大学物理_温度与气体动理论

1、1一一. 热学的研究内容热学的研究内容 与与热现象热现象有关的性质和规律。有关的性质和规律。热学热学优点优点:可靠可靠,普遍。普遍。缺点缺点:未揭示微观本质。未揭示微观本质。二二. . 热学的研究方法热学的研究方法-称为热力学称为热力学 1. 1. 宏观法宏观法 宏观的基本宏观的基本 实验规律实验规律逻辑推理逻辑推理热现象规律热现象规律2-称为统计力学称为统计力学 2. 2. 微观法微观法对物质微观结构对物质微观结构 统计方法统计方法 提出模型、假设提出模型、假设 热现象规律热现象规律其初级理论称为其初级理论称为分子动理论分子动理论 (分子运动论分子运动论) 优点优点:揭示了热现象的微观本质。

2、揭示了热现象的微观本质。 缺点缺点:受模型局限，普遍性较差。受模型局限，普遍性较差。 宏观法与微观法相辅相成宏观法与微观法相辅相成我们先学分子动理论，然后再学热力学。我们先学分子动理论，然后再学热力学。3 9.1 平衡态平衡态 9.2 温度的概念温度的概念 9.3 理想气体温标理想气体温标 9.4 理想气体状态方程理想气体状态方程9 9.5 气体分子的无规则运动气体分子的无规则运动 9.6 理想气体的压强理想气体的压强 9.7 温度的统计意义温度的统计意义 9.8 能量均分原理能量均分原理 9.9 麦克斯韦速率分布律麦克斯韦速率分布律9.10 麦克斯韦速率分布律的实验验证麦克斯韦速率分布律的实

3、验验证 9.11 玻尔兹曼分布律玻尔兹曼分布律 9.12 实际气体等温线实际气体等温线 9.13 范德瓦尔斯方程范德瓦尔斯方程 9.14 非平衡态非平衡态 输运过程输运过程49.1 平衡态平衡态一一. . 热力学系统与外界热力学系统与外界热力学系统热力学系统-热力学研究的对象热力学研究的对象外界外界 热力学系统以外与系统作用的物体。热力学系统以外与系统作用的物体。外界外界系统系统外界外界例如汽缸：例如汽缸： 1. 宏观量宏观量 从整体上描述系统的状态量从整体上描述系统的状态量,一般可以直接测量。一般可以直接测量。 例如：例如：M, P, V, T5 2. 微观量微观量 描述系统中单个微观粒子的

4、描述系统中单个微观粒子的 物理量物理量,一般只能间接测量。一般只能间接测量。 分子的质量分子的质量、速度速度、直径、动量、能量等。直径、动量、能量等。，dmv例如：例如：微观量与宏观量有一定的内在联系。微观量与宏观量有一定的内在联系。 例如例如,气体的压强气体的压强 是大量分子撞击器壁的平均效果是大量分子撞击器壁的平均效果, 它与大量分子对器壁的冲力的平均值有关。它与大量分子对器壁的冲力的平均值有关。6二二. . 平衡态平衡态表现：系统的宏观表现：系统的宏观 性质不随时间改变。性质不随时间改变。限定条件：限定条件：没有外界没有外界影响。影响。系统系统内部内部没有定向没有定向物质物质流流和和能量

5、能量流流的的状态状态，稳定态稳定态平衡态平衡态绝热壁绝热壁系统系统恒温器恒温器1 T1T2绝热壁绝热壁恒温器恒温器2系统系统注意：注意：1)区分平衡态和区分平衡态和稳定态稳定态72) 平衡态是一种微观意义上的平衡态是一种微观意义上的动态平衡动态平衡微观运动状态随时在变微观运动状态随时在变,不变的只是宏观量不变的只是宏观量平衡态是一种理想状态平衡态是一种理想状态. 微观量的统计平均值微观量的统计平均值 三三. 平衡态参量平衡态参量描述处于平衡态的系统状态的宏观参量，描述处于平衡态的系统状态的宏观参量，如如 M, P, T 等。等。 一组态参量一组态参量一个平衡态一个平衡态描述描述对应对应8两系统

