量子物理 2下

1、1 第六章第六章量子物理基础量子物理基础 （2下）下）2再谈玻尔（原子）模型再谈玻尔（原子）模型 与与 玻尔：玻尔：玻尔把量子论推广到玻尔把量子论推广到原子系统。至今仍然原子系统。至今仍然正确的假设：正确的假设：（1 1）原子中的能量状态）原子中的能量状态也是分立的、稳定的：也是分立的、稳定的：（2 2）当原子从某一能量状态）当原子从某一能量状态跃迁到另一能量状态时跃迁到另一能量状态时mneeh 卢瑟福卢瑟福 - - 玻尔玻尔 3玻尔理论很好地解释了氢原子光谱的波长。玻尔理论很好地解释了氢原子光谱的波长。但是，不能说明氢原子光谱线的强度；但是，不能说明氢原子光谱线的强度； 不能说明复杂的原子光

2、谱结构（即使不能说明复杂的原子光谱结构（即使hehe）。）。理论本身存在困难：理论本身存在困难：（1 1）电子作轨道运动，受到向心力）电子作轨道运动，受到向心力 - - 电子的能量等于动能加电势能电子的能量等于动能加电势能 - - 电子在中心力场中运动角动量守恒电子在中心力场中运动角动量守恒玻尔加一个角动量量子化条件玻尔加一个角动量量子化条件就可得到氢原子能级公式。就可得到氢原子能级公式。. 3 ,2 , 1nnvrme （为什么？）（为什么？）有向心加速度而不辐射能量、稳定。有向心加速度而不辐射能量、稳定。（为什么？）（为什么？）4（2 2）卢瑟福）卢瑟福 给玻尔给玻尔 提的问题提的问题e

3、e1 1e e2 2e e3 3? ?多种频率的光入射多种频率的光入射（3 3）薛定格）薛定格 给玻尔给玻尔 提的问题提的问题电子从电子从 e e1 1 到到 e e2 2过程的速度不可能过程的速度不可能是无限大是无限大 -？玻尔理论在人们认识原子结构的进程中有玻尔理论在人们认识原子结构的进程中有很大的贡献很大的贡献- - 19221922年玻尔获诺贝尔物理奖。年玻尔获诺贝尔物理奖。5玻尔正在讲解他的玻尔正在讲解他的互补原理互补原理玻尔（左）和玻尔（左）和 海森伯（中）海森伯（中） 泡利（右）在一起泡利（右）在一起6在玻尔研究所里在玻尔研究所里学术空气很浓，学术空气很浓，玻尔演讲后与听玻尔演讲

4、后与听众踊跃讨论。众踊跃讨论。哥本哈根学派哥本哈根学派“丹麦是我出生的地方，丹麦是我出生的地方， 是我的故乡，是我的故乡， 是我心中的世界是我心中的世界 开始的地方。开始的地方。”卢瑟福的邀请卢瑟福的邀请普朗克的邀请普朗克的邀请76.5 6.5 概率波概率波如何对波粒二象性正确理解？如何对波粒二象性正确理解？ 一一. .二象性是单个微观粒子的属性二象性是单个微观粒子的属性19491949年，前苏联物理学家年，前苏联物理学家费格尔曼费格尔曼做了做了一个非常精确的一个非常精确的弱电子流衍射实验弱电子流衍射实验电子几乎是一个一个地通过双缝，电子几乎是一个一个地通过双缝，底片上出现一个一个的点子。底片

5、上出现一个一个的点子。（显示出电子具有粒子性）（显示出电子具有粒子性）开始时底片上的点子开始时底片上的点子“无规无规”分布，随着分布，随着电子增多，逐渐形成双缝衍射图样。电子增多，逐渐形成双缝衍射图样。8衍射图样说明每个电子到达屏上各点衍射图样说明每个电子到达屏上各点有一定几率，衍射图样是大量电子有一定几率，衍射图样是大量电子出现几率的出现几率的统计结果。统计结果。德布洛意波德布洛意波也称为也称为几率波。几率波。衍射图样不是电子相互作用的结果衍射图样不是电子相互作用的结果, ,来源于来源于“ “ 单个电子单个电子”具有的波动性。具有的波动性。（放映（放映cai-cai-电子双缝衍射实验）电子双

