大学物理第5章角动量守恒定律

1、5.1 质点的角动量 角动量定理1.质点的角动量 L rp r mv 称为质点相对参考点O的角动量或动量矩mLrpOsinsinrmvrpL第5章 角动量 角动量守恒定律例：求从A点自由下落质点在任意时刻的角动量vmroRrA任意时刻 t， 有 221t grt gmvmp（1） 对 A 点的角动量0321ggmtprLARrr（2） 对 O 点的角动量prRprLO)(t gmRpRgRRmgtLOm2. 质点的角动量定理 角动量的时间变化率dtpdrpdtrdprdtddtLd)(v mvrF 力矩定义：对O点力矩MrF质点的角动量定理dLMdtrF 大小Fr质点对某固定点所受的合外力矩等

2、于它对该点角动量的时间变化率sinFrM FrrMOA3角动量守恒定律0外M则0dLdt或L常矢量若对某一固定点，质点所受合外力矩为零，, 则质点对该固定点的角动量矢量保持不变。若dLMdt质点的角动量定理r mv例：质点做匀速直线运动中，对0点角动量是否守恒？pmvrLOArsinrmvoLrm v例. 试利用角动量守恒定律:1) 证明关于行星运动的开普勒定律: 任一行星和太阳之间的联线,在相等的时间内扫过的面积相等, 即掠面速度不变.(2) 说明天体系统的旋转盘状结构.(1) 行星对太阳O的角动量的大小为sintsmrLlimt0sinmvrprL其中是径矢 r 与行星的动量 p 或速度

3、v 之间的夹角.s表示t时间内行星所走过的弧长, 则有2sinsrsrr表示从O到速度矢量 v 的垂直距离, 则有OAvBrSr用证明dtdmtmLlim0t22 时间内行星与太阳间的联线所扫过的面积, 如图中所示.其中 是tdtdmtmLt22lim0 d /dt 称为掠面速度. 由于万有引力是有心力, 它对力心O的力矩总是等于零,所以角动量守恒, L=常量, 行星作平面运动, 而且常量mLdtd2这就证明了掠面速度不变, 也就是开普勒第二定律.OA1vCDB2v1rS2r1r2r(2)角动量守恒说明天体系统的旋转盘状结构天体系统的旋转盘状结构5.2 质点系的角动量定理mimjm1iFjFj

4、ifijfOirjr质点系角动量1()niiiiLLrp第i个质点角动量的时间变化率()iiiijijdLrFfdt()iiiijiiijdLrFrfdtMM外内M外iiirFM内()iijiijrf0dLMdt外质点系的角动量定理0M外时质点系的角动量守恒iiLL常矢量例.两个同样重的小孩，各抓着跨过滑轮绳子的两端。一个孩子用力向上爬，另一个则抓住绳子不动。 若滑轮的质量和轴上的摩擦都可忽略，哪一个小孩先到达滑轮？两个小孩重量不等时情况又如何？hhm1m2 解：把每个小孩看成一个质点，以滑轮的轴为参考点，把两个小孩看成一个系统。 此系统的总角动量为)(21vvmRLv1左边孩子向上的速度；v

5、2右边孩子向上的速度；此系统所受外力矩：只有两个小孩所受重力矩，彼此抵消。 （内力矩不改变系统角动量。）因此整个系统角动量守恒。R设两个小孩起初都不动，即0, 002010tLvv 以后，虽然 v1 ,v2 不再为零，但总角动量继续为零，即v1 ,v2 随时保持相等，所以他们将同时到达滑轮。若两个小孩重量不等，即21mm 系统所受外力矩,)12gRmmM （外系统总角动量RvmvmL)(2211仍设起初两个小孩都不动，0, 002010tLvv由角动量定理,)(12dtdLgRmmM外若0, 0:21LdtdLmm有212211, 0vvvmvm轻的升得快；)(21vvmRLhhm1m2R例.

