大学物理第五章

1、上讲内容：基本概念上讲内容：基本概念1. .角动量角动量vmrprL质点质点自旋轨道LLvmrvMrLiiiicc 质点系质点系定轴刚体定轴刚体JmrLiiiz22. 转动惯量转动惯量iiimrJ2mrJd21.1.由长由长l 的轻杆连接的质点如图所示，求质点系对过的轻杆连接的质点如图所示，求质点系对过A垂直于该平面的轴的转动惯量。垂直于该平面的轴的转动惯量。222)2)(54()2(32lmmlmmlJ232ml刚体的总质量刚体的总质量 (同分布同分布, J大大J小小)影响影响 J 的因素的因素刚体质量分布刚体质量分布 (同同m, J空空J实实)转轴的位置转轴的位置3. 计算计算iiimrJ

2、2mrJd2llllAmm2m3m4m5A2213)543(mllmmmmJ若转轴过若转轴过A点点2. 一长为一长为L的细杆，质量的细杆，质量m均匀分布均匀分布 ，求该杆对垂直，求该杆对垂直于杆，分别过杆的中点和一端端点的轴的转动惯量。于杆，分别过杆的中点和一端端点的轴的转动惯量。(1)(1)轴过中点轴过中点22223231dLLLLxLmxLmxmxmrJdd222331218831mLLLLmLoxmdx(2) 轴过一端端点轴过一端端点mxmrJdd222331031mLLxLmxLmxLd022L2Loxmdx3. 求质量求质量 m , 半径半径 R 的圆环对中心垂直轴的转动惯量的圆环对

3、中心垂直轴的转动惯量解解: 圆环上取微元圆环上取微元dmmrJd2mmR02dmRlRmRJR2202d22mRJ1 = mR2+m1R22222xRRmmRJ思考思考1. 环上加一质量为环上加一质量为m1的质点的质点, J1 =? ROdmm1思考思考2. 环上有一个环上有一个 x的缺口，的缺口，J2=? xRO4. 求质量求质量 m , 半径半径 R 的均匀圆盘对中心垂直轴的转动的均匀圆盘对中心垂直轴的转动惯量。惯量。ROrdr: 圆盘上取半径为圆盘上取半径为r宽度宽度dr的圆环的圆环 作为质量元作为质量元dmmrJmRJdd22环环SmddrrRmd22rrRmrJd222rrRmRd2

4、032221mR5. 求质量求质量 m ,半径半径 R 的球体对直径的转动惯量的球体对直径的转动惯量: 球体上取半径为球体上取半径为r厚度厚度dx 的圆盘作为质量元的圆盘作为质量元dmmrJmRJd21d2122盘盘VmddxrRmd) 34(23xxRRmxrRmJRRRRd) 34(21d) 34(21222343252mR教材教材: 球面球面 球体的求解方法球体的求解方法Rorx注意：注意： 对同轴的转动惯量才具有可加减性。对同轴的转动惯量才具有可加减性。平行轴定理平行轴定理CDdm2mdJJCD正交轴定理正交轴定理yxzJJJ对平面刚体对平面刚体yxzo证明见教材证明见教材95页页教材

5、教材P.95 一些均匀刚体的转动惯量表一些均匀刚体的转动惯量表求长求长 L、质量、质量 m 的均匀杆对的均匀杆对 z 轴的转动惯量轴的转动惯量243422487ddmLllLmmlJLLz解一：解一：解三：解三：222248741214mLLmmLLmJJCz解二：解二：2224874343314431mLLmLmJJJOBOAzCA4LmBozL一一、质点角动量的时间变化率、质点角动量的时间变化率tprptrprttLdddd)(ddddprLFrtprtLvmvpvptrdddd0dd质点位矢质点位矢合力合力rmFMrFrtLdd二、二、 力矩力矩FrM服服从从右右手手螺螺旋旋法法则则组组

6、成成的的平平面面和和垂垂直直于于方方向向：大大小小：FrFrFdsin定义：定义：1、对参考点的力矩、对参考点的力矩FrtLddFdrFFrsin大小：大小：方向：方向：服从右手螺旋法则服从右手螺旋法则rFodm2、 对轴的力矩对轴的力矩FrFrFFrFrM/)(第一项第一项/1FrM方向垂直于轴，其效果是改变方向垂直于轴，其效果是改变轴的方位，在定轴问题中，与轴的方位，在定轴问题中，与轴承约束力矩平衡。轴承约束力矩平衡。第二项第二项FrMz方向平行于轴，其效果是改变绕轴转动状态，称为方向平行于轴，其效果是改变绕轴转动状态，称为力对轴的矩，表为代数量：力对轴的矩，表为代数量：FrMzFromz