6、缝衍射实验）9 对微观粒子的二象性的理解：对微观粒子的二象性的理解：（1 1）粒子性）粒子性 指它与物质相互作用的指它与物质相互作用的“颗粒性颗粒性”或或 “整体性整体性”。 但不是经典的粒子！因为微观粒子但不是经典的粒子！因为微观粒子 没有确定的轨道，没有确定的轨道， 应抛弃应抛弃“轨道轨道”的概念！的概念！10（2 2）波动性）波动性 指它在空间传播有指它在空间传播有“可叠加性可叠加性”， 有有“干涉干涉”，“衍射衍射”等现象。等现象。 但不是经典的波！因为它没有某种实际但不是经典的波！因为它没有某种实际 物理量（如质点的位移、电场、磁场）物理量（如质点的位移、电场、磁场） 的波动分布。的

7、波动分布。 要描述微观粒子的运动，应该用一个函数要描述微观粒子的运动，应该用一个函数（波函数），它必须能把（波函数），它必须能把“颗粒性颗粒性”与与 “ “可叠加性可叠加性” 统一起来！统一起来！ 11二二 . .玻恩对波函数的统计诠释玻恩对波函数的统计诠释人们人们 常用常用 （复函数）代表微观粒子的波函数。（复函数）代表微观粒子的波函数。 本身并无物理意义，而本身并无物理意义，而波函数的模的平方（波的波函数的模的平方（波的强度）代表时刻强度）代表时刻t t、在空、在空间间 r r点处，单位体积元中点处，单位体积元中微观粒子出现的几率，微观粒子出现的几率，玻恩为了把玻恩为了把“颗粒性颗粒性”与

8、与 “ “可叠加性可叠加性” 统一起来，给了波函数统一起来，给了波函数一个统计诠释：一个统计诠释：12 (r,t)(r,t)* * (r,t)dv(r,t)dv表示在时刻表示在时刻t t、空间、空间r r点处，点处，体积元体积元dvdv中发现微观粒子的几率。中发现微观粒子的几率。 (r,t)(r,t)称为称为“几率振幅几率振幅”。 (r,t)(r,t) 2 2称为称为 几率密度几率密度。1954年年 玻恩获诺贝尔物理奖。玻恩获诺贝尔物理奖。(r,t)(r,t) 2 2 = = (r,t)(r,t)* * (r,t)(r,t)13波函数应满足的条件：波函数应满足的条件：（）（）自然条件：自然条件

9、：单值、有限、连续单值、有限、连续（）（）归一化条件：归一化条件：粒子在空间各点的粒子在空间各点的几率总和应为几率总和应为l l，即，即1),(*),()( dvtrtrtotal（3 3）状态叠加原理：状态叠加原理： 若体系具有一系列不同的可能状态，若体系具有一系列不同的可能状态，1 1, , 2 2 ， 则它们的线性组合则它们的线性组合 =c=c1 1 1 1,+c,+c2 2 2 2+ + 也是该体系的一个可能也是该体系的一个可能的状态。其中的状态。其中c c1 1, c, c2 2 为任意复常数。为任意复常数。14对电子双缝衍射实验的说明对电子双缝衍射实验的说明: :只开缝只开缝1-1

10、-强度分布为强度分布为i i1 1只开缝只开缝2-2-强度分布为强度分布为i i2 2电子枪电子枪1 12 2i i2 2i i1 1+ +分布分布双缝干涉双缝干涉 分布分布电子有粒子性电子有粒子性, ,一个电子只能从一个缝通过一个电子只能从一个缝通过, ,电子有波动性电子有波动性, ,其状态服从叠加原理其状态服从叠加原理. .( (状态为状态为 1,1,分布为分布为 1 1 2 2 ) )( (状态为状态为 2,2,分布为分布为 2 2 2 2 ) )( (状态为状态为 1 1 + + 2, 2, 分布为分布为 1 1 + + 2 2 2 2 ) )同时开缝同时开缝1,2-1,2-分布不是分

