2.1.无穷小量和无穷大量ppt课件

1、第五节第五节 无穷小量和无穷大量无穷小量和无穷大量一、无穷小量一、无穷小量二、无穷小量阶的比较二、无穷小量阶的比较三、无穷大量三、无穷大量四、渐近线四、渐近线一、无穷小量一、无穷小量 极限为零的变量称为无穷小量极限为零的变量称为无穷小量. .定义定义1内内有有定定义义，的的某某邻邻域域在在点点设设)(00 xUxf , 0lim0 xfxx若若.0时时的的无无穷穷小小量量为为则则称称xxf0fx若若在在点点的的某某个个空空心心邻邻域域内内有有界界，则称则称 f f 为为.0时的有界量时的有界量xx 例如例如, 0sinlim0 xxsin0.xx函数是当时的无穷小量, 01lim xx.1时时

2、的的无无穷穷小小是是当当函函数数 xx, 0)1(lim nnn.)1(时的无穷小时的无穷小是当是当数列数列 nnn注意注意1.无穷小是变量无穷小是变量,不能与很小的数混淆不能与很小的数混淆;2.零是可以作为无穷小的唯一的数零是可以作为无穷小的唯一的数.2.无穷小与函数极限的关系无穷小与函数极限的关系:证证,)(lim0Axfxx 设设,)()(Axfx 令令定理定理 1 1 ),()()(lim0 xAxfAxfxx 其中其中)(x 是当是当0 xx 时的无穷小时的无穷小. Axfxx)(0, 0, 00恒有恒有时时使得当使得当 )(x即有即有0lim( )0 xxx即，即，意义意义1.将一

3、般极限问题转化为特殊极限问题将一般极限问题转化为特殊极限问题(无穷小无穷小);).(,)()(. 20 xAxfxxf 误差为误差为附近的近似表达式附近的近似表达式在在给出了函数给出了函数3.无穷小的运算性质无穷小的运算性质:定理定理2 在同一过程中在同一过程中,有限个无穷小的有限个无穷小的代数和代数和(差、积仍是无穷小差、积仍是无穷小.注意无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小注意无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小. .是是无无穷穷小小，时时例例如如nn1, .11不不是是无无穷穷小小之之和和为为个个但但nn定理定理3 有界函数与无穷小的乘积是无穷小有界函数与无穷小的乘积是无穷小.证证内有界，内

4、有界，在在设函数设函数),(100 xUu.0, 0, 0101MuxxM 恒恒有有时时使使得得当当则则,0时时的的无无穷穷小小是是当当又又设设xx .0, 0, 0202Mxx 恒恒有有时时使使得得当当推论推论1 在同一过程中在同一过程中,有极限的变量与无穷小的有极限的变量与无穷小的乘积是无穷小乘积是无穷小.推论推论2 常数与无穷小的乘积是无穷小常数与无穷小的乘积是无穷小.推论推论3 有限个无穷小的乘积也是无穷小有限个无穷小的乘积也是无穷小.,min21 取取恒恒有有时时则则当当,00 xx uuMM , .,0为无穷小为无穷小时时当当 uxxxxxxx1arctan,1sin,0,2时时当

5、当例例如如都是无穷小都是无穷小二、无穷小的比较二、无穷小的比较 例如例如,xxx3lim20 xxxsinlim02201sinlimxxxx.1sin,sin,022都是无穷小都是无穷小时时当当xxxxxx 极限不同极限不同, 反映了趋向于零的反映了趋向于零的“快慢程度不同快慢程度不同.;32要快得多要快得多比比 xx;sin大大致致相相同同与与xx不可比不可比., 0 , 1 xx1sinlim0 .不不存存在在);(, 0lim)1( o记记作作高高阶阶的的无无穷穷小小是是比比就就说说如如果果定义定义: : . 0, 且且穷小穷小是同一过程中的两个无是同一过程中的两个无设设;),0(li

6、m)2(是是同同阶阶的的无无穷穷小小与与就就说说如如果果 CC;, 1lim 记作记作是等价的无穷小是等价的无穷小与与则称则称如果如果特殊地特殊地常用等价无穷小常用等价无穷小: : ,0时时当当 x, 1lim , 0lim ),( o即即).( o于是有于是有例如例如,),(sinxoxx ).(211cos22xoxx .21cos1,1,)1ln(,arctan,tan,arcsin,sin2xxxexxxxxxxxxxx 定理定理4(4(等价无穷小替换定理等价无穷小替换定理) ).limlim,lim, 则则存存在在且且设设证证 lim)lim( limlimlim.lim 例例3 3

7、 .cos12tanlim20 xxx 求求解解.22tan,21cos1,02xxxxx 时时当当22021)2(limxxx 原式原式. 8 不能滥用等价无穷小代换不能滥用等价无穷小代换.对于代数和中各无穷小不能分别替换对于代数和中各无穷小不能分别替换. .注意注意例例4 4 .2sinsintanlim30 xxxx 求求解解.sin,tan,0 xxxxx时时当当 30)2(limxxxx 原式原式. 0 解解,0时时当当 x)cos1(tansintanxxxx ,213x,22sinxx330)2(21limxxx 原式原式.161 错错 三、无穷大三、无穷大 绝对值无限增大的变量

