事后误差估计52,2mmbah 记记(0,1,2,)m 3.3 逐次分半算法逐次分半算法（一）梯形公式的逐次分半算法（一）梯形公式的逐次分半算法 , 2ma bn 将将区区间间分分成成等等份份2121( )( )2()2mmmmkhTf af bf akh 为为梯梯形形值值序序列列2mT53递推公式递推公式: 1212211(21) (1,2,)2mmmmmkTThf akhm 2 , ,fC a b 若若则则12221()3mmmITTT 122mmTT 的的值值等等于于上上次次梯梯形形值值的的一一半半加加上上新新增增节节点点值值的的和和与与新新节节点点距距离离的的乘乘积积. .1223,m