第03章电路定理.

1、1第第3章章 电路定理电路定理主讲教师主讲教师 刘洪臣刘洪臣2本章目次本章目次 本章介绍电路理论中的几个常用定理。首先介绍本章介绍电路理论中的几个常用定理。首先介绍置换定理；然后介绍齐性定理和叠加定理；它们是体置换定理；然后介绍齐性定理和叠加定理；它们是体现线性电路特点的重要定理，是线性方程的齐次性和现线性电路特点的重要定理，是线性方程的齐次性和可加性在电路中的体现；其次介绍戴维南定理和诺顿可加性在电路中的体现；其次介绍戴维南定理和诺顿定理，它们是化简线性一端口电路的有效方法；最后定理，它们是化简线性一端口电路的有效方法；最后介绍与基尔霍夫定律同样适用的特勒根定理，并以此介绍与基尔霍夫定律同样

2、适用的特勒根定理，并以此证明互易定理。证明互易定理。 提要 33.1置换定理基本要求：理解置换定理的原理和内容，并能正确应用置换定理。基本要求：理解置换定理的原理和内容，并能正确应用置换定理。引例：求电流引例：求电流I1，I2，I3和电压和电压U320V4V6841I2I3I3U1230III126820VII 2380IU 3344VUI 12332A,1A1A,8VIIIU121A0II126820VII 2380IU 12332A,1A1A,8VIIIU1230III126820VII 288V0I 12332A,1A1A,8VIIIU20V681I2I3I3U1A20V681I2I3I

3、8V4置换定理：置换定理： 在任意线性和非线性电路中，若某一端口的电压和电在任意线性和非线性电路中，若某一端口的电压和电流为流为U和和I，则可用，则可用USU的电压源或的电压源或ISI的电流源来置换此一端口，的电流源来置换此一端口，而不影响电路中其它部分的电流和电压而不影响电路中其它部分的电流和电压。 IU（a)1N2N置换定理图示1NIUUS(b)置换定理图示1NIISU U(c)置换定理图示设设N1和和N2的端口电压、电流关的端口电压、电流关系分别为系分别为U=f1(I)和和U=f2(I) ，则，则此时电路的解为：此时电路的解为：iuUI)(1IfU )(2IfU O置换定理的证明iuUI

4、)(1IfU OUUS 置换定理的证明解不变解不变证明证明545V26R2I1I(a)2U图图(a)所示电路，已知所示电路，已知I2=2A，求电阻，求电阻R和电流和电流I1。 解根据置换定理，用根据置换定理，用2A电流源电流源置换电阻置换电阻 R 得图得图(b)所示电路。所示电路。列节点电压方程列节点电压方程： 45V26A21I(b)2U221126V()2A 45410VUU225URI 2126V4A4UI例题3.16求图求图(a)所示电路的等效电阻所示电路的等效电阻Ri。分析：分析：图图(a)电路满足电桥平衡条件，所以电路满足电桥平衡条件，所以4电阻电流和电压均为电阻电流和电压均为零。

5、根据置换定理，可用量值为零的电压源零。根据置换定理，可用量值为零的电压源(即短路线即短路线)或者用量或者用量值为零的电流源值为零的电流源(即断路即断路)置换该电阻。做上述置换后，便可容易置换该电阻。做上述置换后，便可容易求出等效电阻。求出等效电阻。 例题3.2iR12364(a)-UIiR1236iR1236iR2.25(b)(c)(d)2.2562623131iR2.256)(32)(1)63()21 (iR7 (1)置换定理要求置换后的电路有惟一解；置换定理要求置换后的电路有惟一解；说明： (2)除被置换部分发生变化外，其余部分在置换前后必须保除被置换部分发生变化外，其余部分在置换前后必须

