曲面及其方程二次曲面学习教案

1、会计学1曲面曲面(qmin)及其方程二次曲面及其方程二次曲面(qmin)第一页，共55页。水桶的表面、台灯(tidng)的罩子面等曲面(qmin)在空间解析几何中被看成是点的几何轨迹曲面方程(fngchng)的定义：如如果果曲曲面面S与与三三元元方方程程0),( zyxF有有下下述述关关系系：（1 1） 曲曲面面S上上任任一一点点的的坐坐标标都都满满足足方方程程；（2 2）不不在在曲曲面面S上上的的点点的的坐坐标标都都不不满满足足方方程程；曲面的实例：2第1页/共54页第二页，共55页。以下给出几例常见(chn jin)的曲面.解设设),(zyxM是是球球面面上上任任一一点点，RMM |0根据

2、(gnj)题意有 Rzzyyxx 202020 2202020Rzzyyxx 所求方程(fngchng)为特殊地：球心在原点时方程为2222Rzyx 3第2页/共54页第三页，共55页。例例 2 2 求与原点求与原点O及及)4 , 3 , 2(0M的距离之比为的距离之比为2:1的的点的全体所组成的曲面方程点的全体所组成的曲面方程.解设设),(zyxM是是曲曲面面上上任任一一点点，,21|0 MMMO根据(gnj)题意有 ,21432222222 zyxzyx .911634132222 zyx所求方程(fngchng)为4第3页/共54页第四页，共55页。设设),(zyxM是是所所求求平平面面

3、上上任任一一点点，根据(gnj)题意有|,|MBMA 222321 zyx ,412222 zyx化简得所求方程(fngchng). 07262 zyx解5第4页/共54页第五页，共55页。zxyo例4 方程(fngchng) 的图形是怎样的？1)2()1(22 yxz根据(gnj)题意有1 z用用平平面面cz 去去截截图图形形得得圆圆：)1(1)2()1(22 ccyx 当当平平面面cz 上上下下移移动动时时，得得到到一一系系列列圆圆圆心在圆心在), 2 , 1(c，半径为，半径为c 1半径随半径随c的增大而增大的增大而增大.图形上不封顶(fn dn)，下封底解c6第5页/共54页第六页，共

4、55页。以上几例表明研究空间(kngjin)曲面有两个基本问题：（2）已知坐标间的关系式，研究曲面(qmin)形状（讨论旋转(xunzhun)曲面）（讨论柱面、二次曲面）（1）已知曲面作为点的轨迹时，求曲面方程7第6页/共54页第七页，共55页。8二、旋转(xunzhun)曲面定义(dngy)：以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面称为旋转曲面。这条曲线和定直线分别称为旋转曲面的母线和旋转轴。第7页/共54页第八页，共55页。9二、旋转(xunzhun)曲面定义：以一条平面曲线(qxin)绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面称为旋转曲面。这条曲线(qxin)和定直线一次称为旋转

5、曲面的母线和旋转轴。第8页/共54页第九页，共55页。10二、旋转(xunzhun)曲面定义(dngy)：以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面称为旋转曲面。这条曲线和定直线一次称为旋转曲面的母线和旋转轴。第9页/共54页第十页，共55页。11二、旋转(xunzhun)曲面定义：以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转(xunzhun)一周所成的曲面称为旋转(xunzhun)曲面。这条曲线和定直线一次称为旋转(xunzhun)曲面的母线和旋转(xunzhun)轴。第10页/共54页第十一页，共55页。12二、旋转(xunzhun)曲面定义：以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周

6、(y zhu)所成的曲面称为旋转曲面。这条曲线和定直线一次称为旋转曲面的母线和旋转轴。第11页/共54页第十二页，共55页。13二、旋转(xunzhun)曲面定义：以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面(qmin)称为旋转曲面(qmin)。这条曲线和定直线一次称为旋转曲面(qmin)的母线和旋转轴。第12页/共54页第十三页，共55页。14二、旋转(xunzhun)曲面定义：以一条(y tio)平面曲线绕其平面上的一条(y tio)直线旋转一周所成的曲面称为旋转曲面。这条曲线和定直线一次称为旋转曲面的母线和旋转轴。第13页/共54页第十四页，共55页。15二、旋转(xunzhun

