大学物理相对论的动力学

1、12 按照狭义相对论的相对性原理，按照狭义相对论的相对性原理，一切物理一切物理规律都应该在洛仑兹变换下保持各自的形式不规律都应该在洛仑兹变换下保持各自的形式不变。变。一个正确的力学定律也必须在洛仑兹变换一个正确的力学定律也必须在洛仑兹变换下保持不变。下保持不变。 经典力学的规律在伽利略变换下保持不变，经典力学的规律在伽利略变换下保持不变，而在洛仑兹变换下不能保持不变的形式。我们要而在洛仑兹变换下不能保持不变的形式。我们要对牛顿力学规律加以修改，使它满足相对论的协对牛顿力学规律加以修改，使它满足相对论的协变性要求。变性要求。3 牛顿定律与光速极限的牛顿定律与光速极限的矛盾矛盾tmtpFd(ddd

2、)vmFatvC0vo物体在恒力作用下的运动物体在恒力作用下的运动att0vv经典力学中物体的质量与运动无关经典力学中物体的质量与运动无关说明只要时间足够长，说明只要时间足够长， 可超过光速。可超过光速。41 102201 122m vm vm vm v设在设在S 系中沿系中沿 x 方向：方向： 由伽里略速度变换由伽里略速度变换 vvu得得 1102201122()()()()m vum vum vum vu故故 1 102201 122m vm vm vm v可见，在可见，在S系中动量也守恒。系中动量也守恒。 如果用洛仑兹变换如果用洛仑兹变换 21xxxvuvv uc 10201212121

3、0201222221111xxxxxxxxvuvuvuvummmmvuvuv uv ucccc1 102201 122xxxxm vm vm vm vS系中动量不再守恒系中动量不再守恒?！动量守恒定律动量守恒定律5 动量守恒定律和能量守恒定律应该是自然界动量守恒定律和能量守恒定律应该是自然界的普遍规律。的普遍规律。这就需要寻找一种与狭义相对论一致的新的这就需要寻找一种与狭义相对论一致的新的动力学规律，这种新的动力学规律应该满足：动力学规律，这种新的动力学规律应该满足：它们的定律表达式在它们的定律表达式在洛仑兹变换下应保持不洛仑兹变换下应保持不变，从而能够正确地描述高速运动的规律；变，从而能够正

4、确地描述高速运动的规律；当速度当速度 v c 时，还要能够很自然地过渡到时，还要能够很自然地过渡到经典力学；经典力学；相对论中仍然要保留那些质量守恒、动量守相对论中仍然要保留那些质量守恒、动量守恒及能量守恒等具有普遍意义的基本思想。恒及能量守恒等具有普遍意义的基本思想。物理概念：物理概念：质量、动量、能量等，质量、动量、能量等，重新审视其定义重新审视其定义6m 粒子以速率粒子以速率 v 运动时的质量运动时的质量（运动质量）（运动质量）m0 粒子静止时的质量粒子静止时的质量（静止质量）（静止质量）相对论力学：相对论力学：质量与速度有关。质量与速度有关。相对论质量相对论质量：0221/mmc 质速

5、关系质速关系式中式中 v 为粒子相对某一参照系的速率。为粒子相对某一参照系的速率。 在相对论中在相对论中，若，若仍定义质点动量为质量与速仍定义质点动量为质量与速度的乘积度的乘积，要使动量守恒定律在洛伦兹变换下保，要使动量守恒定律在洛伦兹变换下保持不变，则要求持不变，则要求质量质量 m 与质点运动速度有关与质点运动速度有关。一、相对论质速关系一、相对论质速关系一、相对论质量一、相对论质量质速关系的推导：质速关系的推导：设：设：S S 系系静止在静止在OO处有一处有一粒子质量粒子质量M, tM, t 时刻分裂时刻分裂成两个完全相同的粒子：成两个完全相同的粒子： mA=mB 两粒子分别沿两粒子分别沿

