数学实验ppt1

1、第第 五五 章章多元微积分多元微积分(3)6/22/2022第五章目录第五章目录l多元函数定义多元函数定义l多元函数偏导数多元函数偏导数l多元函数极值多元函数极值l多元函数重积分多元函数重积分l对弧长曲线积分对弧长曲线积分l对坐标曲线积分对坐标曲线积分6/22/2022多多 元元 函函 数数 定定 义义一、符号函数定义：一、符号函数定义：例例：定义：定义 程序：程序：syms x yz=3*x2+5*y2+sin(x*y) )sin(5322xyyxz6/22/2022多多 元元 函函 数数 定定 义义二、二、M文件定义文件定义编辑编辑M文件：文件：f1.mfunction z=f1(x,y)

2、z=3*x2+y2+sin(x*y)调用：调用：syms x y w=diff(f1(x,y),x)6/22/2022多元函数偏导数多元函数偏导数1.格式五种格式五种（1）diff (z,x) %函数对函数对x求偏导：求偏导：Zx（2）diff (z,y) %函数对函数对y求偏导：求偏导：Zy（3）diff (z,x,2) %函数对函数对x求二阶偏导数：求二阶偏导数：Zxx（4）diff (z,y,2) %函数对函数对y求二阶偏导数：求二阶偏导数：Zyy（5）diff (diff (z,x),y) %函数对函数对x再对再对y求二阶混合偏导数：求二阶混合偏导数：Zxy6/22/2022多元函数偏

3、导数多元函数偏导数l例：例：z = x 2 y3+sin(xy) l求求:l程序：程序：Syms x y Z=x2*y3+sin(x*y)结果：结果：f1=diff(z,x) f1=2xy3+ycos(xy)f2=diff(z,y) f2=3x2y2+xcos(xy)yxxzyxzyzxzyzxz122222,6/22/2022多元函数偏导数多元函数偏导数f3=diff(z,x,2) 结果：结果： f3=2y3-y2sin(xy)f4=diff(z,y,2) f4=6x2y-x2sin(xy)f5=diff(diff(z,x),y) f5=6xy2+cos(xy)-xysin(xy)x=1;y

4、=pi; f6=eval(f1)58.87106/22/2022 多元函数的全微分多元函数的全微分 1. 公公 式式2. 格格 式式dz=diff(z,x)* dx+diff(z,y)* dy yyzxxzzyxfzddd, ,全微分6/22/2022多元函数的全微分多元函数的全微分3. 举举 例例例例3 已知已知 求求d z.程序如下：程序如下：syms x y z=(x2+y2)*sin(x*y)；dz=diff(z,x)* dx+diff(z,y)* dy)sin()(22xyyxz6/22/2022多元函数的全微分多元函数的全微分运行结果如下：运行结果如下：dz =(2*x*sin(x

5、*y)+(x2+y2)*cos(x*y)*y)*dx+(2*y*sin(x*y)+(x2+y2)*cos(x*y)*x)*dy6/22/2022多多 元元 函函 数数 极极 值值l格式格式1:X=fminsearch(函数名函数名,X0)或：或：x,fval=fminsearch(函数名函数名,X0)l格式格式2:X=fminunc(函数名函数名,X0)或：或： x,fval=fminunc(函数名函数名,X0)l其中其中X=x(1),x(2),x(3),x(n)6/22/2022多多 元元 函函 数数 极极 值值说明：说明：lX(0)是初始点是初始点,其可由函数图形来估计其可由函数图形来估计

6、.l两个函数采用的算法不同两个函数采用的算法不同,l前者前者Nelder-Mead采用单纯形搜索法采用单纯形搜索法,l后者用后者用BFGS拟牛顿法拟牛顿法(梯度法梯度法).6/22/2022多多 元元 函函 数数 极极 值值l例例:求求 在点在点(-2,2)邻近的极小值邻近的极小值. 程序程序:lf = (x(1)2-4*x(2)2+120*(1-2*x(2)2lx,minf=fminsearch(f,-2,2)l运行结果运行结果:x=-1.4142 0.5000 minf=9.7459e-009222221)21 (120)4(xxxf6/22/2022多多 元元 函函 数数 极极 值值例例