6、在热接触情况下，两系统在热接触情况下，有分子热运动能量的传递，有分子热运动能量的传递，相当长时间后达到的共同相当长时间后达到的共同平衡态称为热平衡态。平衡态称为热平衡态。一一. . 热平衡态热平衡态二二. . 温度温度态参量态参量P、V、T 中，中，T 是热学特有的物理量，是热学特有的物理量，它就是用它就是用热平衡的概念热平衡的概念来定义的：来定义的：AB导热板导热板绝热壁绝热壁实验表明，实验表明，同同一一平平衡衡态态，热热平平衡衡与与热热平平衡衡与与若若 CB CA则则A与与B热平衡热平衡。9“分别与第三个系统处于同一热平衡态分别与第三个系统处于同一热平衡态 的两个系统必然也处于热平衡。的两

7、个系统必然也处于热平衡。” 热平衡定律（热力学第零定律）热平衡定律（热力学第零定律）即：即：定义定义 温度：温度： 处于处于同一热平衡态下同一热平衡态下的热力学系统的热力学系统所具有的共同的宏观性质所具有的共同的宏观性质,称为温度。称为温度。一切处于同一热平衡态的系统有相同的温度。一切处于同一热平衡态的系统有相同的温度。因此，温度取决于系统内部分子（对质心）因此，温度取决于系统内部分子（对质心）的热运动状态，与系统的整体运动无关。的热运动状态，与系统的整体运动无关。10理想气体温标（定压、定容）理想气体温标（定压、定容）水的三相点水的三相点(水、水汽、冰共存水、水汽、冰共存)温度温度T = 2

8、73.16 K, 即即t = 0.01 oC. 建立温标的必要条件：建立温标的必要条件：测温物质测温物质 测温属性测温属性 固定点固定点演示演示热记忆合金趣味实验热记忆合金趣味实验温标：温度的数字表示法温标：温度的数字表示法11给定系统，其平衡态参量间满足一定关系：给定系统，其平衡态参量间满足一定关系： f ( M, P, T, V ) = 0此关系式称为该系统的状态方程此关系式称为该系统的状态方程如理想气体状态方程如理想气体状态方程 M气体质量，气体质量，气体摩尔质气体摩尔质量量 R气体普适恒量气体普适恒量PV=(M/)RT 12方程的另一形式方程的另一形式P = nkT代入代入 M=Nm

9、,=NAmn=(N/V) 分子数密度分子数密度k=(R/NA)=1.3810-23J/k玻尔兹曼常量玻尔兹曼常量。13分子之间有频繁的碰撞。分子之间有频繁的碰撞。自由程自由程分子在相邻两次碰撞之间的路程分子在相邻两次碰撞之间的路程一一. 平均碰撞频率平均碰撞频率一个分子在一个分子在单位时间内与其他分子碰撞单位时间内与其他分子碰撞的的平均次数平均次数, ,称为平均碰撞频率称为平均碰撞频率 。Z研究碰撞不能再把分子看成质点研究碰撞不能再把分子看成质点模型模型: :分子是直径为分子是直径为d 的刚性小球；的刚性小球； 除碰撞外除碰撞外, ,无相互作用力无相互作用力。碰撞因相对运动产生碰撞因相对运动产

10、生14第一步第一步: :简化简化 选取一标识分子选取一标识分子A，设设A以平均以平均速率速率 运动运动, ,其他分子静止。其他分子静止。u分子分子A的路径为折线的路径为折线. .uA一秒钟内它将与一秒钟内它将与多少分子碰撞多少分子碰撞? ?作曲折圆柱筒作曲折圆柱筒: :A的的球心轨迹为轴球心轨迹为轴, ,直径为直径为2 2d, , 长为长为u2d15一秒钟内与分子一秒钟内与分子A碰撞的其他分子碰撞的其他分子: : 是（球心）位于筒内的分子是（球心）位于筒内的分子圆柱筒内分子数：圆柱筒内分子数：nud2 nudz2 第二步：把平均相对速率化为平均速率第二步：把平均相对速率化为平均速率由统计物理可