6、保 持完全相同；持完全相同； (3)若电路中某两点间电压为零，则可将量值为零的电压源若电路中某两点间电压为零，则可将量值为零的电压源 接于该接于该 两点间，相当于将该两点短路；若电路中某支路两点间，相当于将该两点短路；若电路中某支路 电流为零，则可将量值为零的电流源串接于该支路，相当电流为零，则可将量值为零的电流源串接于该支路，相当 于将该支路断开。于将该支路断开。补充补充3.1解解已知已知I=0.5A，求电阻，求电阻R2IR414.536VI+-U2I414.536V0.5A+-Un1n2n1n21112()0.5A421411116V()1134.54.5IUUUUn10.5A1VIUn1

7、2URI 83.2齐性定理和叠加定理齐性定理齐性定理（homogeneity theorem）：在只有一个）：在只有一个激励激励X作用的线性电路中，设任一响应为作用的线性电路中，设任一响应为Y，记作，记作Y=f (X)，若将该激励乘以常数，若将该激励乘以常数K，则对应的响应，则对应的响应Y也等于原来响应乘以同一常数，也等于原来响应乘以同一常数， 即即Y=f (KX)=Kf(X)=KY。直观表述为：若电路中只有一个激励，则响应直观表述为：若电路中只有一个激励，则响应与激励成正比，比例系数取决于电路的结构和与激励成正比，比例系数取决于电路的结构和参数，与激励源无关。参数，与激励源无关。9解解求图示

8、梯形电路的电压求图示梯形电路的电压US10VU 11112222U根据齐性定理有根据齐性定理有SSSSUUUUUUUU假设假设2VU0.936VU S171V8U 101SU10.5IISI12U2SU已知当已知当US1=3V时，电压时，电压U=4V。求当。求当US1=3.6V，其它条件不变时，其它条件不变时电压电压 U 的值。的值。3.0V0.6V4VU (12 1) 20.5 0.6V0.2A10.2VIIIUI 例题3.5解2SU112SI1SU0.5IIU1SU0.5 II112U4.2VUUU1ISI12U2SU0.5I1SU1SU0.5I11120.50.25SkkSS0.50.2

9、5SIIU12128A12A8V0A4A8Vkkkk1 S2Sk Ik UIIISS9V,10AUI当当得得补充补充3.5解解图示电路，网络图示电路，网络N中没有独立电源，当中没有独立电源，当S8VU 8AI S8VU 0AI 时，测得时，测得时，电流时，电流S12AI ?I S4AI 时，测得时，测得S10AI S9VU 求当求当ISUNSI0.5 10A0.25S 9V7.25AI 121 戴维南定理戴维南定理 线性含源一端口网络的对外作用可以用一个电压源串联线性含源一端口网络的对外作用可以用一个电压源串联电阻的电路来等效代替。其中电压源的电压等于此一端电阻的电路来等效代替。其中电压源的电

10、压等于此一端口网络的口网络的开路电压开路电压，而电阻等于此一端口网络内部各独，而电阻等于此一端口网络内部各独立电源置零后所得无独立源一端口网络的立电源置零后所得无独立源一端口网络的等效电阻等效电阻。 2 诺顿定理诺顿定理 (b)SCIiGI U(a)OCUiRI U含源支路等效线性含源一端口网络的对外作用可以用一个电流源并联电线性含源一端口网络的对外作用可以用一个电流源并联电导的电路来等效代替，其中电流源的源电流等于此一端口导的电路来等效代替，其中电流源的源电流等于此一端口网络的网络的短路电流短路电流，而电导等于此一端口网络内部各独立源，而电导等于此一端口网络内部各独立源置零后所得无独立源一端

11、口网络的置零后所得无独立源一端口网络的等效电导等效电导。这一定理称。这一定理称为诺顿定理，所得电路称为诺顿等效电路。为诺顿定理，所得电路称为诺顿等效电路。 13等效电阻的计算方法等效电阻的计算方法 对不含受控源的简单一端口网络，令内部独立电对不含受控源的简单一端口网络，令内部独立电源为零，通过电阻的串并联或星形源为零，通过电阻的串并联或星形- -三角形化简得三角形化简得到等效电阻；到等效电阻； 对复杂的或含受控源的一端口网络，令内部独对复杂的或含受控源的一端口网络，令内部独立电源为零，在端口处加一独立电压源或独立电立电源为零，在端口处加一独立电压源或独立电流源，利用端口处流源，利用端口处电压和