8、称为无穷大绝对值无限增大的变量称为无穷大.特殊情形：正无穷大，负无穷大特殊情形：正无穷大，负无穷大)(lim()(lim)()(00 xfxfxxxxxx或或注意注意1.无穷大是变量无穷大是变量,不能与很大的数混淆不能与很大的数混淆;3. 无穷大是一种特殊的无界变量无穷大是一种特殊的无界变量,但是无但是无界变量未必是无穷大界变量未必是无穷大.)(lim. 20认为极限存在认为极限存在勿将勿将 xfxxxxy1sin1 .,1sin1,0,但不是无穷大但不是无穷大是一个无界变量是一个无界变量时时当当例如例如xxyx ), 3 , 2 , 1 , 0(221)1(0 kkx取取,22)(0 kxy

9、.)(,0Mxyk 充充分分大大时时当当), 3 , 2 , 1 , 0(21)2(0 kkx取取,| , kxk充充分分大大时时当当 kkxyk2sin2)(但但.0M 不是无穷大不是无穷大无界，无界，.11lim1 xx证证明明例例证证. 0 M,11Mx 要使要使,11Mx 只只要要,1M 取取,110时时当当Mx .11Mx 就有就有.11lim1 xx11 xy四、无穷小与无穷大的关系四、无穷小与无穷大的关系 定理定理5 5 在同一过程中在同一过程中, ,无穷大的倒数为无穷小无穷大的倒数为无穷小; ;恒不为零的无穷小的倒数为无穷大恒不为零的无穷小的倒数为无穷大. .证证.)(lim0

10、 xfxx设设,1)(0, 0, 00 xfxx恒恒有有时时使使得得当当.)(1 xf即即.)(1,0为为无无穷穷小小时时当当xfxx . 0)(, 0)(lim,0 xfxfxx且且设设反反之之,1)(0, 0, 00MxfxxM 恒有恒有时时使得当使得当.)(1Mxf 从而从而.)(1,0为为无无穷穷大大时时当当xfxx , 0)( xf由由于于意义意义 关于无穷大的讨论关于无穷大的讨论, ,都可归结为关于无穷小的讨论都可归结为关于无穷小的讨论. .五、小结五、小结 几点注意几点注意:无穷小与无穷大是相对于过程而言的无穷小与无穷大是相对于过程而言的.（1） 无穷小（无穷小（ 大是变量大是变

11、量,不能与很小大的数混淆，不能与很小大的数混淆，零是唯一的无穷小的数；零是唯一的无穷小的数；（2 2无穷多个无穷小的代数和乘积未必是无穷小无穷多个无穷小的代数和乘积未必是无穷小. .（3） 无界变量未必是无穷大无界变量未必是无穷大.四、渐近线作为函数极限的一个应用，我们来讨论曲线的渐作为函数极限的一个应用，我们来讨论曲线的渐在中学里我们已经知道双曲线的在中学里我们已经知道双曲线的标准方程为标准方程为, 12222byax它的渐近线方程为它的渐近线方程为.xabyxaby xaby 12222 byaxoxy近线问题近线问题.下面给出渐近线的一般定义下面给出渐近线的一般定义.定义定义4 设设 L

12、 是一条直线是一条直线, 若曲线若曲线 C 上的动点上的动点 P 沿沿曲线无限远离原点时曲线无限远离原点时, 点点 P 与与 L 的距离趋于零，那的距离趋于零，那么么称直线称直线 L 为曲线为曲线 C 的一条渐近线的一条渐近线(如图如图).bkxy PNML L)(xfy C CxyO设斜渐近线设斜渐近线 L 的方程为的方程为.bkxy 设曲线方程为设曲线方程为:( ) .yf x如图，如图，.1)(|cos|2kbkxxfPMPN 由渐近线的定义，由渐近线的定义，或或时时( x xx,即即时时）,0,PN,01)(lim2 kbkxxfxbkxy PNML L)(xfy C CxyO从而从而

13、. )(limkxxfbx 又又xkxxfkxxfxx )(lim)(lim,0lim xbx所以，所以，.)(limxxfkx 斜渐近线：斜渐近线：的两个参数：的两个参数：,)(limxxfkx . )(limkxxfbx ykx b（负方向类同）（负方向类同）满满足足若若函函数数)(xf )(lim0 xfxx则称则称 x = x0 是曲线是曲线 的垂直渐近线的垂直渐近线.)(xfy 定义：定义：, )(lim)(lim(00 xfxfxxxx或或例例9 求曲线求曲线3223 xxxy的渐近线的渐近线.)(lim,)(lim31 xfxfxx并且并且 f (x) 在其他点处均有有限极限，所以求得在其他点处均有有限极限，所以