11、得由统计物理可得 2 u（不推导）（不推导）ndz 22 d 2称为称为碰撞截面碰撞截面亦可认为标识分子携带直径为亦可认为标识分子携带直径为2d的圆盘运动，的圆盘运动，圆盘扫过处的分子与之相碰。圆盘扫过处的分子与之相碰。16数量级的估算：数量级的估算：氧气氧气O2 2 , , d 3 10-10m标准状态标准状态smRT/425103227331. 8883 325m/1068. 2 n /s1055. 41068. 2425103229252102 ndz碰撞极其频繁碰撞极其频繁!17二平均自由程二平均自由程ndndz22212 相邻两次碰撞之间的平均路程相邻两次碰撞之间的平均路程nd221

12、 P=nkTPdkT22 当当T一定时一定时, ,压强越小压强越小, ,平均自由程越大平均自由程越大例例. . 空气空气 ,t=0oC, d 3.5 10-10m P如下表如下表18 P(mmHg) 760 1 10-4 10-6 (m) 7 10-8 5 10-5 5 10-1 50 可以认为可以认为l （容器的线度）（容器的线度）若若l 实际实际 碰撞主要发生在气体分子与器壁之间碰撞主要发生在气体分子与器壁之间.（通常技术上所谓的真空）（通常技术上所谓的真空）19随机事件随机事件（偶然事件）（偶然事件）: : 事件的发生不可预测。事件的发生不可预测。统计规律性统计规律性 一定条件下，大量随

13、机事件，从总体上表现一定条件下，大量随机事件，从总体上表现出具有规律性出具有规律性。实例实例：掷骰子：掷骰子“哪个数字出现哪个数字出现”随机事件随机事件六个数字出现的六个数字出现的“机会机会”相等相等统计规律性统计规律性20设实验总次数（事件总次数）：设实验总次数（事件总次数）：N ；其中某随机事件其中某随机事件i出现的次数：出现的次数：Ni掷骰子掷骰子各数字出现的概率相等各数字出现的概率相等1/6 （条件：正方体，质量均匀分布）（条件：正方体，质量均匀分布）演示：伽尔顿板演示：伽尔顿板单个粒子的位置（到达何处）单个粒子的位置（到达何处）随机事件随机事件大量粒子（集体）的位置分布大量粒子（集体

14、）的位置分布有规律性有规律性规律性规律性 确定的概率确定的概率定义定义NNPiNi limi事件出现的概率事件出现的概率21涨落涨落对随机事件（或变量）进行测量，测量总次数对随机事件（或变量）进行测量，测量总次数N（有限）（有限），其中事件，其中事件A出现的次数出现的次数 NPNAA 概率运算的某些法则概率运算的某些法则：两独立事件两独立事件A、B同时出现，其概率同时出现，其概率BAPPP 测量值测量值统计平均值，而是围绕统计平均统计平均值，而是围绕统计平均值上下起伏值上下起伏涨落涨落。N,涨落涨落 涨落不是实验仪器的误差！涨落不是实验仪器的误差！统计规律和涨落是统计学的两个基本特征。统计规律

15、和涨落是统计学的两个基本特征。22何谓理想气体？何谓理想气体？ 宏观定义宏观定义：在各种压强下都严格遵守波义：在各种压强下都严格遵守波义耳定律的气体。耳定律的气体。从分子理论观点：任何物质系统从分子理论观点：任何物质系统 由大量分子组成由大量分子组成 分子处于永不停息的无规则运动状态分子处于永不停息的无规则运动状态 分子之间存在相互作用力分子之间存在相互作用力微观定义：微观定义：忽略分子间相互作用的气体；忽略分子间相互作用的气体；是最简单的热力学系统。是最简单的热力学系统。23一一.理想气体的微观模型理想气体的微观模型1. 对对单个分子单个分子的力学性质的假设的力学性质的假设1) 分子是质点，