12、电流之比得到等效电阻电压和电流之比得到等效电阻， Ri =U/I。iiSCOC1/GRIU 求出含源一端口网络的开路电压求出含源一端口网络的开路电压UOC和短路电流和短路电流ISC，二者之比即为等效电阻，二者之比即为等效电阻OCSCiUIR14 如图所示电路。已知如图所示电路。已知R=8时，时，I1A。 求求R为何值时为何值时I0.5A？ 为求该电路的戴维南等效电为求该电路的戴维南等效电 路，首路，首 先求该电路的等效内阻；先求该电路的等效内阻；1111i1(46)4322UIIURI (2) 根据已知条件求开路电压；根据已知条件求开路电压；OCi()(228)1A30VURR I(3) 求求

13、R为何值时为何值时I0.5AOCi30V0.5A3822UIRRRR例题3.7解46SISU13I1IRIIiROCUR4613I1I1U1I1I13IiR15补充补充3.7 图示电路，已知图示电路，已知 解解求求10R 15VU 20R 时时20VU 30R ?U 时时时时线性含源网络 URUOCUiRR戴维南等效电路戴维南等效电路OCi+R UUR ROCiOCi1015V102020V20URUROCi30V10UR3030V22.5V30 +10U30R 当当时时OCR+10R UU16补充补充3.8 已知已知 S断开时，断开时，I=5A，求，求S接通时的接通时的I。解解S222636

14、1SU3SU2SU5 . 1I(a)2A636(b)666iR(1) 求开路电压求开路电压 UOC开路电压为开路电压为3电阻两端电压电阻两端电压 OC35A=15VU (2) 求等效电阻求等效电阻Ri ，电路如图，电路如图(b)所示所示i3/6/6/621.5R (3) 开关闭合后电路如图开关闭合后电路如图(c)所示所示 列节点电压方程列节点电压方程 5. 1iRocU+-U(c)A2OCi1115V()2A=2A1.51.51.5UUR9VU 解得解得 3A3UI 17已知图已知图(a)所示电路中所示电路中R=10时，其消耗的功率为时，其消耗的功率为22.5W；R=20时，其消耗的功率为时，

15、其消耗的功率为20W。求当。求当R=30时它所消耗的功率。时它所消耗的功率。线性含源电阻R(a)OCUiRR(b)解解 将含源电阻网络等效为戴维南电路。如图将含源电阻网络等效为戴维南电路。如图(b)所示。负载电阻所示。负载电阻R消耗的功率可表示为消耗的功率可表示为2OCi()RUPRRR代入两组已知条件得代入两组已知条件得2OCi2OCi()1022.5W10()2020W20URUR 联立解得联立解得 i10R OC30VU230V()10RPRR30R 当当 时时 22OCi30V()303016.9W30(1030)RUPR 18补充补充3.9解解求戴维南等效电路（问能否求出诺顿等效电路

16、？）求戴维南等效电路（问能否求出诺顿等效电路？）-+1R2R1I2ISUab(a)-+1R2R1I2IabIUiR(b)(1) 求开路电压求开路电压 UOC(2) 求等效电阻求等效电阻Ri ，电路如图，电路如图(b)所示所示2OCS1RUUR 22UR I12II10I 0U OCUabR1两端的电压为两端的电压为0(虚短虚短)，即，即(虚断虚断)i0URI等效电阻等效电阻不可以等效成诺顿电路不可以等效成诺顿电路19kkiu ,kku i NN(a)(b)3.4特勒根定理1 定理定理(1) 节点数与支路数分别相同；节点数与支路数分别相同；(2) 节点与支路的连接关系也分别相同；节点与支路的连接