7、)曲面定义：以一条平面(pngmin)曲线绕其平面(pngmin)上的一条直线旋转一周所成的曲面称为旋转曲面。这条曲线和定直线一次称为旋转曲面的母线和旋转轴。第14页/共54页第十五页，共55页。16二、旋转(xunzhun)曲面定义(dngy)：以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面称为旋转曲面。这条曲线和定直线一次称为旋转曲面的母线和旋转轴。第15页/共54页第十六页，共55页。17二、旋转(xunzhun)曲面定义：以一条平面曲线绕其平面上的一条直线(zhxin)旋转一周所成的曲面称为旋转曲面。这条曲线和定直线(zhxin)一次称为旋转曲面的母线和旋转轴。第16页/共54页

8、第十七页，共55页。18二、旋转(xunzhun)曲面定义：以一条平面曲线(qxin)绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面称为旋转曲面。这条曲线(qxin)和定直线一次称为旋转曲面的母线和旋转轴。第17页/共54页第十八页，共55页。19二、旋转(xunzhun)曲面定义：以一条平面(pngmin)曲线绕其平面(pngmin)上的一条直线旋转一周所成的曲面称为旋转曲面。这条曲线和定直线一次称为旋转曲面的母线和旋转轴。第18页/共54页第十九页，共55页。20二、旋转(xunzhun)曲面定义：以一条平面曲线(qxin)绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面称为旋转曲面。这条曲线(qxin)和

9、定直线一次称为旋转曲面的母线和旋转轴。第19页/共54页第二十页，共55页。21例5 证明(zhngmng)以oz轴为旋转轴，yoz坐标面上的已知曲线( , )0C:0f y zx 为母线所产生的旋转曲面(qmin)S的方程为：22(, )0fxyzxozy证明(zhngmng)：旋转曲面如图设M(x, y, z)为旋转曲面S上任意一点，显然，M一定是由母线C上某点M1(0, y1, z1)旋转得到，1(1),zz 221(2)|yxy (0, 0, z)代入母线方程即得证明。( , , )M x y z),0(111zyM即( , )00f y zx 第20页/共54页第二十一页，共55页。

10、2222( ,)0f yxz 注意(zh y)：( , )0C:0f y zx 1. yoz平面(pngmin)上的母线 绕oz轴旋转得旋转曲面22(, )0fxyz( , )0C:0f y zx 2. yoz平面上的母线(mxin) 绕oy轴旋转得旋转曲面( , )0C:0f x yz 3. xoy平面上的母线 绕ox轴旋转得旋转曲面22( ,)0f xyz第21页/共54页第二十二页，共55页。例6 将下列各曲线(qxin)绕对应的轴旋转一周，求生成的旋转曲面的方程绕绕x轴轴旋旋转转绕绕z轴旋转轴旋转122222 czyax122222 czayx23这两种曲面都叫做(jiozu)旋转双曲

11、面.第22页/共54页第二十三页，共55页。绕绕y轴轴旋旋转转绕绕z轴旋转轴旋转122222 czxay122222 czayx旋转(xunzhun)椭球面pzyx222 旋转(xunzhun)抛物面24第23页/共54页第二十四页，共55页。特点(tdin)：曲面方程 中若除一个变量外，另外两个变量能写成平方和的形式，则该曲面是旋转曲面( , , )0F x y z 例： 2221499xyz222214901490 xyxzxzxy 由由椭椭圆圆曲曲线线绕绕轴轴旋旋转转所所得得的的椭椭球球面面或或由由椭椭圆圆曲曲线线绕绕轴轴旋旋转转所所得得的的椭椭球球面面2221xyz呢呢？25第24页/