11、布不是i i1 1+ i+ i2,2,而是双缝干涉分布。而是双缝干涉分布。15 6.6 6.6 不确定关系不确定关系一一. .不确定关系不确定关系波动性使微观粒子没有确定的轨道，波动性使微观粒子没有确定的轨道，即坐标和动量不能同时取确定值，即坐标和动量不能同时取确定值，存在一个存在一个不确定关系。不确定关系。 下面以电子的单缝衍射实验下面以电子的单缝衍射实验 为例来说明为例来说明不确定关系不确定关系：16电子沿电子沿z z方向通过狭缝后，假设全部散布在方向通过狭缝后，假设全部散布在中央亮纹的范围内中央亮纹的范围内以电子的单缝衍射实验为例来说明：以电子的单缝衍射实验为例来说明：衍射角衍射角 1

12、1、缝宽、缝宽a a和入射波波长和入射波波长 间满足间满足 a sina sin 1 1 = = p p 1 1x xa a电子电子 p px x17狭缝处的电子狭缝处的电子 x x 坐标不确定范围：坐标不确定范围： x xa a x x 方向动量的不确定范围方向动量的不确定范围: :可由电子能到达可由电子能到达 屏上的位置来估算屏上的位置来估算 p px xp sin p sin 1 1xhxhxpapppx 1sin x x p px xh h对坐标对坐标 x x 测量得越精确（测量得越精确（ x x 越小），越小），动量不确定性动量不确定性 p px x 就越大就越大( (衍射越厉害衍射

13、越厉害) )。得得18严格的理论给出严格的理论给出坐标与动量的不确定关系为坐标与动量的不确定关系为 x x p px x /2 /2 y y p py y /2 /2 z z p pz z /2 /2 时间与能量的不确定关系时间与能量的不确定关系如果对电子测量能量的时间为如果对电子测量能量的时间为 t t，则测得的电子能量有不确定范围则测得的电子能量有不确定范围 e e。 t te e /2 /2( (作习题用作习题用) )19 能级宽度和能级寿命的不确定关系能级宽度和能级寿命的不确定关系设原子处于某能级状态的寿命为设原子处于某能级状态的寿命为 （显然，测量能量（显然，测量能量 只能在此时间范

14、围内只能在此时间范围内 进行，不能超过进行，不能超过 ），）， e e /2 /2 t te e /2 /2若测量能量的时间为若测量能量的时间为 ，则测得的能级的则测得的能级的 能量必有宽度为能量必有宽度为 e e 的不确定程度，的不确定程度，满足关系满足关系20二二 . .用不确定关系作数量级估算用不确定关系作数量级估算 （自学例题）（自学例题）补例：补例：威尔逊云室是一个充满威尔逊云室是一个充满“过饱和蒸气过饱和蒸气” 的容器。射入高速电子，可看到一条的容器。射入高速电子，可看到一条 白亮的带状的痕迹白亮的带状的痕迹粒子的轨道？粒子的轨道？ 测出径迹的线度测出径迹的线度1010-4-4cm

15、cm， 所以电子位置的不确定程度所以电子位置的不确定程度 电子动量的不确定程度为电子动量的不确定程度为smkgxpx/10228 x10 x10-4-4cmcm21另另 测出云室中该电子的动能测出云室中该电子的动能 t t10108 8 evev，则电子动量为（用非相对论估算）则电子动量为（用非相对论估算）smkgmtp/108 . 1223 有有 p p p px x所以，所以， 坐标和动量的取值基本上可以认为是坐标和动量的取值基本上可以认为是确定的，对云室问题可以使用确定的，对云室问题可以使用“轨道轨道”的概念。的概念。 电视显象管中电子的运动可以使用轨道的电视显象管中电子的运动可以使用轨

