10-2 正项级数ppt课件

1、假设,0nu1nnu则称为正项级数 .正项级数的收敛性判别法第二节命题命题1 正项级数正项级数1nnu收敛部分和序列nS),2, 1(n有上界 .假设1nnu收敛 , ,收敛则nS,0nu部分和数列nSnS有上界, 故nS1nnu从而又已知故有界.单调递增, 收敛 , 也收敛.证证 “ ”“ ”证明证明12nnSuuu则 1)1(nnv设设,nnvu , 即部分和数列即部分和数列 有界，有界，.1收敛收敛 nnu均均为为正正项项级级数数，和和设设 11nnnnvu定理定理1比较判别法）比较判别法）12nnvvvT nS1k nnknkTvs(2),(),nSn设,nnuv 不是有界数列,定理证

2、毕 . nT 注意到级数的每一项同乘不为零的常数c，以及去掉级 数开头的有限项不影响级数的收敛性，可得如下结论： 推论推论 若存在自然数 及 ，当 时N)0(cNn ,0nncvu 1nnv则当 收敛时， 也收敛；当 发散时， 也发散.1nnu1nnu1nnv1发散. nnv例例1 讨论讨论 p 级数级数pppn131211(常数 p 0)的敛散性. 解解 1) 假假设设, 1p因为对一切,Zn而调和级数11nn由比较判别法可知 p 级数11npnn1发散 .发散 ,pn1, 1p因为当nxn1,11ppxn故nnppxnn1d11nnpxx1d1111) 1(111ppnnp考虑强级数112

3、1) 1(1ppnnn的部分和n111) 1(11ppnkkkn故强级数收敛 , 由比判别法知 p 级数收敛 .时,1) 1(11pn11111) 1(113121211pppppnn12) 假设调和级数与 p 级数是两个常用的比较级数.若存在,ZN对一切,Nn,1) 1(nun, ) 1(1)2(pnupn.1收敛则nnu;1发散则nnu 发散发散时时当当收敛收敛时时当当级数级数,1,1ppP证明级数1) 1(1nnn发散 .证证 因为因为2) 1(1) 1(1nnn),2, 1(11nn而级数111nn21kk发散根据比较判别法可知, 所给级数发散 .例例2 2定理定理2 (比较判别法的极

4、限形式比较判别法的极限形式),1nnu1nnv,limhvunnn则有下述结论:设两正项级数满足;v0) 1 (11收敛收敛，则时，若当nnnnuh.v0)2(11发散发散，则时，若当nnnnuh 特别地，当 时，两个级数同时收敛或同时发散. h0证证 (1) 当 时，存在一个自然数N，使得 h0Nn 当 时, 1 hvunn 从而，由.v11收敛性的的收敛性可推出nnnnu.) 1(nnvhu即时，这时我们有当h0(2),1limhuvnnn这里我们约定 时 这样，对于从分大的h. 01h, n,) 11(nnuhv由.v11发散性的的发散性可推出nnnnu设设 1nnu为为正正项项级级数数

5、, ,如果如果0lim lnunn ( (或或 nnnulim),),则级数则级数 1nnu发散发散; ;如如果果有有1 p, , 使使得得npnun lim存存在在, ,则则级级数数 1nnu收收敛敛. .特别的，有解解)1(221(1)(2)(3)lim1nnnnnn nnn11sinlim , 1 原级数发散原级数发散.)2(nnn1sinlim 2(21)lim(1)(2)(3)nnnnnn2,211,nn收敛故原级数收敛故原级数收敛.例例3 3 判定如下级数的敛散性判定如下级数的敛散性. .11121(1)sin;(2)(1)(2)(3)nnnnnnn。luunnn1lim由证证 (

6、1),1时当 l11luunnnnulu)(112)(nul1)(NNnul, 1l使取收敛 ,.收敛nu,ZN知存在,时当Nn kl)(由比较判别法可知定理定理3 比值判别法比值判别法 ( Dalembert 判别法判别法)设 nu为正项级数, 且,lim1luunnn那么(1) 当1l(2) 当1l时, 级数收敛 ;或时, 级数发散 .1l (3)当时,级数可能收敛也可能发散.,1时或ll, 0,NuZN必存在, 11nnuu,0limNnnuu因而所以级数发散.Nn 当时(2) 当nnuu11nuNu从而例如例如, p , p 级数级数:11npnnnnuu1limppnnn1) 1(1

