周四下午2413_弧_弦_圆心角_

1、船能过拱桥吗解解: :如图如图, ,用用 表示桥拱表示桥拱, , 所在圆的圆心为所在圆的圆心为O,O,半径为半径为Rm,Rm,经过圆心经过圆心O O作弦作弦ABAB的垂线的垂线OD,DOD,D为垂足为垂足, ,与与 相交于点相交于点C.C.根根据垂径定理据垂径定理,D,D是是ABAB的中点的中点,C,C是是 的中点的中点,CD,CD就是拱高就是拱高. .由题设得由题设得ABABABAB. 5 . 121, 4 . 2, 2 . 7MNHNCDABABAD21, 6 . 32 . 721DCOCOD. 4 . 2 R在在RtOAD中，由勾股定理，得中，由勾股定理，得,222ODADOA.)4 .

2、 2(6 . 3222RR即解得解得 R3.9（m）. 在在RtONH中，由勾股定理，得中，由勾股定理，得,22HNONOH. 6 . 35 . 19 . 322OH即. 21 . 25 . 16 . 3DH此货船能顺利通过这座拱桥此货船能顺利通过这座拱桥.圆是中心对称图形吗圆是中心对称图形吗? ?它的对称中心在哪里它的对称中心在哪里? ?一、思考一、思考圆是中心对称图形，圆是中心对称图形，它的对称中心是圆心它的对称中心是圆心. .NO把圆把圆O O的半径的半径ONON绕圆心绕圆心O O旋转任意一个角度旋转任意一个角度 ，NON把圆把圆O O的半径的半径ONON绕圆心绕圆心O O旋转任意一个角

3、度旋转任意一个角度 ，NON把圆把圆O O的半径的半径ONON绕圆心绕圆心O O旋转任意一个角度旋转任意一个角度 ，NON把圆把圆O O的半径的半径ONON绕圆心绕圆心O O旋转任意一个角度旋转任意一个角度 ，NON把圆绕圆心旋转任意一个角度后，仍与原来的圆重合把圆绕圆心旋转任意一个角度后，仍与原来的圆重合。把圆把圆O O的半径的半径ONON绕圆心绕圆心O O旋转任意一个角度旋转任意一个角度 ，由此可以看出，由此可以看出，点点NN仍落在圆上。仍落在圆上。圆的旋转不变性圆的旋转不变性： 圆心角圆心角：我们把顶点在圆心的角叫做：我们把顶点在圆心的角叫做圆心角圆心角. .OBA二、概念二、概念如图中

4、所示，如图中所示， AOB就是一个圆心角。就是一个圆心角。 如图，将圆心角如图，将圆心角AOBAOB绕圆心绕圆心O O旋转到旋转到AOBAOB的位置，你能的位置，你能发现哪些等量关系？为什么？发现哪些等量关系？为什么？根据旋转的性质，将圆心角根据旋转的性质，将圆心角AOB绕圆心绕圆心O旋转到旋转到AOB的位置时，显然的位置时，显然AOBAOB，射线，射线OA与与OA重合，重合，OB与与OB重合而同圆的半径相等，重合而同圆的半径相等，OA=OA，OB=OB，从而点，从而点A与与A重合，重合，B与与B重合重合OABOABABAB三、探究三、探究.ABA B因此，弧因此，弧AB与弧与弧AB 重合，重

5、合，AB与与AB重合重合ABAB =圆心角、弧、弦之间的关系圆心角、弧、弦之间的关系 在在同圆同圆或或等圆等圆中中, ,相等的圆心角所对的弧相等相等的圆心角所对的弧相等所对的弦相等所对的弦相等. .OABABOABOAB由条件由条件:AOB=AOBAB=ABAB=AB可推出同样，还可以得到：同样，还可以得到：在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角圆心角_， 所对的弦所对的弦_；在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么他们所对的在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么他们所对的圆心角圆心角_，所对的弧，所对的弧_这样，我们就得到下面的定理：这样

