固体物理电子教案51布洛赫定理

1、第一节第一节 布洛赫定理布洛赫定理5.1.1 5.1.1 布洛赫定理布洛赫定理5.1.3 5.1.3 布里渊区布里渊区5.1.2 5.1.2 波矢的取值和范围波矢的取值和范围本节主要内容本节主要内容: :5.1 布洛赫定理5.1.1 布洛赫定理1.晶格的周期性势场 (3) (3)理想晶体中原子排列具有周期性，晶体内部的势场具理想晶体中原子排列具有周期性，晶体内部的势场具有周期性；有周期性； (1) (1)在晶体中每点势能为各个原子实在该点所产生的势能之在晶体中每点势能为各个原子实在该点所产生的势能之和；和； (2) (2)每一点势能主要决定于与核较近的几个原子实每一点势能主要决定于与核较近的几

2、个原子实( (因为势因为势能与距离成反比能与距离成反比) )； (4) (4)电子的影响：电子均匀分布于晶体中，其作用相当于在晶电子的影响：电子均匀分布于晶体中，其作用相当于在晶格势场中附加了一个均匀的势场，而不影响晶体势场的周期性。格势场中附加了一个均匀的势场，而不影响晶体势场的周期性。 ervm 222 nrrvrv nr其中其中 为任意格点的位矢。为任意格点的位矢。电子在一个具有晶格周期性的势场中运动电子在一个具有晶格周期性的势场中运动2. 布洛赫定理当势场具有晶格周期性时，波动方程的解具有如下性质：当势场具有晶格周期性时，波动方程的解具有如下性质：),r()rr(nrk in e其中其

3、中 为电子波矢，为电子波矢， k332211anananrn 是格矢。是格矢。 在晶格周期性势场中运动的电子的波函数是按晶格周期调在晶格周期性势场中运动的电子的波函数是按晶格周期调幅的平面波。具有此形式的波函数称为幅的平面波。具有此形式的波函数称为布洛赫波函数布洛赫波函数。?aaa )()()(321 、 nkkrruru 3.证明布洛赫定理(1)(1)引入平移对称算符引入平移对称算符)(nrt(2)(2)说明说明: :0, ht(3)(3) tnrkinr e)( 根据布洛赫定理波函数写成如下形式：根据布洛赫定理波函数写成如下形式：)()()(nnrrfrfrt )2()()()()(2nn

4、nnrrfrrfrtrfrt (1)(1)平移对称算符平移对称算符)(nrt)()()(nnlrlrfrfrt )()()()(rhrrvrf，可以是 )(222rvmh ),()(nrrvrv (2)(2)0, ht)()(22222222nrrzyxr 233222222112)()()(anzanyanx 晶体中单电子哈密顿量晶体中单电子哈密顿量 具有晶格周期性。具有晶格周期性。h)()()()()(nnnrrrrhrrhrt )()()(rrtrhn 平移对称操作算符与哈密顿算符是对易的。平移对称操作算符与哈密顿算符是对易的。0, ht在直角坐标系中：在直角坐标系中： 由于对易的算符有

5、共同的本征函数，所以如果波函数由于对易的算符有共同的本征函数，所以如果波函数 是是 的本征函数，那么的本征函数，那么 也一定是算符也一定是算符 的本征函数。的本征函数。)(r h)(r )(nrt，则则有有对对应应的的本本征征值值为为设设)()(nnrrt )()()()()(rrrrrrtnnn 根据平移特点根据平移特点)()()()()(332211332211antantantananantrtn 321)()()(321nnnatatat (3)(3) tnrkinr e)( 可得到可得到 )()()()()()()()(321321raaarrrrtnnnnn 即即 321)()()

6、()(321nnnnaaar ?aaa )()()(321 、,321321个个原原胞胞、方方向向各各有有、设设晶晶体体在在nnnaaa )()()()()()(332211anrranrranrr 由周期性边界条件由周期性边界条件根据上式可得到根据上式可得到 )()()()()(111111ranrrarantn 1)(11 na 1121e)(nlia 同理可得：同理可得：,anli2222e)( 3323e)(nlia 这样这样 的本征值取下列形式的本征值取下列形式)(nrt)(2333222111e)(nlnnlnnlninr 引入矢量引入矢量333222111nblnblnblk 式

