大学物理第27章

1、本章主要内容本章主要内容Schrdinger方程方程无限深方势阱中的粒子无限深方势阱中的粒子 势垒穿透势垒穿透 谐振子谐振子第二章 Schrodinger方程Schrdinger方程是波函数方程是波函数Y 所满足的偏微分方程，它所满足的偏微分方程，它是物质波的是物质波的波动方程波动方程，也是量子力学中基本，也是量子力学中基本动力学方程动力学方程。用波函数用波函数Y 定量地描述粒子的波动性定量地描述粒子的波动性。 Y = Y (x,y,z,t)第二十七章第二十七章 Schrdinger方程方程由此，由此，Schrdinger发展建立了发展建立了量子力学量子力学的一个理论分支。另有的一个理论分支。

2、另有Heisenberg的的。（等价理论）（等价理论）在给定条件下在给定条件下( (给定一势场给定一势场) )，粒子的波函数是怎样的？，粒子的波函数是怎样的？2-1 Schrodinger方程YYYtiUm222),( ),(tzyxUUtzyxYY),(trYY或或 含时含时Schrdinger方程方程YYYtiUxm2222),( ),(txUUtxYY一维特例：一维特例：1926年，年， E. Schrdinger（奥）（奥）发表了他对发表了他对非相对论非相对论形式形式下定量处理物质波的研究结果，提出了下定量处理物质波的研究结果，提出了Schrdinger方程。方程。含时含时Schrdi

3、nger方程是量子力学中的普遍方程。方程是量子力学中的普遍方程。本章不本章不作具体讨论。作具体讨论。2-1 Schrodinger方程2222222zyx柱坐标：柱坐标：22222222sin1sinsin11rrrrrr22222211zrrrrr球坐标：球坐标：zkyjxi2-1 Schrodinger方程 定态定态Schrdinger方程方程)(),(tfzyxY在势函数不显含时间在势函数不显含时间 t 的情况下，即的情况下，即 ，方，方程可以用分离变量法求解，即将波函数表示为程可以用分离变量法求解，即将波函数表示为),(zyxUU dttdfitfUtfm)()()(222dtdffi

4、Um11222EEUm222dtEifdf得方程得方程 和和Etiezyxtzyx),(),(YEtietf)(解得解得于是于是2-1 Schrodinger方程定态定态Schrdinger方程方程一维特例：一维特例：EUdxdm2222)( )(xUUxEtiextx)(),(YY因为波函数（概率幅）满足因为波函数（概率幅）满足Etiezyxtzyx),(),(YY由此得由此得22),(),(zyxtzyxY 称为称为 ，它描写的粒子的状态叫，它描写的粒子的状态叫发现其概率分布不随时间变化；发现其概率分布不随时间变化； Schrdinger方程方程是是微分方程，因此，波函数微分方程，因此，波

5、函数Y 和和 均服从均服从。如果如果Y1 和和Y2 是方程的解，则是方程的解，则 Y1 + Y2 也是。也是。2-1 Schrodinger方程说明说明： 波函数的基本性质：有限，单值，连续波函数的基本性质：有限，单值，连续（1 1）概率）概率小于小于1，总值是总值是1 1，不能无限大，所以波函数，不能无限大，所以波函数 必须有限；必须有限；（2 2）任何位置只能有一个概率，所以波函数应为单值。）任何位置只能有一个概率，所以波函数应为单值。（3 3）概率密度在全空间是连续的，也就是在某处不可）概率密度在全空间是连续的，也就是在某处不可 能发生突变，故波函数能发生突变，故波函数应是连续的；应是连

6、续的； 波函数还应满足波函数还应满足：1)( 1),(22dxxdVzyx全空间一维：一维：2 2 0)(axaxxU 讨论粒子做一维运动的情形。讨论粒子做一维运动的情形。已知粒子在某外力场中的势能已知粒子在某外力场中的势能此势能分布叫此势能分布叫一维无限深方势阱一维无限深方势阱。 xaOa 2 2U 经典观点：粒子往返于阱壁之间，在各处出现的概率是经典观点：粒子往返于阱壁之间，在各处出现的概率是一样的。一样的。 粒子在势阱内势能为零，受粒子在势阱内势能为零，受力为零，自由运动。在阱外势能力为零，自由运动。在阱外势能为无穷大，在阱壁上受到无穷大为无穷大，在阱壁上受到无穷大的斥力。因此粒子的位置

7、就被限的斥力。因此粒子的位置就被限制在阱内，粒子此时的状态我们制在阱内，粒子此时的状态我们称为束缚态。称为束缚态。xEFPx（见第四章（见第四章5 5节节）2-2 无限深方势阱中的粒子无限深方势阱的势函数：无限深方势阱的势函数：2 2 0)(axaxxU022axax利用利用波函数连续波函数连续性质性质得出的边界条件得出的边界条件kxDkxCsincos通解：通解：其中其中C、D为积分常数为积分常数mEkkdxd2 0222即即 ，ExUdxdm)(2222Schrdinger方程：方程：2 2222axEdxdm2 0ax xaOa 2 2U2-2 无限深方势阱中的粒子2 , 0ax 2 ,