7、:求求 在在0.2,0.3点的极值并画图。点的极值并画图。l程序程序:f =100*(x(2)-x(1).2).2+(1-x(1).2x,minf=fminunc(f,0.2,0.3) x,y=meshgrid(-5:0.5:5); f=100*(y-x.2).2+(1-x).2;surf(x,y,f)212212)1 ()(100 xxxf结果：结果：x = 1.0000 1.0000minf =06/22/2022多多 元元 函函 数数 极极 值值6/22/2022多多 元元 函函 数数 极极 值值例例12 求求.程序如下：编辑程序如下：编辑ff1.m文件文件function f=ff1(

8、x)f=8*x(1)4*x(2)+x(1)2+3*x(2)2;22348minyxyxf6/22/2022多多 元元 函函 数数 极极 值值通过绘图确定一个初始点通过绘图确定一个初始点(如图如图7.1所示所示)：x,y=meshgrid(10：.5：10);z= 8*x4*y +x.2+3*y.2;surf(x,y,z)选初始点：选初始点：x0=(0,0)6/22/20226/22/2022多多 元元 函函 数数 极极 值值x0=0,0;x,fval,exitflag=fminunc(ff1,x0)运行结果如下：运行结果如下：x = 4.0000 0.6667fval =17.3333exit

9、flag = 1 6/22/2022重积分重积分1. 解法：解法：先将二重积分化二次积分：先将二重积分化二次积分：三重积分化三次积分：三重积分化三次积分：再用程序求解。再用程序求解。baxyxyDdyyxfdxdyxf)(2)(1,VbaxyxyyxzyxzdzzyxfdydxdVzyxf)(2)(1),(2),(1,6/22/2022重积分重积分1.格式格式 : 二重积分二重积分int(int(f,y,y1(x),y2(x),x,a,b)三重积分三重积分 int(int(int(f,z,z1,z2),y,y1,y2),x,a,b)例例1： D：2x4, xyx2 .Ddxdyxy26/22/

10、2022重积分重积分l程序：程序：syms x y f1=x*y2s1=int(int(f1,y,x,x2),x,2,4)结果：结果：s1 =39808/15 6/22/2022重积分重积分2.例例:程序程序: syms x y z ; f=x*y*z; int(int(int(f,z,0,x*y),y,0,x),x,0,1) 结果结果: 1/64xyxdzxyzdydx01006/22/2022曲曲 线线 积积 分分曲线积分曲线积分一一. 对弧长的曲线积分对弧长的曲线积分1. 解法：解法：需要先将对弧长的曲线积分化为定积分：需要先将对弧长的曲线积分化为定积分：L是二维曲线：是二维曲线： Ld

11、ttytxtytxfdsyxf22)(),(,6/22/2022曲曲 线线 积积 分分L是三维曲线：是三维曲线：再用程序求解。再用程序求解。 Ldttztytxtztytxfdszyxf222)(),(),(,6/22/2022曲曲 线线 积积 分分编辑通用程序编辑通用程序:sxjf.m文件文件function s=sxjf(f,x,y,z,a,b)syms ts=int(f*sqrt(diff(x,t)2+diff(y,t)2+diff(z,t)2),t,a,b);6/22/2022曲曲 线线 积积 分分举例：举例：例例1：计算：计算 syms t x=3*cos(t); y=3*sin(t

12、); z=0;f=y2;a=2*pi; b=2*pi;s1=sxjf(f,x,y,z,a,b)ldsy26/22/2022曲曲 线线 积积 分分运行结果如下：运行结果如下：s1 = 54*pi6/22/2022无无 穷穷 级级 数数无穷级数无穷级数一一. 判断常数项级数的敛散性：判断常数项级数的敛散性：1.理论与方法：理论与方法：1. 如果级数的部分和数列如果级数的部分和数列sn有极限，有极限，则级数收敛。则级数收敛。如果级数的一般项如果级数的一般项un当当n时的极限不时的极限不为为0，则级数发散。，则级数发散。 6/22/2022无无 穷穷 级级 数数 2.正项级数正项级数则两级数同时收敛或