6、光滑水平桌面上放着一质量为M的木块, 木块与一原长为L0, 劲度系数为k的轻弹簧相连, 弹簧另一端固定于O点. 当木块静止于A处时, 弹簧保持原长, 设一质量为m的子弹以初速 v0水平射向M并嵌在木块中. 当木块运动到 B (OBOA)时, 弹簧的长度为L. Mm0LLAOB0vBv求木块在B点的速度 vB的大小和方向.解: (1) m和M相撞时,系统的动量守恒AvMmmv)(0(2) AB, 只有弹力作功, 机械能守恒2021221221)()()(LLkvMmvMmBA(3) AB, 弹力对O点的力矩为零, 对O点角动量守恒sin)()(0LvMmLvMmBA2/ 1202022)()(M

7、mLLkvMmmvB212020200)()(arcsinmMLLkvmLvmLk5.3 刚体的定轴转动(1)平动: 在运动过程中刚体上的任意一条直线在各个时刻的位置都相互平行ABABB A刚体的平动任意质元运动都代表整体运动(2) 定轴转动 刚体所有质元都绕一固定直线（定轴）做圆周运动1.刚体的平动和定轴转动用质心运动代表刚体的平动（质心运动定理）2 用角量描述转动1) 角位移 : 在 t 时间内刚体转动角度2)角速度 : 0limtdtdt 3)角加速度 :220limtddtdtdt z刚体定轴转动角速度的方向按右手螺旋法则确定vra切向分量 tdvdarrdtdt法向分量 22nvar

8、rzvOP 线量与角量关系rdSr dddS匀变速直线运动ddtddtdSvdtdvadt0vvat2012Sv tat2202vvaS匀变速定轴转动0t2012tt22025.4 定轴转动刚体的角动量定理 角动量守恒dLMdt外质点系的角动量定理Z轴分量zdLMdtz:im质元iF对O点的力矩ioiiMrFoiioiizrFrF（垂直z轴）?oiiiiizirFrFrFirirzMiOizFiFiFzOoirimiivizr（垂直z轴）izMMzsiniiirF?zizLLiir FsiniziiiMrF1.刚体对转轴的力矩和角动量ioii iLrmvoiirvii oiiLm r v si

9、niziLLiLizLsini oi imr vizi iiLm rv sinioirrim质元到转轴的垂直距离iivr2()i im r 刚体到转轴的转动惯量2zi iiJmr2()zi iiLmrzdLMdtz?zzdLdMJdtdtz对固定轴MJirirzMiOizFiFiFzOoirimiivizrzJ2.刚体对定轴的角动量守恒角动量定理1 质点由微分式M dtdL积分式221121tLtLM dtdLLL2 质点系由dtLdM外微分式M dt dL外积分式221121tLtLMdtdLLL外3 定轴转动刚体zd JdLdMJdtdtdtz(轴)积分221121ttMdtJdJJ轴这里

10、iiLL定轴转动刚体角动量守恒0M轴合外当时21JJ恒量dLMdt若转动惯量有变化，则有：2211JJ恒量1.刚体定轴转动定律MJ轴外与牛顿第二定律对比amF外刚体到转轴的转动惯量2i iiJmr 转动惯量的物理意义:(1). 刚体转动惯性大小的量度(2). 转动惯量与刚体的质量有关(3). J 在质量一定的情况下与质量的分布有关(4). J与转轴的位置有关对比刚体的角动量和质点的动量LJmvp 与对应mJ5.5 定轴转动刚体的转动定律 转动中的功和能2.转动惯量的计算2i iiJm r称为刚体对转轴的转动惯量对质量连续分布刚体dmrJ2线分布 dxdm面分布dsdm体分布dvdm是质量的线密