8、sincosaxkxDkxC022axax0)2sin()2cos(kaDkaC 0)2sin()2cos(kaDkaC由边界条件，有由边界条件，有 0)2cos(kaC 0)2sin(kaD即即C 和和 D 不能同时为零不能同时为零, 否则否则 到处为零到处为零, 物理上没有意义。物理上没有意义。因此因此, 我们得到两组解我们得到两组解: 0)2(in , 0 )2( 0)2cos( , 0 ) 1 (kasCkaD) 12( mkaanknmka2 22222222nmamkEnnmEk2/.1,2,3.n说明束缚在势阱内的粒子的能量只能取离散的值说明束缚在势阱内的粒子的能量只能取离散的值

9、(能量量子化能量量子化)，能量最低，能量最低值不为零。值不为零。 En 中的中的 n 称为称为。得到两种形式的波函数（奇得到两种形式的波函数（奇/偶函数）：偶函数）： , 5 , 3 , 1 cosevennxkCn , 6 , 4 , 2 sinoddnxkDneigenfunction 0)2(in , 0 )2( 0)2cos( , 0 ) 1 (kasCkaD) 12( mkaanknmka2 kxDkxCsincos将以上两组解依次代入通解：将以上两组解依次代入通解：ankn如何求系数如何求系数 C 和和 D ?2 , 0ax 2 ,sincosaxkxDkxC继续求解波函数：继续求

10、解波函数：2-2 无限深方势阱中的粒子aCxdxanCdxaa2 1cos22222even同理，由同理，由 得得aD212odddx用归一化条件用归一化条件求解积分常数求解积分常数C、D：Yn(x) 所描述的粒子状态称为所描述的粒子状态称为。 eigenstate2nnnE , 5 , 3 , 1 )cos(2evennaxna , 6 , 4 , 2 )sin(2oddnaxna能量本征函数的最终结果为：能量本征函数的最终结果为：)(xn2ax 2 0ax )2(122222EnnmaEn2-2 无限深方势阱中的粒子19 3EEn116 4EEn14 2EEn1 1EEnn2nxaOa 2

11、 2U)cos(21axa)2sin(22axa)4sin(24axa)3cos(23axa解解：（：（1）基态基态 n = 1%55.194331sin23023021aadxxaadx 例例1 一维无限深势阱（一维无限深势阱（0 x a）中粒子的定态波函数为）中粒子的定态波函数为 试试求：求：（1）粒子处于基态时）粒子处于基态时;（2）粒子处于）粒子处于 n = 2 ;（2）粒子处于）粒子处于 n = 3 的的状态时，在状态时，在 x = 0 到到a/3之间找到粒子的概率。之间找到粒子的概率。)sin(2axnan（2）n = 2 态态%44.2683312sin23023022aadxx

12、aadx（3）n = 3 态态%33.33313sin23023023aadxxaadx2-3 势垒穿透xaOa 2 2U0U2 02222axmEdxd2 0ax 2 0)(22022axEUmdxd1. 半无限深方势阱半无限深方势阱Schrdinger方程：方程：2k2k2 0 )(axxU2 ax2 0axU势函数：势函数：只考虑只考虑 的束缚态的束缚态0UE （如果是经典粒子只能处于阱内！）（如果是经典粒子只能处于阱内！） 有限有限2 ,axDeCexkxk2 , 0ax2 , ) sin(axkxA解得：解得：2-3 势垒穿透0 ) 2(ax)(0UExaOa 2 2U0U1 1En

13、n2 2En3 3En2202022)(2kmUEUmk222mEk左端左端 连续；连续；右端右端 和和 d/dx 均连续：均连续：2 )2cos(akCekkakA2 0) 2sin(axkaA 2 )2sin(akCekaA2ax：在：在 的区域的区域仍有粒子出现的概率。仍有粒子出现的概率。0UE 按照经典理论，按照经典理论， 是不是不可能的。但由不确定关系可证明可能的。但由不确定关系可证明 有有 ，这正是粒子波，这正是粒子波动性所致。动性所致。 0kEEUEk02 ,axCexk2 , 0ax2 , ) sin(axkxA2-3 势垒穿透axxmEdxd , 0 02222axEUmdx

14、d0 0)(22022Schrdinger方程：方程：2. 一维方势垒一维方势垒axUxU0 )(00 0 xax 0一维方势垒的势函数：一维方势垒的势函数：0UE解函数：解函数：,ikxikxBeAe,xkxkEeDe, ikxCe0 xaxax0入射入射+反射反射透射透射：对有限高度和宽度的势垒，粒子不仅可以进入：对有限高度和宽度的势垒，粒子不仅可以进入 的的区域，而且可以穿透势垒到达它的另一侧，这种效应区域，而且可以穿透势垒到达它的另一侧，这种效应称为称为或或。0UEbarrier penitration / tunneling effectxO U0Ua2-3 势垒穿透说明说明： 势垒

15、穿透是量子效应势垒穿透是量子效应 势垒穿透效应的实例与应用势垒穿透效应的实例与应用 扫描隧道显微镜（扫描隧道显微镜（STM） scanning tunneling microscope a 衰变过程衰变过程 对黑洞理论的支持对黑洞理论的支持理论上，宏观物体也有波动性，因此经典粒子也理论上，宏观物体也有波动性，因此经典粒子也应有隧道效应，只是概率极小，实际不可能发生。应有隧道效应，只是概率极小，实际不可能发生。2-4 谐振子2221)(xmxU一维谐振子的势函数：一维谐振子的势函数：ExUdxdm)(2222021222222xmEmdxdSchrdinger方程：方程： , 2 , 1 , 0 21nnEn能量本征值能量本征值（利用波函数有限和连续的性质）（利用波函数有限