16、不占体积分子是质点，不占体积 (因为分子因为分子 的线度的线度0的限制的限制,28（4）求出压强：）求出压强：231ddddd nmAtIAFP 分子的平均平动动能分子的平均平动动能 221 mt tnmnnmP 3221323122 tnP 32 压强公式压强公式29把宏观量把宏观量P与微观量的统计平均值与微观量的统计平均值 联系联系起来。起来。t ,2思考：思考：推导过程中为什么不考虑小柱体内会推导过程中为什么不考虑小柱体内会 有某些速度为有某些速度为 的分子被碰撞出来？的分子被碰撞出来？i 30给定系统，其平衡态参量间满足一定关系：给定系统，其平衡态参量间满足一定关系： f ( M, P

17、, T, V ) = 0此关系式称为该系统的状态方程此关系式称为该系统的状态方程如理想气体状态方程如理想气体状态方程 M气体质量，气体质量，气体摩尔质气体摩尔质量量 R气体普适恒量气体普适恒量PV=(M/)RT 31方程的另一形式方程的另一形式P = nkT代入代入 M=Nm ,=NAmn=(N/V) 分子数密度分子数密度k=(R/NA)=1.3810-23J/k玻尔兹曼常量玻尔兹曼常量。32 研究分子的能量时，不能再把分子看成质点，研究分子的能量时，不能再把分子看成质点，而要考虑它的结构。而要考虑它的结构。分子运动：除平动外有转动和振动分子运动：除平动外有转动和振动。一一.自由度和分子运动的

18、自由度自由度和分子运动的自由度 i气体分子运动自由度气体分子运动自由度 （原子看作质点）（原子看作质点）1. 单原子分子单原子分子 i =3 如如He, Ne, Ar -自由度：自由度：确定物体位置所需的独立坐标数。确定物体位置所需的独立坐标数。33 C (x, y, z)0zx y l轴轴v = 1总自由度：总自由度： i = t + r + v = 6若是非刚性分子，距离若是非刚性分子，距离 l 变：变：v 振动自由度，振动自由度，2. 刚性刚性(原子间距一定原子间距一定)双原子分子双原子分子 i=5 （t=3，r=2） 如如H2，O2，CO等等343. 刚性多原子分子刚性多原子分子 i=

19、6 (t=3,r=3( ， ， ) 如如 CO2,H2O 等等 0zx y 轴轴C (x, y, z)设分子中的原子数为设分子中的原子数为Ni = t + r + v = 3N应应平动和转动自由度共有平动和转动自由度共有6个。个。v = 3N - 6 振动自由度振动自由度总自由度：总自由度： 若是非刚性分子，距离若是非刚性分子，距离 l 变：变：35二二. 能量按自由度均分原理能量按自由度均分原理根据统计假设，分子的平动在根据统计假设，分子的平动在x,y,z三个方向三个方向上平权，所以上平权，所以kTmmmmzyx2121312121212222 对应每个平动自由度的平均能量相同对应每个平动自

20、由度的平均能量相同因对应平动自由度和转动自由度之间的能因对应平动自由度和转动自由度之间的能量可以通过碰撞转换，其中无优势运动。量可以通过碰撞转换，其中无优势运动。对刚性分子对刚性分子36推广推广：.-能量按自由度均分原理。能量按自由度均分原理。对非刚性分子对非刚性分子还有原子间振动。还有原子间振动。振动模型：振动模型：“弹性振子弹性振子” 每一份平均振动动能相应有每一份平均振动动能相应有 一份相等的平均振动势能一份相等的平均振动势能37一个分子热运动的平均能量一个分子热运动的平均能量为为kTsrt22 t：平动自由度，平动自由度， r: 转动自由度转动自由度s: 振动自由度振动自由度能量均分定