7、中式中 为晶格三个倒格基矢，由于为晶格三个倒格基矢，由于 ,321bbb、ijjiba 2 nrk inr e)( )(e)(rrrnrk in -布洛赫定理布洛赫定理 rurkrkik e nkkrruru 再证明布洛赫波函数具有如下形式：再证明布洛赫波函数具有如下形式： 可以看出平面波可以看出平面波 能满足上式。因此矢量能满足上式。因此矢量 具有波矢的具有波矢的意义。当波矢增加一个倒格矢意义。当波矢增加一个倒格矢 ，平面波，平面波 也满足上式。也满足上式。rk i ekhkrkkih )(e因此电子的波函数一般是这些平面波的线性叠加因此电子的波函数一般是这些平面波的线性叠加 hrkihrk

8、 ihrkkihkhhkkakkar)e(e)e()()( hrkihkhkkaru)e()(设则上式化为则上式化为)(e)(rurkrk ik )()(rurruknk 即晶体中电子的波函数是按晶格周期调幅的平面波。22)()(rrrknk )(e)(rrrnrk in 可以认为电子在整个晶体中自由运动。布洛赫函数的平面可以认为电子在整个晶体中自由运动。布洛赫函数的平面波因子描述晶体中电子的共有化运动，而周期函数的因子描述波因子描述晶体中电子的共有化运动，而周期函数的因子描述电子在原胞中运动，这取决于原胞中电子的势场。电子在原胞中运动，这取决于原胞中电子的势场。5.1.2 的取值和范围k个个

9、原原胞胞，、方方向向各各有有、设设晶晶体体在在321321nnnaaa )()()()()()(332211anrranrranrrkkkkkk 由周期性边界条件由周期性边界条件1e jjank i)()(11ranrkk )(e)(1111ruanrkanrkik )(ee11rukrkianki )(rk 332211bbb 333222111nblnblnblk ,baijjj 2 jjjln （其中（其中lj为任意整数为任意整数) )，jjjnl 只能取一些分立的值。只能取一些分立的值。)()(rrhkkk 可以证明可以证明是倒格矢。是倒格矢。nk整整数数时时，当当 jj ,nkkkk

10、 换成换成相当于波矢相当于波矢khkk 态和态和态是同一电子态，而同一电子态对应同一态是同一电子态，而同一电子态对应同一故故 。)()(hkkeke 个能量，个能量， 为使本征函数和本征值一一对应，即使电子的波矢与本征为使本征函数和本征值一一对应，即使电子的波矢与本征值值 一一对应起来，必须把波矢一一对应起来，必须把波矢 的值限制在一个倒格子的值限制在一个倒格子原胞区间内，通常取：原胞区间内，通常取：)(kek)3 , 2 , 1( ,22 ibkbiii)3 , 2 , 1( ,22 inlniii 在简约布里渊区内，电子的波矢数目等于晶体的原胞数在简约布里渊区内，电子的波矢数目等于晶体的原

11、胞数目目n= =n1 1n2 2n3 3。在波矢空间内，由于在波矢空间内，由于n n的数目很大，波矢点的分的数目很大，波矢点的分布是准连续的。一个波矢对应的体积为：布是准连续的。一个波矢对应的体积为：c*vnnnbnbnb33332211)2()2()( 一个波矢代表点对应的体积为：一个波矢代表点对应的体积为：电子的波矢密度为：电子的波矢密度为： 3)2(cvcv3)2()()(rrnkkk 下面我们证明下面我们证明证明：根据布洛赫定理证明：根据布洛赫定理 hrkihkkrk ikhkkaru,rur)e()()(e)( hrkkkihnkkhnnkkkar)()e()( lrkkillkka

12、)()e( hrkkihhrkihrkikhhkkakkar)()e()e(e)( lhnkkk 令令)(rk 例例1：一维周期场中电子的波函数：一维周期场中电子的波函数 应当满足布洛赫应当满足布洛赫定理，若晶格常量为定理，若晶格常量为a，电子波函数为电子波函数为 , f为某一确定函数，试求电子在这些状态的波矢为某一确定函数，试求电子在这些状态的波矢。 )()()(maxfixmmk )(xk 解：据布洛赫定理，在周期性势场中运动的波函数具有以下特点：解：据布洛赫定理，在周期性势场中运动的波函数具有以下特点：)(e)(xnaxkiknak )()()(manaxfinaxmmk )()()()