17、关系也分别相同；(3) 节点与支路的编号也相同；节点与支路的编号也相同；(4) 对应的支路具有相同的对应的支路具有相同的u，i 关联参考方向。关联参考方向。两个电路两个电路的图相同的图相同结结构构相相同同特勒根定理特勒根定理: 电路电路N中各支路电压中各支路电压uk与电路与电路 N中对应支路电流中对应支路电流 ki的乘积之和等于零，即的乘积之和等于零，即 10bk kku i 10bk kku i同样同样 20bkkkiu10bkkp10电流的量值关系。这只是量值关系，而没有物理意义。电流的量值关系。这只是量值关系，而没有物理意义。NN特勒根定理的特点是在两个电路特勒根定理的特点是在两个电路和

18、和之间建立了电压与之间建立了电压与如果将特勒根定理用于一个电路如果将特勒根定理用于一个电路N（即（即N也是也是N），便得到），便得到式中式中uk与与ik参考方向相同，它们的乘积表示支路参考方向相同，它们的乘积表示支路k吸收的功率，吸收的功率，即即kkkiup 意义：在任一瞬间，一个电路中各支路吸收功率的代数和意义：在任一瞬间，一个电路中各支路吸收功率的代数和 等于零。这就是电路的等于零。这就是电路的功率守恒定理功率守恒定理。特勒根定理应用于不同电路中时，虽然具有相同的形式，但却特勒根定理应用于不同电路中时，虽然具有相同的形式，但却不具备任何物理意义，所以称为不具备任何物理意义，所以称为似功率守

19、恒定理似功率守恒定理 注：注：1) 两个电路的对应电压和电流的参考方向取向要一致两个电路的对应电压和电流的参考方向取向要一致 2)同一个电路各支路电压、电流参考方向的取向要一致同一个电路各支路电压、电流参考方向的取向要一致 (全关联或全非关联全关联或全非关联)21补充补充3.10解解因为因为N为纯电阻网络，故为纯电阻网络，故N10V52V1I2IN20V1I2I4A设网络内共有设网络内共有b条支路，各支路电压和电流取关联参考方向，条支路，各支路电压和电流取关联参考方向，由特勒根定理得由特勒根定理得1 12230bkkkU IU IU I1 12230bkkkU IU IU I33bbkkkkk

20、kkU IR I I3bkkkkR I I3bkkkU I1 1221 122U IU IU IU I注：对仅由二端电阻组成的二端网络，无论端口外接情况如注：对仅由二端电阻组成的二端网络，无论端口外接情况如何，此公式都是成立的，因此可以作为公式来使用何，此公式都是成立的，因此可以作为公式来使用N为纯电阻网络，利用特勒根定理求出电流为纯电阻网络，利用特勒根定理求出电流1I22对于图对于图(a)对于图对于图(b)1222V10V,2V,0.4A5UUI1220,20V,4AUUI 1110V2V ( 4A)020V 0.4AII 11.6AI代入已知条件：代入已知条件：计算计算1IN10V52V1

21、I2IN20V1I2I4A233.5互易定理定理定理(第一种形式第一种形式)： 对于含有一个独立电压源和若干线性二端对于含有一个独立电压源和若干线性二端电阻的电路，当此电压源在某一端口电阻的电路，当此电压源在某一端口A作用时，在另一端口作用时，在另一端口B产生的短路电流等于把此电压源移到端口产生的短路电流等于把此电压源移到端口B作用而在端口作用而在端口A所所产生的短路电流。产生的短路电流。 证明：证明：(a)AB(b)ABSU2ISU1I21II1 1221 122U IU IU IU I21IIS 121S 200U IIIU I 1221SSUIUIS1 121S2200U IIIU I