21、理能量均分定理的更普遍的说法是：的更普遍的说法是：能量中每具有能量中每具有一个平方项，一个平方项，就对应一个（就对应一个（1/2）kT的平均能量。的平均能量。（对平动、转动、振动都适用）（对平动、转动、振动都适用）38根据量子理论，分子平动、转动、振动能量都根据量子理论，分子平动、转动、振动能量都是分立的，而且是分立的，而且 t， r， v 的能量间距不同。的能量间距不同。平动能级更小平动能级更小可以看作连续可以看作连续转动能级间隔小转动能级间隔小eV)1010(53 振动能级间隔大振动能级间隔大eV)1010(12 一般来说，分子有一般来说，分子有平动、转动、振动动能。平动、转动、振动动能。

22、39一般情况下（一般情况下（T 10 3 K），）， 振动能级振动能级间隔大，间隔大，极少跃迁，极少跃迁，不起交换能量作用不起交换能量作用 称为称为 振动自由度振动自由度 v “冻结冻结”。我们只讨论刚性分子。我们只讨论刚性分子。这时分子可视为这时分子可视为刚性分子。刚性分子。rti对刚性分子对刚性分子 ，因为因为振动自由度振动自由度 “冻结冻结” v = 03（单）（单）5（双）（双）6（多）（多）40kTrtkTi22 （多多）（双双）（单单）kTkTkT262523所以，根据所以，根据 能量均分定理，能量均分定理， 分子热运动的平均动能（刚性）为分子热运动的平均动能（刚性）为41三三.

23、气体的内能气体的内能内能：广义而言，指系统内部的各构成层内能：广义而言，指系统内部的各构成层次的各种运动形式的能量的总和。次的各种运动形式的能量的总和。热学中，通常指气体内所有热学中，通常指气体内所有和和之和。之和。E = EK+ EP= E (T, V )(注意：注意：不包括气体整体的机械运动能不包括气体整体的机械运动能)42由理气由理气模型模型EP=0，理想气体的内能理想气体的内能E= Ek , E=E(T)TNRiNkTiNNEEAKK22 RTiE2 -气体的摩尔数气体的摩尔数理想气体内能公式理想气体内能公式43一个分子在一个自由度上的平均动能，一个分子在一个自由度上的平均动能，与分子

24、类别无关。与分子类别无关。kT21（室温下数量级：（室温下数量级：10-21 J )区分几个量区分几个量 ： kTi2RTi2 一个分子的平均热运动能量，一个分子的平均热运动能量，与分子类别有关。与分子类别有关。理想气体内能，与气体类别及理想气体内能，与气体类别及 摩尔数有关摩尔数有关（数量级：一摩尔（数量级：一摩尔103J )44气体分子的速率为随机变量，平衡态下其气体分子的速率为随机变量，平衡态下其分布具有统计规律分布具有统计规律.经典观点：分子速率在经典观点：分子速率在0范围内范围内连续取值连续取值. ：为连续随机变量：为连续随机变量一一. (速率速率)分布函数的一般意义分布函数的一般意

25、义设分子总数为设分子总数为N（通常极大）（通常极大） 速率在速率在 + d 区间的分子数为区间的分子数为dNv.(d -宏观小宏观小, 微观大微观大)45dP =（ dNv / N ) d 一个分子速率为一个分子速率为 + d 的概率的概率一般地说一般地说, dP与与 的值有关的值有关,可以写成可以写成 d)d(dfNNP ddddNNPf -速率分布函数速率分布函数46速率速率 附近附近,单位速率区间的分子数单位速率区间的分子数 占总分子数的比例占总分子数的比例;或或速率分布函数的含义：速率分布函数的含义：【思考思考】 的物理含义的物理含义? 21d)(vvvvf47 f( ) 的性质的性质

