空间曲线曲率挠率ppt课件

1、定义： 空间曲线 在 点的曲率为其中 为 点及其临近点 间的弧长， 为曲线在点 和 的切向量的夹角。曲率描写了曲线的弯曲程度，描写了曲线偏离切线程度。( )Cp1ps0( )limsk ss pp1p0022222|1|lim1lim| |( ) | |,()()( ) | | |ssMMMMMMssssMMMMsMMMMrsMMk srr rr rr rrk srr r ，（s+ s）-（s），22222222,3,3,1dr dtdtrrdt dsdsd rdtdr d trdtdsdt dsdtd trrdsdsdtr rrrdsrrdtkdsrr，（）（）（）,3,rrkr例：例： 空

2、间曲线：空间曲线：r = r(s)为直线的充要条件为直线的充要条件是曲率是曲率k(s)=0.证明证明 假设为直线假设为直线 r = s a + b，其中，其中a和和b都是常向都是常向量，并且量，并且| a | = 1，那么，那么k(s)= ; 反之反之, 假设假设k(s)=0, 那么那么 于是于是 r = s a + b. 所以该曲线是直线所以该曲线是直线.| ( )| 0r s 0r | ( )| 0r s 对于空间曲线，曲线不仅弯曲曲线偏离切线程度由曲率表示而且还要改动偏离亲密平面，否那么为平面曲线，所以类似相应有描写曲线改动程度的量挠率。有大小又有方向我们用副法向量的转动速度来描写曲线的

3、改动程度。如今设曲线 上一点 的自然参数为 ,另一临近点 的自然参数为 ，在 两点作曲线 的副法向量 和 ,此两个副法向量的夹角是由第一节命题知改动程度大小为几何意义是它的数值为曲线的副法向量对于弧长的旋转速度( )C1P1,P PsPss( ) s0limss ( )C()ss(|k sk s ）（），由于亲密平面把空间分成上下两部分，对改动程度要思索付法向量向上还是向下即有方向，即有下面的定义rsrk（ ）下面思索改动方向,因 所以定义：曲线 在 点的挠率为挠率的绝对值是曲线的副法向量或亲密平面对于弧长的旋转速度。 ,( ) s当 和 异向，当 和 同向。( )CP( )( )( )( )

4、k sk sss 由定义(sk sk ss （） +）那么有根本向量导向量与根本向量的关系，即微分几何的的重要公式这组公式是空间曲线论的根本公式。它的特点是基本向量 关于弧长 的微商可以用 的线性组合来表示。系数组成反称的方阵， ，s0( )0( )0( )0( )0k sk sss， ，挠率的计算公式22( ) ,( )()( ,|,() )( ,)( , , ,)ssrrrr rr rrrrrrrr r rr ）=(2( , , ,)( )r r rsr已给出 类曲线 普通参数曲率的表示式普通参数表示的挠率计算公式与曲率求法类似3C( )rr t,3,rrkr, 2（r ,r ,r ）(r

5、r )注：曲率和挠率是几何不变量，即在参数变换下不变易证命题命题 曲线为平面曲线充要条件是曲线为平面曲线充要条件是 .证明证明 设的方程为设的方程为r = r(s). 在某平面在某平面 ( 为上的一个定点对应的向量为上的一个定点对应的向量, n为平面的单为平面的单位法位法向量向量). 对上式两边求导对上式两边求导,得得 . 从而从而 . 假设假设k = 0, 那那么么 . 于是于是反过来反过来 0s（ ）0r0()0rr n0n0s（ ）000,0knn ， n=0，又000,0,()0( )( ( )0c rr srr sr所以曲线为平面曲线0r 0k n假设命题： 空间曲线 为平面曲线的充

6、要条件是 :( )rr t,( ,)0r rr证 由上例曲线为平面曲线充要条件是0s（ ）2( , , ,)( )r r rsr等价于0s（ ）,( ,)0r rr而所以所以命题成立。空间曲线 在一点的亲密圆曲率圆是过曲线 上一点 的主法线的正侧取线段使 的长为 。 以 为圆心，以 为半径在亲密平面上确定一个圆，这个圆称为曲线 在 点的亲密圆曲率圆，曲率圆的中心称为曲率中心，曲率圆的半径称为曲率半径。( )P s( )C( )C1kPCC( )CPC1k( )P s曲率中心轨迹设对应Y，那么有1( )Yr tk容易证明C在P点与曲率圆相切，且在P点的曲率一样例例1 求圆柱螺线求圆柱螺线r=a cos t, a sin t, bt(a0, b0均为常数均为常数)的曲率、挠率、曲率中心和曲率圆的曲率、挠率、曲率中心和曲率圆. 解解 =-a sin t, a cos t, b， =-a cos t, -a sin t, 0， =a sin t, -a cos t, 0.