7、/FFdzM轴与转动平面的交点轴与转动平面的交点O到力作用点的位矢到力作用点的位矢:r:F力在转动平面内的分量力在转动平面内的分量xyzyFxFM：kyFxFjxFzFizFyFFFFzyxkjiFrMxyzxyzzyxFrMz力对力对O点的力矩在点的力矩在z轴方向的分量轴方向的分量a. 力矩求和只能对同一参考点力矩求和只能对同一参考点(或轴或轴)进行。进行。oooMMM21zzzMMM21矢量和矢量和代数和代数和00MF00MFoFFb.FFo三三、质点系角动量的时间变化率、质点系角动量的时间变化率对对 个质点个质点 组成的质点系，由组成的质点系，由NNmmm,21tLFrMdd可得可得内外

8、内外内外NNNMMtLMMtLMMtLdddddd222111两边求和得两边求和得iiiiiiMMtLLt内外dddd于是：于是：外外iiFrMtLidd质点系质点系总总角动量的时间变化率等于质点系所受角动量的时间变化率等于质点系所受外外力矩的矢量和力矩的矢量和 (合外力矩合外力矩 )iiiiiiMMtLLt内外dddd注意：注意： 合外力矩合外力矩 是质点系所受各外力矩是质点系所受各外力矩的矢量和，而非合力的力矩。的矢量和，而非合力的力矩。外M由图可知由图可知0iiM内1212f21f1m2m1r2rdo 质量为质量为m，长为，长为L的细杆在水平粗糙桌面上绕过的细杆在水平粗糙桌面上绕过其一端

9、的竖直轴旋转，杆与桌面间的摩擦系数为其一端的竖直轴旋转，杆与桌面间的摩擦系数为 ，求摩擦力矩。求摩擦力矩。 1) 杆的质量均匀分布杆的质量均匀分布 2) 杆的密度与离轴距离成正比杆的密度与离轴距离成正比 1)mgLrgLmrMML21dd0ozmdfdrrLmmddmgfddfrMdd：rkrrmddd设杆的线密度设杆的线密度kr220221ddLmkkLrrkmmL得得由由rrLmgmgfd2dd2frMddmgLrrLmgMML32d2d022ozmdfdrff rRo半径半径 R ，质量，质量 m 的匀质圆盘，与桌的匀质圆盘，与桌面间摩擦系数面间摩擦系数 ，求摩擦力矩求摩擦力矩等效等效简

10、化模型：简化模型：长长 R ，线密度，线密度 = kr 总质量总质量 m 的细杆的细杆ozmdfdr一一. . 角动量定理的角动量定理的微分形式微分形式LtMdd dt上式两边同时乘以上式两边同时乘以，得到得到质点的角动量定理质点的角动量定理的微分形式的微分形式MFrtprtLdddd质点角动量的时间变化率等于质点所受的质点角动量的时间变化率等于质点所受的合力矩合力矩tMd元角冲量元角冲量1 1、质点、质点外外MMtLiidd0iiM内质点系总角动量的时质点系总角动量的时间变化率等于质点系间变化率等于质点系所受所受外力矩的矢量和外力矩的矢量和。dt上式两边同时乘以上式两边同时乘以，得到得到Lt

11、Mdd 外质点系的角动量质点系的角动量定理的微分形式定理的微分形式内力矩只改变质点系内力矩只改变质点系总角动量在系内的分总角动量在系内的分配，配，不影响不影响总角动量。总角动量。2 2、 质点系质点系3 3、定轴刚体、定轴刚体JtJJttLMzzdd)(dddd由由外MtLddJmrLiiiz2得得JMz刚体刚体 的的 定轴定轴转动定理转动定理表明表明：刚体的角加速度与外力对转轴的力矩：刚体的角加速度与外力对转轴的力矩 成正比，与刚体对该轴的转动惯量成反比。成正比，与刚体对该轴的转动惯量成反比。物理意义物理意义：理解理解： 力矩的瞬时作用效果是产生角加速度，力力矩的瞬时作用效果是产生角加速度，

12、力矩是刚体的转动状态发生变化的原因。而转矩是刚体的转动状态发生变化的原因。而转动惯量是刚体转动惯性大小的量度。动惯量是刚体转动惯性大小的量度。amFJMZm 是物体平动惯性的量度。是物体平动惯性的量度。?J 是物体转动惯性的量度。是物体转动惯性的量度。?改变物体平动状态的原因改变物体平动状态的原因F?zM改变物体绕轴转动状态的原因改变物体绕轴转动状态的原因?d)(ddJJtMZdt两边同时乘以两边同时乘以，得到得到tJJttLMzzdd)(dddd由由定轴刚体的角动量定轴刚体的角动量定理的微分形式定理的微分形式 例例1:1: 一定滑轮的质量为一定滑轮的质量为 ，半径为，半径为 ，一轻，一轻绳两

13、边分别系绳两边分别系 和和 两物体挂于滑轮上，绳不两物体挂于滑轮上，绳不伸长，绳与滑轮间无相对滑动。不计轴的摩擦，初伸长，绳与滑轮间无相对滑动。不计轴的摩擦，初角速度为零，求滑轮转动角速度随时间变化的规律。角速度为零，求滑轮转动角速度随时间变化的规律。m1m2mr2m1mrm已知：已知：0,021rmmm求：求： ?t思路：思路：先求角加速度先求角加速度JMz刚体定轴转动定律刚体定轴转动定律解：解：在地面参考系中，分别以在地面参考系中，分别以 为研究对象，用隔离法，分别以牛顿为研究对象，用隔离法，分别以牛顿第二定律和刚体定轴转动定律建立方程。第二定律和刚体定轴转动定律建立方程。mmm,21思考