6、X X轴轴的正反方向运动的正反方向运动XyOMmAmBXyuOMmAmB-uSS系看：系看：00ABMaAxbBxAxBxPPPm vm vvv设设S S系相对系相对 mA 静止，即以静止，即以 -u相对相对S S系运动，系运动，AxBxvvu令：0AxAyAzvvvvA=022211BxBxBxvuuvuuvcc vB=vBx分裂前：粒子的动量分裂前：粒子的动量0PMuiABMmm其中分裂后：粒子的动量分裂后：粒子的动量tB BPm v i则：则：Mu=mBvBO Oy y-u-u即：即：vA= u vB= u根据相对性原理：根据相对性原理：F=0，Pt=P0对于任何参照系保持形式不对于任何

7、参照系保持形式不变变mA粒子粒子mB粒子粒子S S系看：系看：即即221ABBummumuc显然显然 若若 mA=mB 上式不成立上式不成立由相对性原理：由相对性原理： Pt=P0 在在S S系成立，则系成立，则 mA mB，由上式得由上式得2211BAucmmuc221Buvuc将代入211BABmmvc得0211mmu cS S系的系的 结论：结论：同一粒子在不同运动速度其质量不同同一粒子在不同运动速度其质量不同 mA mB Bmm0Amm静止质量静止质量在在S S系，系，mB运动质运动质量量mA静止质量静止质量Mu=mBvB10 在不同惯性系中大小不同。在不同惯性系中大小不同。)(vm1

8、）物体质量与速度有关，物体质量与速度有关，,0v0mm物体物体相对于惯性系相对于惯性系静止时质量最小静止时质量最小。3）光速是物体运动的极限速度光速是物体运动的极限速度。021( / )mmc 2）低速物体低速物体, 0mm, cv质量不变。质量不变。vmC0mo运动物体质量增大了。运动物体质量增大了。114）当当 cv 时，时， m若若 m00，则，则无意义无意义。m00 的物体，其速率的最大值只能是接近的物体，其速率的最大值只能是接近 C，而不能等于而不能等于 C。如果物体的速度等于如果物体的速度等于 C，则这种物体的静止，则这种物体的静止质量只能为质量只能为 0，比如已经发现比如已经发现

9、 m0 = 0 的粒子有光的粒子有光子、中微子等。子、中微子等。vmC0mo021( / )mmc 125）实验证明质速关系是正确的。实验证明质速关系是正确的。 让电子在加速器让电子在加速器中加速，测电子的荷中加速，测电子的荷质比质比 e/m ，发现该值，发现该值随速度增大而减小。随速度增大而减小。021( / )mmc 132）相对论动量相对论动量当当 时时cvvv0mmp动量与速度的关系：动量与速度的关系： 在不同惯性系中大小不同。在不同惯性系中大小不同。)(vmvmC0mo可以证明，该公式保证动量守恒定律在洛可以证明，该公式保证动量守恒定律在洛仑仑兹兹变换下，对任何惯性系都保持不变性。变

10、换下，对任何惯性系都保持不变性。1）相对论质量相对论质量021( / )mmc 20)/(1cmmp 14真真 空空例：例：用静电直线加速器可将电子的速度加速到接近用静电直线加速器可将电子的速度加速到接近光速。全长约三公里多的斯坦福直线加速器曾将电光速。全长约三公里多的斯坦福直线加速器曾将电子加速到子加速到问：问：此时电子的质量是其静止质量的几倍？此时电子的质量是其静止质量的几倍？0.99999999970.9999999997由由0.99999999944.0825104610 -1015dtvmddtpdF)( dtvmddtpdF)( 在相对论力学中仍用动量变化率定义质点在相对论力学中仍

11、用动量变化率定义质点受到的作用力，即：受到的作用力，即：注意：质量随速度变化。注意：质量随速度变化。 dtvdmdtdmv 力与加速度方向可以不同。力与加速度方向可以不同。外力不仅改变物体的速度还改变物体的质量。外力不仅改变物体的速度还改变物体的质量。021( / )mmc 16在经典力学中，人们认为质量在经典力学中，人们认为质量是始终保持不变的恒量。是始终保持不变的恒量。amF 相对论动量守恒定律相对论动量守恒定律iiiiiiimpF2010v当当时，时，不变。不变。tmFmmcdd0vv当当 时时17三、三、牛顿力学中：牛顿力学中： 平动动能平动动能:212kEm 相对论力学：相对论力学：