13、同时发散。则两级数同时收敛或同时发散。3.若正项级数的一般项满足：若正项级数的一般项满足：则则1时级数收敛；时级数收敛；1时级数发散。时级数发散。 )0(lim11llvuvunnnnnnn有和nnnuu1lim6/22/2022无无 穷穷 级级 数数例例1判别下列级数的收敛性：判别下列级数的收敛性：解：级数的部分和：解：级数的部分和：) 12)(12(1751531311nn121121nsn6/22/2022无无 穷穷 级级 数数程序：程序：syms nsn=1/2*(1-1/(2*n+1)s=limit(sn,n,inf)结果：结果：s=1/2 故级数收敛。故级数收敛。 6/22/202

14、2无无 穷穷 级级 数数例例2 判别下列级数的收敛性：判别下列级数的收敛性：解：用比较法的极限形式：解：用比较法的极限形式： n2sin2sin2sin2sin32nnn212sinlim6/22/2022无无 穷穷 级级 数数程序：程序：sym n f=sin(pi/2n)/(1/2n)p=limit(f,n,inf)结果：结果：p=pi 由比较法的极限形式知所给级数收敛。由比较法的极限形式知所给级数收敛。 6/22/2022无无 穷穷 级级 数数l例例3.判别下列级数的收敛性：判别下列级数的收敛性：l解：用比值法：解：用比值法： 13sin2nnnnnnuu1lim6/22/2022无无

15、穷穷 级级 数数l程序：程序：lsym nlf=2(n+1)*sin(pi/3(n+1)/2n*sin(pi/3n)lp=limit(f,n,inf)l结果：结果：lp=2/3 1 l由比值法知所给级数收敛。由比值法知所给级数收敛。 6/22/2022无无 穷穷 级级 数数一一. 级数求和级数求和当符号变量的和存在时，可以当符号变量的和存在时，可以symsum命令进行命令进行符号求和。符号求和。例例 (1) p-级数：级数： 它的和为它的和为2231211626/22/2022无无 穷穷 级级 数数(2) 几何级数：几何级数：1+x+x2+x3+ 它的和为它的和为1/(x-1),假假设设|x|

16、1。下面给出这两个求和运算：下面给出这两个求和运算：程序：程序：syms x ks1=symsum(1/k2,1,inf)s2=symsum(xk,k,0,inf)结果：结果：s1 =1/6*pi2 s2 =-1/(x-1)6/22/2022幂幂 级级 数数一一. 幂级数幂级数1.理论与方法：理论与方法：幂级数形式幂级数形式 ：nnnnnxaxaxaaxa221006/22/2022幂幂 级级 数数1.求幂级数的收敛半径：求幂级数的收敛半径：,00,0,1lim1Raannn6/22/2022幂幂 级级 数数例例4：求：求的收敛半径。的收敛半径。解：求解：求程序：程序：syms np=limi

17、t(-1)(n+1)/(n+1)2)/(-1)n/n2),n,inf)R=1/p结果：结果：R1答：级数的收敛半径为答：级数的收敛半径为1。 ;) 1(21222nxxxnn1lim1Raannn6/22/2022幂幂 级级 数数2.将函数展开为将函数展开为x的幂级数的幂级数例例5：将将ln(a+x) 展开成展开成x的幂级数。的幂级数。程序：程序：syms a xf=taylor(log(a+x),x,9)结果：结果：f=log(a)+1/a*x-1/2/a2*x2+1/3/a3*x3-1 / 4 / a 4 * x 4 + 1 / 5 / a 5 * x 5 -1/6/a6*x6+1/7/a

18、7*x7-1/8/a8*x86/22/2022幂幂 级级 数数3.将函数展开为将函数展开为(x-x0)的幂级数的幂级数例例6：将将1/x 展开成（展开成（x-3）的幂级数。）的幂级数。程序：程序：syms x yf=taylor(1/x,x,8,3)结果：结果：f= 2/3-1/9*x+1/27*(x-3)2-1/81*(x-3)3+1/243*(x-3)4-1/729*(x-3)5+1/2187*(x-3)6-1/6561*(x-3)76/22/2022幂幂 级级 数数4.函数幂级数展开式的应用函数幂级数展开式的应用例例7：求求ln2的近似值。的近似值。程序：程序：syms x yy=tay