12、共54页第二十五页，共55页。xozy解 yoz面面上上直直线线方方程程为为 cotyz ), 0(111zyM ),(zyxM圆锥(yunzhu)面方程 cot22yxz oxzy 26第25页/共54页第二十六页，共55页。27播放(b fn)定义(dngy)三、柱面观察柱面的形成(xngchng)过程:沿定曲线C 移动的动直线L 所形成的曲面称为柱面。这条定曲线C 叫柱面的准线，动直线L叫柱面的母线。第26页/共54页第二十七页，共55页。28定义(dngy)三、柱面沿定曲线(qxin)C 移动的动直线L 所形成的曲面称为柱面。这条定曲线C 叫柱面的准线(zhn xin)，动直线L叫柱面

13、的母线。观察柱面的形成过程:第27页/共54页第二十八页，共55页。29定义(dngy)三、柱面沿定曲线C 移动的动直线L 所形成的曲面(qmin)称为柱面。这条定曲线C 叫柱面的准线，动直线(zhxin)L叫柱面的母线。观察柱面的形成过程:第28页/共54页第二十九页，共55页。30定义(dngy)三、柱面沿定曲线C 移动(ydng)的动直线L 所形成的曲面称为柱面。这条定曲线(qxin)C 叫柱面的准线，动直线L叫柱面的母线。观察柱面的形成过程:第29页/共54页第三十页，共55页。31定义(dngy)三、柱面沿定曲线C 移动的动直线L 所形成(xngchng)的曲面称为柱面。这条定曲线(

14、qxin)C 叫柱面的准线，动直线L叫柱面的母线。观察柱面的形成过程:第30页/共54页第三十一页，共55页。32定义(dngy)三、柱面沿定曲线(qxin)C 移动的动直线L 所形成的曲面称为柱面。这条定曲线(qxin)C 叫柱面的准线，动直线L叫柱面的母线。观察柱面的形成过程:第31页/共54页第三十二页，共55页。33定义(dngy)三、柱面沿定曲线C 移动的动直线(zhxin)L 所形成的曲面称为柱面。这条定曲线(qxin)C 叫柱面的准线，动直线L叫柱面的母线。观察柱面的形成过程:第32页/共54页第三十三页，共55页。34定义(dngy)三、柱面沿定曲线C 移动的动直线L 所形成的

15、曲面(qmin)称为柱面。这条定曲线(qxin)C 叫柱面的准线，动直线L叫柱面的母线。观察柱面的形成过程:第33页/共54页第三十四页，共55页。35定义(dngy)三、柱面沿定曲线C 移动的动直线(zhxin)L 所形成的曲面称为柱面。这条定曲线C 叫柱面的准线(zhn xin)，动直线L叫柱面的母线。观察柱面的形成过程:第34页/共54页第三十五页，共55页。36定义(dngy)三、柱面沿定曲线C 移动的动直线(zhxin)L 所形成的曲面称为柱面。这条定曲线C 叫柱面的准线(zhn xin)，动直线L叫柱面的母线。观察柱面的形成过程:第35页/共54页第三十六页，共55页。37定义(d

16、ngy)三、柱面沿定曲线C 移动的动直线(zhxin)L 所形成的曲面称为柱面。这条定曲线C 叫柱面的准线，动直线(zhxin)L叫柱面的母线。观察柱面的形成过程:第36页/共54页第三十七页，共55页。38定义(dngy)三、柱面沿定曲线C 移动的动直线L 所形成(xngchng)的曲面称为柱面。这条定曲线C 叫柱面的准线(zhn xin)，动直线L叫柱面的母线。观察柱面的形成过程:第37页/共54页第三十八页，共55页。39柱面举例(j l)xozyxozy220yxz 抛物柱面0yxz 平面(pngmin)第38页/共54页第三十九页，共55页。40( , )0C:0f x yz 母线平

