大学物理 振动和波4

1、1一、一、弹性介质和波源弹性介质和波源（机械波产生的条件）（机械波产生的条件）6 波的基本概念波的基本概念第六章第六章 振动和波振动和波 二、二、物体的弹性和波速物体的弹性和波速6.2 波的周期性和波速波的周期性和波速一、一、波长、波速和频率波长、波速和频率二、二、纵波和横波纵波和横波三、三、 波线、波面、波前波线、波面、波前作业：作业：6-13, 14，157 平面简谐波的波函数平面简谐波的波函数一、行波方程：右行波和左行波一、行波方程：右行波和左行波二、二、 波的能量，能流密度波的能量，能流密度6.1 机械波的产生和传播机械波的产生和传播26.1 机械波的产生和传播机械波的产生和传播一、一

2、、弹性介质和波源弹性介质和波源（机械波产生的条件）（机械波产生的条件）弹性介质是指由弹性力组合的连续介质。弹性介质是指由弹性力组合的连续介质。波源波源波源处质点的振动通过弹性介质中的波源处质点的振动通过弹性介质中的弹性力，将振动传播开去，从而形成机械波。弹性力，将振动传播开去，从而形成机械波。波动（或行波波动（或行波)是振动状态的传播，是能量的是振动状态的传播，是能量的传播，而不是质点的传播。传播，而不是质点的传播。第六章第六章 振动和波振动和波 6 波的基本概念波的基本概念3二、二、纵波和横波：纵波和横波：横波横波振动方向与传播方向垂直，如电磁波振动方向与传播方向垂直，如电磁波纵波纵波振动方

3、向与传播方向相同，如声波。振动方向与传播方向相同，如声波。三、三、波线、波面、波前波线、波面、波前波线波线（或波射线（或波射线)波的传播方向称之为波射线或波线。波的传播方向称之为波射线或波线。波面波面（或相面、波阵面）（或相面、波阵面）某时刻介质内振动相位相同的点组成的面某时刻介质内振动相位相同的点组成的面 称为波面。称为波面。波前波前某时刻处在最前面的波面。某时刻处在最前面的波面。4波线波线波面波面波面波面波线波线球面波球面波平面波平面波 6.2 波的周期性和波速波的周期性和波速一、一、 波长、波速和频率：波长、波速和频率：波长波长振动相位相同的两个相邻波振动相位相同的两个相邻波阵面之间的距

4、离是一个波长。或振动阵面之间的距离是一个波长。或振动在一个周期中传播的距离，称为波长，在一个周期中传播的距离，称为波长，用用 表示。表示。 在各向同性均匀介质在各向同性均匀介质中，波线与波阵面垂中，波线与波阵面垂直直.5波速波速单位时间某种一定的振动状态单位时间某种一定的振动状态(或振动相位或振动相位)所传播的距离称为波速所传播的距离称为波速 ，也称之相速，也称之相速 。u频率频率单位时间内质点振动的次数单位时间内质点振动的次数T1 Tu1 表示波在空间的周期性表示波在空间的周期性表示波在时间上的周期性表示波在时间上的周期性u通过波速通过波速 联系起来联系起来波的周期波的周期T：波传过一个波长

5、的时间，或一个：波传过一个波长的时间，或一个完整的波通过波线上某一点所需要的时间叫完整的波通过波线上某一点所需要的时间叫做波的周期做波的周期T。6二、二、物体的弹性和波速物体的弹性和波速机械波的传播速度完全取决于介质的机械波的传播速度完全取决于介质的弹性性质弹性性质和和惯性性质惯性性质。即介质的弹性模量和介质的密度。即介质的弹性模量和介质的密度,亦即决定于这种波在媒质中传播的机构。亦即决定于这种波在媒质中传播的机构。 Tut * 对于对于柔软的绳索和弦线柔软的绳索和弦线中横波波速为中横波波速为 T为绳索或弦线中张力为绳索或弦线中张力;为质量线密度为质量线密度 * 细长的棒细长的棒状媒质中纵波波

6、速为状媒质中纵波波速为 Yul Y 为媒质的杨氏弹性模量为媒质的杨氏弹性模量;为质量密度为质量密度 7 Nut * 各向同性均匀固体各向同性均匀固体媒质横波波速媒质横波波速N为媒质的切变弹性模量为媒质的切变弹性模量;为质量密度为质量密度 在同一种固体媒质中，横波波速比纵波波速小些。在同一种固体媒质中，横波波速比纵波波速小些。* 理想气体纵波波速理想气体纵波波速MRTPut M为气体的质量；为气体的质量； R为气体的摩尔常数。为气体的摩尔常数。T为热力学温度；为热力学温度；是气体的比热容比是气体的比热容比 模量模量87 平面简谐波的波函数平面简谐波的波函数以横波为例说明平面简谐波的波函数。以横波