26、 01dNN 01d f归一化条件。归一化条件。 f( ) 1 2 分布曲线及相关意义分布曲线及相关意义 1 2 分子数比率分子数比率21d)(f48分布函数的应用：分布函数的应用：已知分布函数已知分布函数f( ( ) )，可求，可求给定速率区间的分子的平均速率给定速率区间的分子的平均速率给定速率区间的分子数给定速率区间的分子数例例1已知分布曲线如图已知分布曲线如图, , 求常量求常量c c。 1 2 f( )c=?0由归一化条件，由归一化条件， 有有 c 1+(1/2)c( 2- 1)=1解得：解得：212 c49例例2求求例例1中中速率速率 1 1 2 2区间分子数比率及区间分子数比率及

27、0 0 1 1分子的平均速率。分子的平均速率。 解解：题求速率范围题求速率范围分子数比率分子数比率为图中为图中 三角形面积，故三角形面积，故 211212)(21d)(21 cfNN0 1区间分子的区间分子的平均速率平均速率： 11111110000000d)(d)(dddd ffNNNNNN10021dd11 vcc普遍关系普遍关系50思考：如果要求全部分子的平均速率，思考：如果要求全部分子的平均速率， 计算的一般公式如何写计算的一般公式如何写？说明：分布函数的意义，性质及应用说明：分布函数的意义，性质及应用 适用于任意连续随机变量情况。适用于任意连续随机变量情况。二二 . .麦克斯韦速率分

28、布函数麦克斯韦速率分布函数麦克斯韦麦克斯韦1859.51麦克斯韦由统计方法推导出：麦克斯韦由统计方法推导出： 在平衡态时在平衡态时, ,理想气体分子的速率分布函数理想气体分子的速率分布函数 kTmekTmf222/3224 m 分子质量分子质量麦氏分布曲线麦氏分布曲线特征特征：有极值有极值kTmef222,)( 最概然速率最概然速率 pf( ) p521. .最概然速率最概然速率 p p f( )取极大值对应的速率取极大值对应的速率。令令0d)(d fRTRTmkT41. 122p三三种统计速率三三种统计速率 p的意义的意义: : 一个分子的速率在一个分子的速率在 p p附近的附近的 的概率密

29、度最大的概率密度最大; ;53或或: : 在在 p附近的单位速率区间内的分子数附近的单位速率区间内的分子数占总分子数的占总分子数的百分比最高百分比最高. .当当系统系统一定时，一定时， )(pp fTf( ) T1 T21p 2p 速率大的分子数比例增大速率大的分子数比例增大, , 气体分子的热气体分子的热运动更激烈。而曲线下面的总面积恒为运动更激烈。而曲线下面的总面积恒为1. 1.物理解释：物理解释：542. 平均速率平均速率 NNfNN0d)(dofd)(一般式一般式对麦氏速率分布经计算得：对麦氏速率分布经计算得：MRTMRTmkT60. 188553.方均根速率方均根速率 2 mkTf3

30、d)(022 RTmkT73. 132排序排序: : 73. 1:60. 1:41. 1:2p 注意注意：上述大小顺序仅对麦氏速率分布适用。：上述大小顺序仅对麦氏速率分布适用。56*理想气体的状态方程也可以用微观理论导出：理想气体的状态方程也可以用微观理论导出：231 nmP mkT32 nkTP （P的微观本质）的微观本质）（麦氏分布）（麦氏分布）体现微观理论与宏观规律的一致性。体现微观理论与宏观规律的一致性。57四速度空间和麦氏速度分布四速度空间和麦氏速度分布 速度空间中的一点，代表一定的速度，速度空间中的一点，代表一定的速度， 由矢径由矢径 表示表示)vvv(vz,y,x麦克斯韦最早得出

31、的是下面分子麦克斯韦最早得出的是下面分子速度分布速度分布规律规律 :（推导可见书，不作要求）（推导可见书，不作要求）xvzvyv0vzyxvvvddd58“在平衡态，理想气体分子的速度分量在在平衡态，理想气体分子的速度分量在 vx vx+dvx , vy vy+dvy, vz vz+dvz区间内区间内 zyxkTvvvmvvvvkTmNNzyxddde2d22/3222 麦氏麦氏速度分布函数为速度分布函数为kTmvzyxvkTmvvvNNvF22/32e2dddd)( 意义：在速度空间中，分布在意义：在速度空间中，分布在 附近附近单单 位体积内位体积内 的分子数占总分子数的比率的分子数占总分子