6、，我们就得到下面的定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等所对的弦也相等相等相等相等相等相等相等相等相等同圆或等圆中，同圆或等圆中，两个圆心角、两两个圆心角、两条弧、两条弦中条弧、两条弦中有一组量相等，有一组量相等，它们所对应的其它们所对应的其余各组量也相余各组量也相等等四、定理四、定理 如图，如图，AB、CD是是 O的两条弦的两条弦（1）如果）如果AB=CD，那么，那么_，_（2）如果）如果 ，那么，那么_，_（3）如果）如果AOB=COD，那么，那么_，_（4）如果）如果AB=CD，OEAB于于E，OFCD于于F，OE与与OF

7、相等吗？相等吗？为什么？为什么？CABDEFOABCDAOBCOD AB=CDAB CDAOBCOD,11,22ABCDAECFOAOCR.OEOFOEAB OFCDAEAB CFCDt AOERt COFOEOF证明： 又又AB=CD练习练习AB CD证明：证明：AB=AC AB=ACAB=AC, , ABC ABC 等腰三角形等腰三角形又又ACB=60， ABC是等边三角形，是等边三角形，AB=BC=CA. AOBBOCAOC.ABCO五、例题五、例题例例1 如图在如图在 O中，中，AB=AC ，ACB=60，求证求证:AOB=BOC=AOC. AB圆心角圆心角圆心角圆心角 顶点在圆心的角

8、顶点在圆心的角(如如AOB).弦心距弦心距 过圆心作弦的垂线过圆心作弦的垂线,圆心与垂足之间的圆心与垂足之间的距离距离(如线段如线段OD).如图如图,在在 O中中,分别作相等的圆心角和分别作相等的圆心角和AOB和和AOB, 将其中的一个旋转一个角度将其中的一个旋转一个角度,使得使得OA和和OA重合重合.n 你能发现那些等量关系你能发现那些等量关系?说一说你的理由说一说你的理由.OOABDOABDABABABABABABDDDDDDABD圆心角圆心角, 弧弧,弦弦,弦心距之间的关系定理弦心距之间的关系定理在在同圆同圆或或等圆等圆中中, ,相等的圆心角所对的弧相等相等的圆心角所对的弧相等所对的弦相

9、等所对的弦相等, ,所对的弦的弦心距相等所对的弦的弦心距相等. .OABDABDOABDOABD由条件由条件:AOB=AOBAB=ABAB=AB OD=OD可推出n在在同圆同圆或或等圆等圆中中,如果轮换下面五组条件如果轮换下面五组条件:同样，还可以得到：同样，还可以得到：在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角对的圆心角_， 所对的弦所对的弦_，所对的所对的弦的弦心距弦的弦心距_ 。 ；在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么他们所在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么他们所对的圆心角对的圆心角_，所对的弧，所对的弧_，所对所对的弦的弦心距的弦的

10、弦心距_ 这样，我们就得到下面的定理：这样，我们就得到下面的定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距也相等。所对的弦的弦心距也相等。 相等相等相等相等相等相等相等相等同圆或等圆中，同圆或等圆中，两个圆心角、两个圆心角、两条弧、两条两条弧、两条弦中有一组量弦中有一组量相等，它们所相等，它们所对应的其余各对应的其余各组量也相等组量也相等四、定理四、定理相等相等相等相等1.如图，如图，AB、CD是是 O的两条弦的两条弦（1）如果）如果AB=CD，那么，那么_，_（2）如果）如果 = ，那么，那么_，_（3）

11、如果）如果AOB=COD，那么，那么_，_（4）如果）如果AB=CD，OEAB于于E，OFCD于于F，OE与与OF相等吗？为什么？相等吗？为什么？CABDEFOAOBCOD AB=CDAOBCODAB=CD相相 等等 因为因为ABAB= =CDCD ，所以，所以AOB=AOB=COD.COD. 又因为又因为AO=COAO=CO，BO=DOBO=DO， 所以所以AOB AOB COD.COD. 又因为又因为OEOE 、OFOF是是ABAB与与CDCD对应边上的高，对应边上的高，所以所以 OEOE = = OF.OF.六、练习六、练习CDABABCD=ABCD=2.如图，如图，AB是是 O的直径，