7、为例说明平面简谐波的波函数。已知已知O点振动表达式：点振动表达式：)cos(0 tAyxypuOx 0 y表示各质点在表示各质点在Y方向上的方向上的位移，位移，A是振幅，是振幅， 是角频是角频率或叫圆频率，率或叫圆频率， 为为O点在点在零时刻的相位。零时刻的相位。O点运动传到点运动传到 p点需用点需用 uxt 一、行波方程：右行波和左行波一、行波方程：右行波和左行波9)(cos),(0 uxtAtxy)cos(),( xtAtxy 20 22 TTuk； 22 T uuT 定义定义 为角波数为角波数k也即也即p点的相位落后于点的相位落后于O点相位：点相位： 。这就是这就是右行波右行波的波方程。

8、的波方程。 x2T/2Tu/相位落后相位落后 ，所以，所以 p点的运动方程：点的运动方程：ux xypuOx10)(cos),(uxtAtxy 因此下述几式等价：因此下述几式等价：cos),( xtAtxy2 )(cos),( xtAtxy 2)(cos),(utxAtxy 2)(cos),(utxkAtxy T/2Tu/11)()(cos),(02 xxttAttxxy)(cos022 xtuxtA),(),(txyttxxy 若这两处相位相同，则有：若这两处相位相同，则有：)cos(),(02 xtAtxy02 )(xtu 可见波速就是相位传播的速度可见波速就是相位传播的速度12左行波的波

9、函数：左行波的波函数：)(cos),(0 uxtAtxy)(cos),(0 utxkAtxy也即也即p点的相位超前于点的相位超前于O点相位：点相位：所以所以 p点的运动方程，点的运动方程，也也就是左行波的波方程：就是左行波的波方程： xux2 p点运动传到点运动传到 O 点需用点需用时间：时间： uxt xypuOx13一条长线的质量线密度为一条长线的质量线密度为 今用今用一水平力一水平力 将它张紧，并使其上产生横波将它张紧，并使其上产生横波向左传播，在向左传播，在t=0的波形如图所示的波形如图所示mkg/.21051 NF6 例题：例题：求：振幅求：振幅，波长波长，波速波速和和波的周期波的周

10、期波函数及质元振动波函数及质元振动速度表达式速度表达式mmA4010042.,. smFu/.20105162 suT0202040. 20 0 tm04.0m4 .0m2 .0 xyu解：解：14)(sin),(0 uxtAttxyy vsmxtttxyy/)5100cos(6 .12),( v注意：质元振动速度与注意：质元振动速度与波传播速度的不同。波传播速度的不同。mxt)cos(.2510010402 )cos( xtTAy222 20 0 tm04.0m4 .0m2 .0 xyu15例题例题 6.4 有一平面波在均匀介质中以速度有一平面波在均匀介质中以速度u=20m/s沿直线沿直线传

11、播，已知在传播路径上的某点传播，已知在传播路径上的某点A的振动方程为的振动方程为米米）(costy 41034 (1)求以求以A点为坐标原点的波动表达式。点为坐标原点的波动表达式。(2)求以距求以距A点点5米处的米处的B点为坐标原点的波函数。点为坐标原点的波函数。(3)求求B、C两点的相位差。两点的相位差。xB8米米5米米AC米）)(20(4cos1034xty5 xxxou x ou)(cosuxty541034 16)(cosuxty541034 )cos( 541034xtysmu/20 )(BCCBxxu 4米米）)(cosuxty 41034 58513204 ）(B点相位落后点相位

12、落后C点相位点相位与坐标选取无关。与坐标选取无关。xB8米米5米米ACxou17定义：定义：能量密度单位体积内的总机械能能量密度单位体积内的总机械能)(sinuxtAwwwpk 222 定义：平均能量密度（对时间平均定义：平均能量密度（对时间平均)222022211 AdAT sin 其中其中 T202 dsindtuxtATwT)(sin 22021二、二、 波的能量，能流密度波的能量，能流密度18 *任意时刻，体元中动能与势能相等，任意时刻，体元中动能与势能相等， 即动能与势能同时达到最大或极小。即动能与势能同时达到最大或极小。 即同相的随时间变化。这不同于孤即同相的随时间变化。这不同于孤