11、度是质量的面密度是质量的体密度例: 一均匀细棒长 l 质量为 m1) 轴 z1 过棒的中心且垂直于棒2) 轴 z2 过棒一端且垂直于棒求: 上述两种情况下的转动惯量OdxxZ 1dxdm解: 设棒质量的线密度2222121)11mldxxJllZ20231)22mldxxJlz12zzJJ所以只有指出刚体对某轴的转动惯量才有意义2l2lxdxdmdx OZ 2l 有关转动惯量计算的几个定理1） 平行轴定理2mhJJczh式中式中: :关于通过质心轴的转动惯量cJm 是刚体质量, h 是 c 到 z 的距离zJ是对平行于质心轴的一个轴的转动惯量zC2） 转动惯量叠加，如图CBAzJJJJ式中:

12、是A球对z轴的转动惯量AJBJ是B棒对z轴的转动惯量cJ是C球对z轴的转动惯量3） 回转半径任意刚体的回转半径 mJRG式中: J 是刚体关于某一轴的转动惯量, m 是刚体的质量是刚体的质量) (2GRmJ ACzBo2zGR2l2312mlJZmJRZG2例:73. 1312lmmlG 不是质心CG 转动惯量的计算例: 求半径为 R,总质量为 m的均匀圆盘绕垂直于盘面通过中心轴的转动惯量 如下图:解:2RmdmrJz2dsrR02Rrdrr022RrdrRmr0222221mRRrdsZ质量面密度刚体定轴转动定律的应用Rm1m2am1gm2gT解：11m gTm a22Tm gm a1212

13、()m gm gmm a1212mmagmm对否？T1T2T12TT否则滑轮匀速转动，而物体加速运动T1T2111m gTma222Tm gm a12TR TRJaR转动定律线量与角量关系212JMR121212mmagmmMM例1：质量为M，半径为R的均匀圆盘形定滑轮上绕一轻绳，绳的两端分别悬挂质量为m1和m2的物体，m1 m2，滑轮与轴间无摩擦，绳与滑轮间无相对滑动。求物体的加速度a 。l例2.已知：匀质杆m，长 一端O固定，当由水平位置自由下落到时求：?F?F 解：mgC1cos2Mmgl质心运动定理MJ21cos213mglml3 cos2glddtddddtdd3 cos2gl003

14、 cos2gddl 3 singl转动定律1F2F1sinnFmgma2costmgFma212nal3 sin2g2tla3 cos4glmOl15sin2Fmg21s4Fmgco2212FFF2199sin14mg21cos10sinFtgF质心运动定理1sinnFmgma2costmgFma212nal3 sin2g2tla3 cos4gmgC1F2FlmOlF例3:一半径为R，质量为m的匀质圆盘，平放在粗糙的水平桌面上。设盘与桌面间的摩擦系数为 。令圆盘以0绕中心轴旋转后，问经过多少时间才停止转动？2Rmrrmd2dmgrMzddmgR32解:RzrgrM02d2043gRtRg34

15、0 ? 0 ?摩擦力的和?MJvOlMm0v?例4.已知：匀质杆M，长 一端悬挂于固定点O，子弹m，水平速度 , 射入不复出l0v求：?解：对M， m系统0M轴外系统角动量守恒2013Mmv lmvlJmvlMlvl033vmmM l射入后瞬间cos |FdrcosFrdOdrFvP|drcosMFr21dJddt21Jd22211122JJ刚体的刚体的转动动能转动动能212kEJ定轴转动动能定理定轴转动动能定理dAF drdA Md21kkA EE力矩作功力矩作功212KiiiEmv21()2iiimr221()2i iimr212J21AMd3.转动中的功和能例：质量为m，长为 l 的均匀直棒，其一端有一固定的光滑水平轴，可以在竖直平面内运动。初始时，棒静止在水平位置。求它由此自由下摆角时的角速度和角加速度。COxyzgm解: 定轴转动定律1cos2Ml m gMJd3 cosd2gl动能定理2221126kEJml3 cos2gl23 singld3cosd2gtl23 singl01dsin2AMmgl0kkEE22106ml