12、的直径， , COD=35，求求AOE的度数的度数AOBCDE BOC= COD= DOE=35 1803 35AOE 75解：解：BCCD=DEBCCD=DE1弧弧n1n弧弧把圆心角等分成把圆心角等分成360份份, ,则每一份的圆心则每一份的圆心角是角是1.同时整个圆也被分成了同时整个圆也被分成了360360份份.则每一份这样的弧叫做则每一份这样的弧叫做1的弧的弧.这样这样,1,1的圆心角对着的圆心角对着1 1的弧的弧, , 1 1的弧对着的弧对着1 1的圆心角的圆心角. . n n 的圆心角对着的圆心角对着n n的弧的弧, , n n 的弧对着的弧对着n n的圆心角的圆心角. .性质性质:

13、 :弧的度数和它所对圆心角的度数相等弧的度数和它所对圆心角的度数相等. .小结1圆心角圆心角1弧弧OABCDn圆心角圆心角n弧弧圆心角的度数和它所对的弧的度数相等。（2） 所对的圆心角和所对的圆心角和 所对的圆所对的圆 心角相等心角相等ABCD在两个圆中，分别有在两个圆中，分别有 , 若若 的度的度数和数和 相等，则有相等，则有AB和CDABCDABCD （1） 和和 相等相等判断判断1.在半径相等的在半径相等的 O和和 O 中中,AB和和A B 所对的圆心所对的圆心 角都是角都是60. (1)AB和和A B各是多少度各是多少度? (2)AB和和A B 相等吗相等吗? (3)在同圆或等圆中在同

14、圆或等圆中,度数相度的弧相等度数相度的弧相等.为什么为什么?2.若把圆若把圆5等分等分,那么每一份弧是多少度那么每一份弧是多少度?若把圆若把圆8等分等分,那么那么 每一份弧是多少度每一份弧是多少度?3.圆心到弦的距离叫做这条弦的圆心到弦的距离叫做这条弦的弦心距弦心距.求证求证:在同圆或在同圆或等圆中等圆中,相等的圆心角所对的弦的弦心距相等相等的圆心角所对的弦的弦心距相等. 结束试一试试一试例例2 2：如图，在：如图，在OO中，弦中，弦ABAB所对的劣弧为圆的所对的劣弧为圆的 ，圆的半径为，圆的半径为4cm4cm，求，求ABAB的长的长OABC31OABCD如图，如图，AC与与BD为为 O的两条

15、互的两条互 相垂直的直径相垂直的直径.求证：求证：AB=BC=CD=DA; AB=BC=CD=DA. AB=BC=CD=DA 证明证明: AC与与BD为为 O的两条互相垂直的直径的两条互相垂直的直径,AOB=BOC=COD=DOA=90AB=BC=CD=DA(圆心角定理圆心角定理)点此继续知识延伸知识延伸 1如图，如图，AB是是 O 的直径，的直径， COD=35，求，求AOE 的度数的度数AOBCDE BCCDDE BOC= COD= DOE=35 1803 35AOE 75解：解：,BC CDDE练习练习 2已知：如图，点已知：如图，点P在在 O上,点点O在在EPF的的平分线上平分线上，

16、EPF的两边交的两边交 O于点于点A和和B。求证：求证：PA=PB. EFABPO 3已知：如图，点已知：如图，点O在在EPF的平分线上的平分线上， O和和 EPF的两边分别交于点的两边分别交于点A，B和和C，D。求证：求证：ABCDEFOPACBD 4已知：如图，已知：如图， O的弦的弦AB，CD相交于相交于点点P，DPO= BPO 。求证：求证：ABCDOCDABP5、已知：在、已知：在O中，弦中，弦AB所对的劣弧为圆所对的劣弧为圆的的1/3，圆的半径为，圆的半径为2cm。求。求AB的长。的长。6、已知、已知AB和和CD为为O的两条直径，弦的两条直径，弦EC/AB, ,弧弧EC的度数为的度数为40，求，求BOD的度数。的度数。OBADCE思考思考OADBC如图，已知如图，已知AB、CD为为的两条弦，的两条弦，求证，求证ABCD. D C A B O7如图，已知如图，已知AD=BC、求证、求证AB=CD. OABCD变式变式：如图，如果弧：如图，如果弧AD=弧弧BC，求证：，求证：AB=CDABCDMNO 8如图如图M、N为为AB、CD的中点的中点,且且AB=CD.求证：求证：AMNCNM 9、如图，已知、如图，已知AB、CD是是 O中互相垂直的两中互相垂直的两 条直径，又两条弦条直径，又两条弦AE