13、 立振动系统。立振动系统。 * 能量密度随时间周期性变化，能量密度随时间周期性变化， 其周期为波动周期的一半。其周期为波动周期的一半。 T讨论：讨论： * 能量密度与振幅平方能量密度与振幅平方 、频率平方、频率平方 和质量密度和质量密度 均成正比。均成正比。2A2 因为因为波是能量传播的一种形式，波是能量传播的一种形式，下面讨论。下面讨论。19波动的能量与振动能量是有区别的。波动的能量与振动能量是有区别的。孤立振动系统的质元动能最大时，孤立振动系统的质元动能最大时，势能最小，总机械能守恒，不向外传播能量势能最小，总机械能守恒，不向外传播能量;)(sin tmAmvEk22222121)(cos

14、 tkAkxEp2222121而对于波动来说，由于媒质中各部分由弹性力而对于波动来说，由于媒质中各部分由弹性力彼此相联，使得振动在其中传播。任一质元总彼此相联，使得振动在其中传播。任一质元总机械能随时间周期性的变化，动能最大时，势机械能随时间周期性的变化，动能最大时，势能也最大，动能为零时，势能也为零；能也最大，动能为零时，势能也为零； 波是能量传播的一种形式波是能量传播的一种形式振振动动20PEtXY 极大极大 能能量极量极小小 极小极小振动振动kEY21)(sinuxtVAWk 22221)(sinuxtVAWp 22221对于某一体元，它的能量从零达到最大，对于某一体元，它的能量从零达到

15、最大，这是能量的输入过程，然后又从最大减这是能量的输入过程，然后又从最大减到零，这是能量输出的过程，周而复始。到零，这是能量输出的过程，周而复始。平均讲来，该体元的能量密度保持不变，平均讲来，该体元的能量密度保持不变，2221Aw即媒质中并不积累能量。因而它是一个能量传即媒质中并不积累能量。因而它是一个能量传递的过程，或者说波是能量传播的一种形式；递的过程，或者说波是能量传播的一种形式；波动的能量沿波速方向传播；波动的能量沿波速方向传播；22能流能流 单位时间内垂直通过某一截面的单位时间内垂直通过某一截面的能量称为波通过该截面的能流，或叫能通量。能量称为波通过该截面的能流，或叫能通量。PwSt

16、uWw为截面所在位置的能量密度为截面所在位置的能量密度所以，能流为：所以，能流为：)(sin222uxtASuwSutWPSutu显然能流是随时间周期性变化的。但它总为正值显然能流是随时间周期性变化的。但它总为正值 能流，能流密度能流，能流密度设波速为设波速为 u，在，在 时间内通过垂直于波速截面时间内通过垂直于波速截面 的能量的能量:S t 23在一个周期内能流的平均值称为平均能流在一个周期内能流的平均值称为平均能流PwSuP uAwuSPI2221 换句话说，能流密度是换句话说，能流密度是单位时间内通过垂直于单位时间内通过垂直于波速方向的单位截面的波速方向的单位截面的平均能量。平均能量。u

17、AI2221 声学中声强就是声学中声强就是上述定义之一例上述定义之一例 平均能流平均能流能流密度是矢量，其方向与波速方向相同。能流密度是矢量，其方向与波速方向相同。通过垂直于波动传播方向的单位面积的平均能流通过垂直于波动传播方向的单位面积的平均能流称为平均能流密度，通常称为能流密度或波的强度。称为平均能流密度，通常称为能流密度或波的强度。24借助于上式和能量守恒可讨论波传播时振幅的变化：借助于上式和能量守恒可讨论波传播时振幅的变化：在均匀在均匀不吸收能量不吸收能量的媒质中传播的平面波在行进方向的媒质中传播的平面波在行进方向上振幅不变。上振幅不变。 平面波和球面波的振幅平面波和球面波的振幅证明：

18、因为证明：因为在一个周期在一个周期T内通过内通过1S和和2S面的能量应该相等面的能量应该相等,TSITSI2211 SSS 21TSAuTSAu222212122121 21AA u1S2S所以所以,平面波振幅相等：平面波振幅相等：252224 rS 2211rArA ;2114 rS 所以振幅与离波源的所以振幅与离波源的距离成反比。如果距距离成反比。如果距波源单位距离的振幅波源单位距离的振幅为为A则距波源则距波源r处的振处的振幅为幅为rA球面波球面波由于振动的相位随距离由于振动的相位随距离的增加而落后的关系，的增加而落后的关系，与平面波类似，球面简与平面波类似，球面简谐波的波函数：谐波的波函数：)(cosurtrAyTSAuTSAu2222121