14、：思考：?2121TTaa 以向下为正方向以向下为正方向1111amTgm(1):1m以向上为正方向以向上为正方向2222amgmT(2):2m2m1mrmm1gT1a1a2T2m2gr+1T2TNmg四个未知数：四个未知数：三个方程三个方程 ？,2121TTaaa绳与滑轮间无相对滑动，由角量和线量的关系：绳与滑轮间无相对滑动，由角量和线量的关系：)4(ra 解得：解得：rmmmgmm212121rmmmgtmmt2121210以顺时针方向为正方向以顺时针方向为正方向对滑轮对滑轮:rTrTmr21221(3) 如图示，两物体质量分别为如图示，两物体质量分别为 和和 ，滑轮质量，滑轮质量为为 ，

15、半径为，半径为 。已知。已知 与桌面间的滑动摩擦系与桌面间的滑动摩擦系数为数为 ，求，求 下落的加速度和两段绳中的张力。下落的加速度和两段绳中的张力。 1mm2mr2m1m2m1momr解：解：在地面参考系中，选取在地面参考系中，选取 、 和滑轮为研究对和滑轮为研究对象，分别运用牛顿定律和刚体定轴转动定律得：象，分别运用牛顿定律和刚体定轴转动定律得： 1m2m练习练习12m2Tagm2gm2N1m1Tagm1o1T2TxNyN向里向里+列方程如下：列方程如下：ramrrTrTamgmTamTgm22122211121可求解可求解图6-14mMR 解解 对柱体对柱体,由转动定律由转动定律M=J

16、有有 mg.R=J 这式子对吗？这式子对吗？ 错！此时绳中张力错！此时绳中张力T mg。 正确的解法是用隔离体法。正确的解法是用隔离体法。练习练习2 质量为质量为M、半径为、半径为R的匀质柱体可绕通过其中心轴的匀质柱体可绕通过其中心轴线的光滑水平固定轴转动；柱体边缘绕有一根不能伸长的线的光滑水平固定轴转动；柱体边缘绕有一根不能伸长的细绳，细绳，绳与柱体间无相对滑动，绳与柱体间无相对滑动，绳子下端挂一质量为绳子下端挂一质量为m的的物体，如图所示。求柱体的角加速度及绳中的张力。物体，如图所示。求柱体的角加速度及绳中的张力。mg 对对m: mg-T=ma对柱：对柱： TR=J 关联：关联： a=R

17、解得解得 =2mg/(2m+M)R T=Mmg/(2m+M)TaMgxNyN例例2. 质量为质量为 M 的匀质圆盘，可绕通过盘中心垂直于盘的匀质圆盘，可绕通过盘中心垂直于盘的固定光滑轴转动，绕过盘的边缘有质量为的固定光滑轴转动，绕过盘的边缘有质量为 m、长为、长为 l 的匀质柔软绳索（如图）。设绳与圆盘无相对滑动，试的匀质柔软绳索（如图）。设绳与圆盘无相对滑动，试求当圆盘两侧绳长差为求当圆盘两侧绳长差为 s 时，绳的加速度的大小。时，绳的加速度的大小。解：解：在地面参考系中，建立如图在地面参考系中，建立如图 x 坐坐标，设滑轮半径为标，设滑轮半径为 r 有：有：ox1x2sMABABrxmrx

18、xBBABAAl21,2BB1AAxlmmxlmmrlmmAB21xxsox1x2sMABABrxmCBCA用隔离法列方程用隔离法列方程: (以逆时针方向为正以逆时针方向为正)2221rmMrJJJABABMamTgmAA1JrTrT21amgmTBB221xxsra又：解得：解得：lMmmgsa)21(T1JT2r.CAT1mAg.CBT2mBgMgN二二. . 角动量定理的角动量定理的积分形式积分形式积分形式积分形式微分形式微分形式质点质点质点系质点系定轴刚体定轴刚体LLtMLLtt2121ddLLtMLLtt2121dd外外2121ddtZtJJtMLtMdd ddJtMZLtMdd 外(1) (1) 力矩对时间的积累：力矩对时间的积累：角冲量角冲量定义：定义：21dtttM效果：效果：改变角动量改变角动量(3) (3) 同一式中，同一式中， 等角量要对同一等角量要对同一参考点或同一轴计算。参考点或同一轴计算。,JLMp变化量与变化量与 对应，描述力对时间的累积效应对应，描述力对时间的累积效应21dtttF变化率与变化率与 对应，描述力的瞬时效应对应，描述力的瞬时效应F(2) 比较比较：L变化量与变化量与 对应，描述力矩对时间的累积