12、仍用力对粒子做功计算粒子动能仍用力对粒子做功计算粒子动能的增量，并用的增量，并用 EK 表示粒子速率为表示粒子速率为 v 时的动能，时的动能， 设物体在合外力设物体在合外力F 的作用下，由静止开始运动，的作用下，由静止开始运动，由动能定理有：由动能定理有：000()()kd mEF drdrd mdt dmdmdmdmmd 22)(211()22dddd 18,c/mmo221 000()()kd mEF drdrd mdt dmdmdmdmmd 22)(222021mmc 2222220m cmm c 即：即：两边求微分得：两边求微分得：2222220mc dmmdmmd 22c dmdmm

13、d 2omkmEc dm22cmmco 1920k21vvmEc 当当 时时,相对论的动能表达式相对论的动能表达式202cmmcEk 相对论中的动能与牛顿力学中的动能相对论中的动能与牛顿力学中的动能在形式上完全不同！在形式上完全不同！注意：注意： 02202/1mcmcEkv) 183211 (442220cccmvv220vm)642531423121111(32.xxxx （麦克劳林展开）（麦克劳林展开）202Emc为粒子以速率为粒子以速率v运动时的运动时的总能量总能量0KEEE物体作为一个整体作机械运动而物体作为一个整体作机械运动而具有的能量（平具有的能量（平动动的的能能量）量）由由 得

14、：得：220KEmcm c200Em c为粒子为粒子静止静止时所具有的时所具有的能量能量k202Ecmmc 21静止能量是相当可观的。静止能量是相当可观的。例如一千克的物体的静止能量为：例如一千克的物体的静止能量为：()282160013 109 10Em cJ 宏观静止物体的宏观静止物体的静能静能：是组成该物质的诸微观：是组成该物质的诸微观粒子：粒子： 分子、原子、电子、核子分子、原子、电子、核子 的动能及的动能及相互作用能之总和。相互作用能之总和。相当于相当于 20 20 吨汽油燃烧的能量。吨汽油燃烧的能量。222Emc相对论相对论质能质能关系：关系： 质能关系质能关系预言预言：物质的质量

15、就是能量的一种储藏：物质的质量就是能量的一种储藏 。 物体在静止时仍有数量极大的能量，能量并不物体在静止时仍有数量极大的能量，能量并不短缺，短缺的是使物体释放能量的技术。短缺，短缺的是使物体释放能量的技术。 质量是物质惯性的量度，能量是物质运动的量质量是物质惯性的量度，能量是物质运动的量度；度；一定的质量相应于一定的能量，二者的数值一定的质量相应于一定的能量，二者的数值只相差一个恒定的因子只相差一个恒定的因子c2 。说明物质与运动是不说明物质与运动是不可分割的。可分割的。 首次揭示质量与能量不可分割，并建立了物首次揭示质量与能量不可分割，并建立了物质的质量和能量两个属性在量值上的关系，是近质的

16、质量和能量两个属性在量值上的关系，是近代物理的重要理论支柱。代物理的重要理论支柱。23 若有几个粒子在相互作用（如碰撞）若有几个粒子在相互作用（如碰撞）过程中，能量守恒应表示为：过程中，能量守恒应表示为：对于孤立系统，总能量守恒和总质量守恒是统一的。对于孤立系统，总能量守恒和总质量守恒是统一的。2()iiiiEmc常量常量iim 常量常量物体的总能量物体的总能量 若发生变化，必将伴若发生变化，必将伴随相应的质量变化，反之亦然，即：随相应的质量变化，反之亦然，即：2)(cmE 相对论的质能关系为开创原子能时代提供了理相对论的质能关系为开创原子能时代提供了理论基础，这是一个具有划时代的意义的理论公