22、24 定理定理(第二种形式第二种形式) ：对于含有一个独立电流源和若干线性二端对于含有一个独立电流源和若干线性二端电阻的电路，当此电流源在某一端口电阻的电路，当此电流源在某一端口A作用时，在另一端口作用时，在另一端口B产产生的开路电压等于把此电流源移到端口生的开路电压等于把此电流源移到端口B作用而在端口作用而在端口A所产生所产生的开路电压。的开路电压。 (f)(e)SU2U1ISI02IAABB(d)(c)2U1USISI21UUABAB定理定理(第三种形式第三种形式) ：对于图示电路对于图示电路,如果在数值上如果在数值上IS与与US相等相等,则则U2与与 1I在数值上也相等。其中在数值上也相

23、等。其中IS 与与 1I、US 与与U2 分别取同分别取同样单位。样单位。S12S21IUIU21SSUIUI25互易定理的应用条件：互易性网络互易定理的应用条件：互易性网络一般判别方法：一般判别方法：(1) 如果回路电流法方程的互阻如果回路电流法方程的互阻Rij=Rji或者节点电压方程的互导或者节点电压方程的互导 满足满足Gij=Gji，则该网络一定是互易网络；，则该网络一定是互易网络；(2) 由线性二端电阻、电容、电感、互感、理想变压器及独立由线性二端电阻、电容、电感、互感、理想变压器及独立 电源组成的网络一定是互易网络；电源组成的网络一定是互易网络；(3) 如果网络中有受控电源或运算放大

24、器，一般来说该网络是如果网络中有受控电源或运算放大器，一般来说该网络是 非互易的。非互易的。注意：注意：(1) 互易定理只适用于线性电路，不适用于非线性电路；互易定理只适用于线性电路，不适用于非线性电路；(2) 应用互易定理时要注意参考方向，如果两个网络的端口电应用互易定理时要注意参考方向，如果两个网络的端口电 压和电流的参考方向不一致，则应在不一致的电流和电压压和电流的参考方向不一致，则应在不一致的电流和电压 前加负号；前加负号；(3) 在激励与响应互换位置时，电路其余结构不能发生变化。在激励与响应互换位置时，电路其余结构不能发生变化。26 用互易定理求图用互易定理求图(a)所示电路电压所示

25、电路电压 U 。 30152030604010AU(a)U206040301530A10(b)c60304520V200(c)U补充补充3.1230152030604010A+-UN解解200V90456080V90 45904590209045U273.6对偶原理如果电路中某一定理如果电路中某一定理(或方程、关系式等或方程、关系式等)的表述是成立的表述是成立的，则将其中的概念的，则将其中的概念(变量、参数、元件、结构等变量、参数、元件、结构等)用其用其对偶因素置换所得的对偶表述也一定是成立的。对偶因素置换所得的对偶表述也一定是成立的。表表3.1 部分对偶因素部分对偶因素28本章小节本章小节1

26、 置换定理：在任意线性或非线性电路中，若某一端口网络的置换定理：在任意线性或非线性电路中，若某一端口网络的 端口电压为端口电压为U，端口电流为，端口电流为I，则用，则用USU的电压源或的电压源或ISI的的 电流源置换该一端口，如果置换后的电路有唯一解，则置换电流源置换该一端口，如果置换后的电路有唯一解，则置换 不影响电路其它部分的电压、电流。不影响电路其它部分的电压、电流。2 齐性定理：对只有一个激励作用的线性电路，当该激励乘以齐性定理：对只有一个激励作用的线性电路，当该激励乘以 系数系数K时，由此而引起的所有响应也相应地改变到原来量值时，由此而引起的所有响应也相应地改变到原来量值 的的K倍。倍。3 叠加定理：在线性电路中，由几个独立电源共同作用产生的叠加定理：在线性电路中，由几个独立电源共同作用产生的 响应等于各个独立电源单独作用时产生相应响应的代数叠响应等于各个独立电源单独作用时产生相应响应的代数叠 加。加。 齐性定理和叠加定理是反映线性电