17、行(pngxng)于 z 轴的柱面方程为：( , )0f x y 一般地，已知准线方程( , )0f x y 注意：方程中缺z，表示z可以任意取值，所以方程 表示母线平行于z轴的柱面。( ,)0f x y 一般(ybn)地，在空间直角坐标下( , )0f x y （缺z），表示母线(mxin)？，准线为？的柱面。( , )0f x z （缺y），表示母线？，准线为？的柱面。( , )0f y z （缺x），表示母线？，准线为？的柱面。第39页/共54页第四十页，共55页。41问：12222 czby（1） 表示什么(shn me)曲面？22221xzac（2） 表示(biosh)什么曲面？回顾

18、(hug)1. 三元方程 F(x,y,z)=0表示空间的一张曲面S。2. 表示一张球面。2220AxAyAzBxCyDzE AxByCzD0 3. 表示空间的一张平面。( , )0C:0f y zx 4. yoz平面上的母线 绕oz轴旋转得旋转曲面第40页/共54页第四十一页，共55页。42四、二次曲面三元二次方程所表示的曲面(qmin)称为二次曲面(qmin)。目的：利用(lyng)截痕法讨论二次曲面的形状。即：用坐标面和平行于坐标面的平面与曲面相截，考察其交线（即截痕）的形状，然后加以综合，从而了解(lioji)曲面的全貌。22(, )0fxyz5. xoy平面上的准线方程 母线平行于 z

19、 轴的( , )0C:0f x yz 柱面方程为：( , )0f x y 其基本类型有:椭球面、抛物面、双曲面、锥面第41页/共54页第四十二页，共55页。43（一）椭球面1222222 czbyax椭球面与三个坐标(zubio)面的交线：22221,0 xyabz 椭球面与平面(pngmin) 的交线为椭圆1zz 12122222122221)()(zzzccbyzccax同理与平面(pngmin)x=x1和y=y1 的交线也是椭圆22221,0 xzacy 22221,0yzbcx 第42页/共54页第四十三页，共55页。44椭球面的几种特殊(tsh)情况：,)1(ba 222221xyz

20、ac 旋转(xunzhun)椭球面222210 xzacy 由椭圆(tuyun) 或 绕z轴旋转而成。222210yzbcx ,)2(cba 1222222 azayax球面2222xyza 方程可写为第43页/共54页第四十四页，共55页。45（二）抛物面zqypx 2222（p与q同号(tn ho)）（1）椭圆(tuyun)抛物面用截痕法讨论(toln)：（1）用坐标面 xoy (z=0) 去截；设p与q都大于零。（2）用平面 去截；11(0)zz z （3）用坐标面 xoz 或 yoz 去截；（4）用平面 去截；11xxyy或或yoxz第44页/共54页第四十五页，共55页。46zxyo

21、椭圆抛物面的图形(txng)如下：0, 0 qpxyzo0, 0 qp特殊(tsh)地：当p=q时，方程变为zpypx 2222旋转(xunzhun)抛物面第45页/共54页第四十六页，共55页。47（2）双曲抛物面（马鞍(m n)面）zqypx 2222( p与q同号(tn ho) )用截痕法讨论(toln)：设0, 0 qpxzyo第46页/共54页第四十七页，共55页。48（三）双曲面单叶双曲面1222222 czbyax xyoz（1）zoxy.第47页/共54页第四十八页，共55页。by 1) 1上的截痕为平面1zz 椭圆(tuyun).时, 截痕为22122221byczax(实轴

22、平行(pngxng)于x 轴；虚轴平行(pngxng)于z 轴）1yy zxy),(1222222为正数cbaczbyax1yy 平面 上的截痕情况:双曲线: 第48页/共54页第四十九页，共55页。虚轴平行(pngxng)于x 轴）by 1)2时, 截痕为0czax)(bby或by 1) 3时, 截痕为22122221byczax(实轴平行(pngxng)于z 轴;1yy zxyzxy相交(xingjio)直线: 双曲线: 0第49页/共54页第五十页，共55页。51双叶双曲面1222222 czbyaxxyo（2）xoyz222222czbyax单叶双曲面11双叶双曲面注意(zh y)第50页/共54页第五十一页，共55页。),(22222为正数baz