17、式。论基础，这是一个具有划时代的意义的理论公式。24电子的静质量电子的静质量 kg10911. 0300mMeV511. 0J1019. 81420cm电子的静能电子的静能 MeV938J10503. 11020cm质子的静能质子的静能 k202EcmmcE相对论相对论质能质能关系关系 1千克千克的物体所包含的的物体所包含的静静能能 J109161千克汽油的燃烧值为千克汽油的燃烧值为 焦耳焦耳 .7106 . 4 静静能能 ：物体：物体静止静止时所具有的时所具有的能量能量 .20cm质子的静质量质子的静质量 kg10673. 1270m25核反应中：核反应中：反应前：反应前：反应后：反应后：静

18、质量静质量 m01 总动能总动能EK1 静质量静质量 m02 总动能总动能EK2能量守恒：能量守恒：22021201KKEcmEcm 因此：因此：2020112)(cmmEEKK 核反应中释放的能量相应于一定的质量亏损。核反应中释放的能量相应于一定的质量亏损。总动能增量总动能增量20cmEk 对于孤立系统，总能量和总质量是守恒的。但是系统的对于孤立系统，总能量和总质量是守恒的。但是系统的动能和静能可以相互转换。静能变了，则静止质量发生相应动能和静能可以相互转换。静能变了，则静止质量发生相应的变化。的变化。 静止质量的减少静止质量的减少叫叫质量亏损质量亏损。总静止质量的减小总静止质量的减小质量亏

19、损质量亏损2623411120H +HHenkg103.3437H)(27D21 mkg105.0449H)(27T31 mkg106.6425He)(27He42 mkg101.6750n)(27n10 m氘核：氘核：氚核：氚核：氦核：氦核：中子：中子：求：求：这一热核反应释放的能量是多少？这一热核反应释放的能量是多少？ 各种粒子的静各种粒子的静质量如下：质量如下：例：例：较轻的原子核在一定条件下聚合成较重的原子核称为较轻的原子核在一定条件下聚合成较重的原子核称为核核聚变反应。聚变反应。发生核聚变反应时会释放出巨大的能量。已知由发生核聚变反应时会释放出巨大的能量。已知由氢的同位素氘核和氚核聚

20、合成氦核的核聚变反应式为氢的同位素氘核和氚核聚合成氦核的核聚变反应式为质质 量量 数数质质 子子 数数27 这相当于同质量的优质煤燃烧所释放热量这相当于同质量的优质煤燃烧所释放热量的一千多万倍！的一千多万倍！)kg(100311. 027)()(nHeTD0mmmmm 反应中质量亏损为：反应中质量亏损为：.21202 799 10JEm c 解：解：相应释放的能量为：相应释放的能量为：1kg这种核燃料所释放的能量为：这种核燃料所释放的能量为：.14123 35 10 J/kgEmm 28222021ccmmcEv2201cmmpvvv22222022)()(cmcmmcvE200cmE pc2

21、2202cpEE极端相对论近似极端相对论近似pcEEE,0光子光子cmv,00mccEp光的波粒二象性光的波粒二象性hphE,普朗克常量普朗克常量29 例：例： 设一质子以速度设一质子以速度 运动。运动。 求：求：其总能量、动能和动量。其总能量、动能和动量。c80. 0v解：解： 质子的静能质子的静能MeV938200cmEMeV1563MeV)8 . 01 (938121222202ccmmcEvMeV62520kcmEE119220smkg1068. 61cmmpvvvMeV1250)(2202cmEcpcpMeV1250也可如此计算也可如此计算30例：例：用用 20000V 的电压把的电

22、压把一静止的电子进行一静止的电子进行加速加速（相当（相当于动能于动能 Ek = 20keV ），）， 求：求：该电子的速度和质量。该电子的速度和质量。 22cmmcEok )111(222 c/cmo ( mo = 9.1110 -31 kg, 1ev = 1.610 -19 J )221cmmo om.kg.0411047931 )/(1082. 08sm2221 cmEcmcoko 求得：求得： 解：解：由由,mEk221 就可求得速度就可求得速度 。31例：例：一运动粒子的质量为其静质量一运动粒子的质量为其静质量 mo 的的 k 倍，倍，求：求：该粒子的总能、动能、动量和速度。该粒子的总能、动能、动量和速度。 解：解：由题义