13、()(anmxfiianmxfinmmnmm 令令m- -n=l，)()()()()(xilaxfiinaxknllnk 据布洛赫定理，据布洛赫定理，niknai)(e 即即iika e232 ska在简约布里渊区中，即在简约布里渊区中，即，aka 1. 布里渊区定义 在在倒格空间中以中以任意一个倒格点为原点，做原点和其他所一个倒格点为原点，做原点和其他所有倒格点连线的中垂面有倒格点连线的中垂面(或中垂线或中垂线)，这些中垂面，这些中垂面(或中垂线或中垂线)将倒将倒格空间分割成许多区域，这些区域称为格空间分割成许多区域，这些区域称为布里渊区布里渊区。5.1.3 布里渊区 第一布里渊区第一布里渊

14、区( (简约布里渊区简约布里渊区) )：围绕原点的最小闭合区域；：围绕原点的最小闭合区域；ak2 取取对于已知的晶体结构，如何画布里渊区呢对于已知的晶体结构，如何画布里渊区呢? ? 第第n+1+1布里渊区布里渊区：从原点出发经过：从原点出发经过n个中垂面个中垂面( (或中垂线或中垂线) )才才能到达的区域能到达的区域( (n为正整数为正整数) )。2.布里渊区作图法晶体晶体结构结构布拉维布拉维晶格晶格倒格点倒格点排列排列 中垂面中垂面( (中垂线中垂线) )区分布区分布里渊区里渊区倒格基矢倒格基矢321bbb、332211bhbhbhkh 正格基矢正格基矢,321aaa、aa 例例2：下图是一

15、个二维晶体结构图，画出它的第一：下图是一个二维晶体结构图，画出它的第一、第二第二、第三布里渊区第三布里渊区。aaiaa 1jaa 2jaaiaa 21jabiab2221 ijjiba 2)ji ( 2)(0ji ij第一布第一布里渊区里渊区第三布第三布里渊区里渊区第二布第二布里渊区里渊区a2a2布里渊区的面积布里渊区的面积= =倒格原胞的面积倒格原胞的面积 高序号布里渊区的各个分散的碎片平移一个或几个倒格高序号布里渊区的各个分散的碎片平移一个或几个倒格矢进入简约布里渊区，形成布里渊区的简约区图。矢进入简约布里渊区，形成布里渊区的简约区图。第一区第一区第二区第二区第三区第三区布里渊区的简约区图

16、布里渊区的简约区图布里渊区的扩展区图布里渊区的扩展区图ija 2a 2第一区第一区第二区第二区第三区第三区第四区第四区第五区第五区第六区第六区第七区第七区第八区第八区第九区第九区第十区第十区二维正方晶格的布二维正方晶格的布里渊区的简约区图里渊区的简约区图abjbaiaa 21jbbiab2221 ijjiba 2)(2ji )(0ji iaa 1jba 2倒格仍为矩形。倒格仍为矩形。 例例3 3：画出下面二维矩形格子的第一和第二布里渊区的：画出下面二维矩形格子的第一和第二布里渊区的扩展区图和简约区图，设矩形边长分别为扩展区图和简约区图，设矩形边长分别为 。ba，解解: :ij第一区第一区第二区

17、第二区b2a2例例4：画出面心立方第一布里渊区。设面心立方晶格常量为：画出面心立方第一布里渊区。设面心立方晶格常量为a。 jiaakiaakjaa222321解：解：面心立方正格基矢：面心立方正格基矢： 213132321222aabaabaab332141)(aaaa 倒格基矢倒格基矢: kjiakjiakjia 2221a3a2ai ajaka面心立方的倒格是面心立方的倒格是边长为边长为4 / /a体心立方。体心立方。 kjiabkjiabkjiab222321倒格基矢：倒格基矢：已知体心立方正格基矢已知体心立方正格基矢: : kjiaakjiaakjiaa222321 0002 o,a：x 0012 ,ax：l 2121212 ,al：k 043432 ,ak：例例5 5：画出体心立方第一布里渊区。设体心立方晶格常量为：画出体心立方第一布里渊区。设体心立方晶格常量为a。 kjiaakjiaakjiaa222321解：正格基矢：解：正格基矢：332121)(aaaa jiakiakja 222 213132321222aabaabaab倒格基矢：倒格基矢：iajaka1a3a2a体心立方倒格是边长体心立方倒格是边长为为 4 / /a的的面心立方。面心立方。 jiabkiabkjab222321 jiaaki