7、lim1但, 1p级数收敛 ;, 1p级数发散 .1 (3) 当时,举例说明级数可能收敛也可能发散. limn例例4 讨论级数讨论级数)0(11xxnnn的敛散性 .解解 nnnuu1limnxn) 1( 1nxnx根据定理3可知:,10时当 x级数收敛 ;,1时当 x级数发散 ;.1发散级数nn,1时当 x对任意给定的正数 ,limlunnn定理定理4 根值判别法根值判别法 ( Cauchy判别法判别法)设 1nnu为正项级,limlunnn那么;,1) 1(级数收敛时当 l;,1)2(级数发散时当 l证明提示证明提示: ,ZN存在lulnn有时当,Nn 即nnnlul)()(分别利用上述不

8、等式的左,右部分, 可推出结论正确., )1(l1l1l1l1l数, 且1l (3)当时,级数可能收敛也可能发散.例如 , p 级数 :11pnnpnnnnu1)(1n1当当 时，级数可能收敛也可能发散时，级数可能收敛也可能发散.,1pnnu 但, 1p级数收敛 ;, 1p级数发散 . 例例5 判别下列级数的敛散性判别下列级数的敛散性.; 0,)() 1 (1xnxnn).(, 0, 0,)()2(1naaaxaxnnnnn且解解 (1)nnnxnnu)(nx)(0n(2)nnaxnnnu)(故对任意 级数 都收敛., 0 xnnnx)(1.nax由Cauchy判别法知;),(u0因而级数发散

9、时，当nann(1)(11) ;),(0u因而级数收敛时，当nann(111)时时级数收敛，当时，当当axaxa0.时敛散性不定级数发散，当ax 正项级数的收敛性有时用积分判别法比较方便，我们 先简单介绍无穷积分收敛的概念.定义定义 设函设函 数数 上有定义上有定义,且对任意且对任意),)(axf在, aA 上可积，在,)(Aaxf若极限AaAdxxf)(lim存在，则称函数adxxfaxf)(,)(上的无穷积分在收敛收敛 .并将上述极限值定义为无穷积分的值，即adxxf)(.)(limAaAdxxf分没有极限，则称无穷积时若AaAdxxf)(limA发散发散.例如，因为ApAdxx11lim

10、,lnlimAA所以无穷积分发散. 又如当 时，1pApAdxx11lim) 1(11lim1pAAp. 1, 1,11pPp 由上可得出结论：无穷积分 当 时收敛，当Apdxx111p1p时发散.这一结论与p-级数的敛散性的结论类似.实际上，无穷积分与无穷级数的敛散性有密切的关系.定理6积分判别法）1nnu设为正项级数，( )f x若存在一个单调下降的非负函数1 ,( ) ,1,2 ,3 ,nxuf nn使得1nnu则级数收敛的充要条件是1无穷积分f(x)dx 收敛。证证xnxxxfy, 1)(考虑曲线 与直线 及 轴所围的面积nndxxf1.)(o1234xy1nn)(xfy 1u2u3u

11、4u1nunu)(iixfu 由图不难看出，此面积夹在两个阶梯形面积之间，即有nuuu32n.121nuuunnu1设 为级数 的前 项的部分和，上式即可表为nSn.nnuS n1uSn由此即得, 2 , 1,1nuSnn., 2 , 1,1nSn充分性设已知无穷积分 收敛，于是序列1)(dxxfn也收敛，从而它有上界.由不等式 推出1uSnnnS 有上界. 因而级数 收敛 .1nnu必要性 已知级数 收敛，1nnu要证无穷积分1)(dxxf也收敛. 用反证法.假设 发散，注意到1)(dxxf, 0)(xf便知 是A的单调递增函数，于是Adxxf1)(1)(dxxf发散意味着 无解，即 ，也即Adxxf1)(1)(dxxf.)(lim1AAdxxf特别地，我们有 再由不.n等式 推出 这与 收敛矛盾.nnS).(nSn1nnu2ln1nnn例例7 讨论讨论 的敛散性的敛散性.解解dxxxA2ln1|2ln|ln|ln|lnA