32、数的比率;v的分子数占总分子数的比率为的分子数占总分子数的比率为”59 若分子速度的大小被限制若分子速度的大小被限制 在在v v + dv 内，方向可以任意，内，方向可以任意，这些分子的速度矢量端点都在这些分子的速度矢量端点都在半径为半径为 v,厚度为厚度为dv 的球壳内的球壳内。由于在平衡态时分子速度的方向是均匀分布的，由于在平衡态时分子速度的方向是均匀分布的，取球壳的体积取球壳的体积 4 v2dv作为体积元作为体积元,有有讨论：讨论：)()(vfvF由由可得可得vvkTmNNkTmvvd4e2d222/32 yvvdxvzv0v麦氏速率分布函数麦氏速率分布函数222/342dd)(2 kT

33、mekTmNNf 60（自学）（自学）实验结果符合麦克斯韦速率分布率实验结果符合麦克斯韦速率分布率. .玻耳兹曼玻耳兹曼（1844-1906）L. Boltzmann奥地利物理学家奥地利物理学家61一气体在重力场中密度随高度的变化一气体在重力场中密度随高度的变化（高度不大，近似等温高度不大，近似等温） pp+dp g SdZz k kT Td dn nd dp pn nk kT Tp p ，n nm mg gd dz zd dp p z zn nn nd dz zk kT Tm mg gn nd dn n00k k T Tm mgg z zn nn n/0 en0为势能为势能mgz为零处的分子

34、数密度为零处的分子数密度62 k k T Tm mgg z zp pz zp p/0 e把重力势能把重力势能mgz用分子在任意保守力场中的用分子在任意保守力场中的势能势能 表示，推广得到表示，推广得到玻耳兹曼密度分布律玻耳兹曼密度分布律kTkTmgzpnnnee0063二、麦克斯韦二、麦克斯韦玻耳兹曼能量分布律玻耳兹曼能量分布律r附近小体积中的分子数为附近小体积中的分子数为dd x x dd y y dd z zeen ndd k kk kT Trrp p/0 将位置区间和速度区间同时考虑，将位置区间和速度区间同时考虑， 即即 dxdydzdvxdvydvzzyxkTmvkTdvdvdvekT

35、mdxdydzendNp22/ 3/02)2(zyxkTmvkTdvdvdxdydzdvekTmenp23/2/02)2(64zyxkTrzyxekTmcNNpk dddddd)2(d23, 麦克麦克斯斯韦韦- -玻尔兹曼分布律玻尔兹曼分布律 , r分布律意义分布律意义：处于某运动状态处于某运动状态 的分子数与的分子数与pk 该状态该状态 有关有关kTreNN ,d玻尔兹曼因子玻尔兹曼因子65例例：一盛有气体的容器以角速度：一盛有气体的容器以角速度绕竖直轴在绕竖直轴在 水平面内均匀转动，求容器中气体分子的水平面内均匀转动，求容器中气体分子的 数密度分布（分子质量为数密度分布（分子质量为m ）解

36、解：建立随容器转动的参考系：建立随容器转动的参考系非惯性系。非惯性系。距轴线距轴线r处分子受惯性离心力处分子受惯性离心力rmf2 保守力场保守力场分子势能分子势能轴线处势能轴线处势能为零为零 22021drmrfrp 密度分布密度分布kTrmenn2022 不同质量粒子不同质量粒子)exp(222121rkTmmnn 高速离心分离技术高速离心分离技术66 在非常温或非常压的情况下在非常温或非常压的情况下, 气体就不能看成理想气体了，气体就不能看成理想气体了， 我们称它为实际气体。我们称它为实际气体。实际气体的等温线是什么样子的呢实际气体的等温线是什么样子的呢 ? ? 下下图为图为较大压强范围内