16、道的 概念概念, ,其表现跟经典粒子一样。其表现跟经典粒子一样。 氢原子中电子的运动必须抛弃轨道的概念氢原子中电子的运动必须抛弃轨道的概念, , 代之以说明电子在空间的概率分布的代之以说明电子在空间的概率分布的 电子云图象。电子云图象。22微观粒子具有微观粒子具有波粒二象性波粒二象性 ( (补图补图)“)“少女与老妇少女与老妇” ( (不太恰当的比喻不太恰当的比喻) )6.7 6.7 薛定格方程薛定格方程一. 薛定格方程薛定格方程描述微观粒子有波粒二象性状态的波函数描述微观粒子有波粒二象性状态的波函数 一般是空间和时间的函数，即一般是空间和时间的函数，即 = = (x,y,z,t)(x,y,z

17、,t) 微观粒子在不同条件下微观粒子在不同条件下( (例如，处于不同的例如，处于不同的 外场中外场中) )的运动状态是不同的，的运动状态是不同的，如何找到如何找到 微观粒子在不同条件下的波函数？微观粒子在不同条件下的波函数？231932年年 诺贝尔物理学奖诺贝尔物理学奖 获得者获得者为量子力学为量子力学创立的贡献创立的贡献海森伯（海森伯（ heisenberg 德国人德国人 1901-1976）在波函数在波函数 所满足的方程中，应反映出所满足的方程中，应反映出微观粒子所处的不同条件微观粒子所处的不同条件。2419261926年，奥地利物理学家薛定格年，奥地利物理学家薛定格 （schroding

18、er 1887-19611887-1961）得出的方程称为得出的方程称为薛定格方程。薛定格方程。量子力学量子力学找到微观粒子找到微观粒子在不同条件下的波函数在不同条件下的波函数的方法，归结为求各种的方法，归结为求各种条件下薛定格方程的解。条件下薛定格方程的解。19331933年薛定格获年薛定格获 诺贝尔物理奖诺贝尔物理奖。25薛定格方程的非相对论形式为薛定格方程的非相对论形式为 ),(),(2),(22trtrumtrti 式中式中 m m粒子的质量粒子的质量 u u粒子在外力场中的势能函数（所处条件）粒子在外力场中的势能函数（所处条件） 2 2拉普拉斯算符拉普拉斯算符 2222222zyx

19、（1 1）它是一个复数偏微分方程；）它是一个复数偏微分方程； 其解波函数其解波函数 是一个复函数。是一个复函数。（2 2）它并非推导所得，是量子力学中最基本的方程。）它并非推导所得，是量子力学中最基本的方程。26二二 . .定态薛定格方程定态薛定格方程常常遇到微观粒子的势能函数常常遇到微观粒子的势能函数 u u 与时间与时间t t无关的稳定的势场问题，例如无关的稳定的势场问题，例如 自由运动粒子自由运动粒子u u = 0 = 0 氢原子中的电子氢原子中的电子reu2041 这时波函数这时波函数 可以用可以用分离变量法分离变量法分离为分离为一个空间坐标的函数和一个时间函数的一个空间坐标的函数和一

20、个时间函数的乘积。乘积。27例如，对于例如，对于一维一维运动的情况，波函数可写成运动的情况，波函数可写成 )()(),(tfxtx 将其代入薛定格方程将其代入薛定格方程, ,得得fudxdmdtdfi 2222两边除以两边除以 ，得，得 udxdmdtdffi222211= = e e ( (常数常数) )可得含变量可得含变量 t t和变量和变量 x x 的两个方程的两个方程：28 一个是变量为一个是变量为t t的方程的方程 edtfdfi 其解为其解为 etiaef （a a 是待定复常数，是待定复常数， e e 有能量量纲有能量量纲, ,以后可知是粒子的总能量）以后可知是粒子的总能量） e