37、较大压强范围内的的 COCO2 2的的等温实验曲线等温实验曲线: :理想气体的等温线是双曲线理想气体的等温线是双曲线 (1 mol)RTPv PV067 临界等温线，临界等温线，临界点临界点 K(压强、体积、温度压强、体积、温度)。气（不能液化）气（不能液化）汽（能液化）汽（能液化）液液汽液共存汽液共存72.3504595.50ABCDv(10-3l/mol)P(atm)48.1 C31.1 C13 C21 CK 临界温度以上的气体不能液化。临界温度以上的气体不能液化。 饱和蒸汽压与体积无关。饱和蒸汽压与体积无关。COCO2 2TV: 临界态临界态68范德瓦尔斯对理想气体模型修正范德瓦尔斯对理

38、想气体模型修正。两方面的修正两方面的修正: :分子大小；分子之间作用力分子大小；分子之间作用力一、范氏气体模型一、范氏气体模型s 有效作用距离有效作用距离 10-9mrV(r)r0s斥力斥力引力引力dd分子有效直径分子有效直径 10-10 m69范氏假设：范氏假设：1. 分子有大小。直径为分子有大小。直径为d的刚性球的刚性球2. 分子间有作用力。在分子间有作用力。在ds 内有引力内有引力rdsof二、范氏方程二、范氏方程对对1 mol理想气体，状态方程为理想气体，状态方程为vRTp P不考虑分子间引力时气体对器壁的压强，不考虑分子间引力时气体对器壁的压强，v分子自由活动空间的体积分子自由活动空

39、间的体积701. 分子体积引起的修正分子体积引起的修正P =v-bRT理论上理论上 b 约为分子本身体积的约为分子本身体积的 4 倍倍估算估算 b 值值 10 -6 m3分子自由活动的空间为分子自由活动的空间为v - b2. 分子间引力引起的修正分子间引力引起的修正P =v-bRT- Pi内部内部f内部分子：合力为零内部分子：合力为零边缘分子：边缘分子： 合力向内合力向内压强减小压强减小器壁边缘器壁边缘71 RTbVVaP m2m1mol气体的范德瓦尔斯状态方程气体的范德瓦尔斯状态方程M千克的范德瓦尔斯气体千克的范德瓦尔斯气体RTMbMVVaMP 222P-气体对器壁的压强气体对器壁的压强Vm

40、-1mol气体的容体（即容器体积）气体的容体（即容器体积）a分子间作用力修正分子间作用力修正；b分子大小修正分子大小修正方程修正为：方程修正为：72范德瓦耳斯等温线范德瓦耳斯等温线 RTbVVap)(22 范德瓦耳斯方程较范德瓦耳斯方程较好地给出实际气体状态好地给出实际气体状态变化关系，对实际气体变化关系，对实际气体偏离理想气体的性质作偏离理想气体的性质作出定性解释。出定性解释。 是许多近似方程中是许多近似方程中最简单和使用最方便的最简单和使用最方便的一个。推广后可近似地一个。推广后可近似地应用到液体状态。应用到液体状态。 形等形等温线？温线？73基本输运过程：基本输运过程：内摩擦，热传导，扩

41、散内摩擦，热传导，扩散。其宏观规律形式相近；微观机理同。其宏观规律形式相近；微观机理同。流体内各部分流动速度不同时，流体内各部分流动速度不同时，各层流体之间有（内）摩擦力。各层流体之间有（内）摩擦力。一一. 内摩擦内摩擦宏观性质宏观性质不均匀的不均匀的非平衡态非平衡态在不受外界在不受外界 的影响下的影响下由于分子的热运动由于分子的热运动和分子之间的碰撞和分子之间的碰撞宏观性质宏观性质均匀的均匀的平衡态平衡态74设两个大平板之间装有流体，板间各层流设两个大平板之间装有流体，板间各层流体的定向运动速度不同，存在体的定向运动速度不同，存在流速梯度流速梯度. .Z0处面元处面元dSz0 dSdf z u0其上下层之间的其上下层之间的内摩