21、udxdm 22220)(2222 uemdxd即即（）（）（）（） 一个是变量为一个是变量为x x的方程的方程2922)()(),(xextxti 即此时，概率密度也可以用即此时，概率密度也可以用 (x)(x) 2 2来表示，来表示， (x)(x)称为定态波函数，称为定态波函数， 对势能函数对势能函数 u u 与时间与时间t t 无关的一维定态问题，无关的一维定态问题， 只须解定态薛定格方程（）式，再利用只须解定态薛定格方程（）式，再利用（）式即可得波函数（）式即可得波函数 (x,t)(x,t)。由上面可以看出由上面可以看出: :（）式是（）式是 (x)(x)满足的方程，满足的方程， 称为定

22、态薛定格方程。称为定态薛定格方程。 30例例. .一维自由运动微观粒子的波函数。一维自由运动微观粒子的波函数。 其定态薛定格方程为其定态薛定格方程为02222 emdxd二阶常系数二阶常系数 常微分方程常微分方程结合最简单的问题，介绍量子力学处理问题的结合最简单的问题，介绍量子力学处理问题的最基本方法，并得出一些重要的结论。最基本方法，并得出一些重要的结论。晶体晶体衍射屏衍射屏自由运动区自由运动区 u u = 0= 0电子枪电子枪k ka a3122pme 令令02222 pdxd得得它有两个特解它有两个特解: :xpie1 xpie2 02222 emdxd32)xkt( itixkitei

23、xpi11eaeeaeea)t (f)x()t ,x( 沿沿 + x + x 方向的平面单色波方向的平面单色波)()()(),(xktitixkiteixpieaeeaeeatfxtx 22沿沿 - x - x 方向的平面单色波方向的平面单色波所以，一维自由运动微观粒子的波函数所以，一维自由运动微观粒子的波函数有如下两个解有如下两个解: :336 68 8 势阱中的粒子势阱中的粒子一一. .一维无限深势阱中粒子的波函数与能量一维无限深势阱中粒子的波函数与能量金属中自由电子的运动金属中自由电子的运动, ,是被限制在是被限制在一个有限的范围一个有限的范围 称为称为束缚态。束缚态。作为粗略的近似，我

24、们认为这些电子作为粗略的近似，我们认为这些电子在一维无限深势阱中运动，在一维无限深势阱中运动，即它的势能函数为即它的势能函数为 axxaxxu, 000)( 区区 区区 区区34这种势场表示粒子可以在势阱中运动，这种势场表示粒子可以在势阱中运动，但不能越出势阱，因为但不能越出势阱，因为 x x 0 ,x 0 ,x a a 区域的势能为无穷大。区域的势能为无穷大。 （这是一个理想化的模型）（这是一个理想化的模型）作为对定态薛定格方程应用的例子，我们来作为对定态薛定格方程应用的例子，我们来具体求出微观粒子在此势阱中的波函数解。具体求出微观粒子在此势阱中的波函数解。按照一维定态薛定格方程按照一维定态

25、薛定格方程0)(2222 uemdxd（）（）35由于在由于在 i i、 iii iii 两区的两区的 u u(x)(x) ，为保证波函数有限的物理条件，显然应为保证波函数有限的物理条件，显然应 = = 0;0; = = 0 00)(2222 uemdxd由于由于 区的区的u u(x)= 0(x)= 0，因此该区薛定格方程为，因此该区薛定格方程为02222 emdxdemk222 令令则则0222 kdxd36 a a、b b是由物理（自然）条件来决定的是由物理（自然）条件来决定的 常数常数( (可将通解上式代入方程，以证明之可将通解上式代入方程，以证明之) ) 有限、单值有限、单值自然满足自然满足 连续连续？这一方程的通解为这一方程的通解为 kxbkxasincos 0222 kdxd 由于由于，）（处处必必须须连连续续，在在000)(1 xx 因此有因此有 0)0(11 a 37，）（处处必必须须连连续