19、lor(ln(1+x)/(1-x),x,8)x=1y0=eval(y)结果：结果：y0= 0.69316/22/2022微微 分分 方方 程程微分方程微分方程一、符号微分方程的求解一、符号微分方程的求解dsolve ( ) 用于求解微分方程。用于求解微分方程。Dy表示表示dy/dt (t为缺省的自变量为缺省的自变量)，Dny表示表示y对对t的的n阶导数。阶导数。 6/22/2022微微 分分 方方 程程1.单个方程：单个方程：命令格式：命令格式： y=dsolve(Dy=1+y2)%求一阶微分方程的通解求一阶微分方程的通解y=dsolve(Dy=1+y2,y(0)=1)%求一阶微分方程代初始条

20、件的特解求一阶微分方程代初始条件的特解y=dsolve(D2y=cos(2*x),x)%求二阶微分方程的通解求二阶微分方程的通解y=dsolve(D2y=cos(2*x),y(0)=1,Dy(0)=0,x) %求二阶微分方程代初始条件的特解求二阶微分方程代初始条件的特解6/22/2022微微 分分 方方 程程2.多个方程：多个方程：命令格式：命令格式： u,v=dsolve(Du=v,Dv=u) %两个方程，两个输出：两个方程，两个输出：S=dsolvw(Df=g,Dg=h,Dj=f) %三个方程，结构输出三个方程，结构输出输出成员：输出成员：S.f, S.g , S.h 6/22/2022微

21、微 分分 方方 程程l例例1：求：求y=ay 的一阶通解的一阶通解: l程序：程序：ly=dsolve(Dy=a*y)l结果结果: y=exp(a*t)*C1l例例2：求：求y=ay y(0)=1 的一阶特解的一阶特解:l程序：程序：ly=dsolve(Dy=a*y,y(0)=b)l结果结果: y=exp(a*t)*b6/22/2022微微 分分 方方 程程例例3：求：求y=-a2y 的二阶通解的二阶通解: 程序：程序：y=dsolve(D2y=-a2*y)结果结果: y=C1*cos(a*t)+C2*sin(a*t) 例例4：求：求y=- a2y y(0)=1,y(pi/a)=0的二阶特解的

22、二阶特解:程序：程序： y=dsolve(D2y=-a2*y,y(0)=1,Dy(pi/a)=0)结果结果: y=cos(a*t) 6/22/2022微微 分分 方方 程程例例5：求微分方程组满足：求微分方程组满足： 的解。的解。1)0(, 0)0(:3443gfgfdtdggfdtdf初始条件6/22/2022微微 分分 方方 程程程序：程序：f,g=dsolve(Df=3*f+4*g,Dg=-4*f+3*g,f(0)=0,g(0)=1)结果：结果：f =exp(3*t)*sin(4*t)g =exp(3*t)*cos(4*t) 6/22/2022微微 分分 方方 程程二、常微分方程数值解：

23、二、常微分方程数值解：函数函数ODE23或或ODE45用于求微分方程的数用于求微分方程的数值解。值解。命令格式：命令格式：t,x=ode23(f,t0,tf,x0)其中其中t为自变量，为自变量，x为因变量。为因变量。F为函数文为函数文件名，件名，t0和和tf分别是积分的上、下限。分别是积分的上、下限。x0是初始状态列向量。是初始状态列向量。 6/22/2022微微 分分 方方 程程l例例6：求微分方程：求微分方程：解：演化为状态方程：解：演化为状态方程：l令令x1=dx/dt , x2=x 于是原微分方程可写作：于是原微分方程可写作： 0) 1(222xdtdxxdtxd1221221)1 (

24、xdtdxxxxdtdx6/22/2022微微 分分 方方 程程建立函数文件：建立函数文件：f.mfunction xdot=f(t,x)xdot=zeros(2,1);xdot(1)=(1-x(2)2)*x(1)-x(2);xd0t(2)=x(1);6/22/2022微微 分分 方方 程程程序：程序：t0=0;tf=20;x0=0,0.25;t,x=ode23(f,t0,tf,x0);plot(t,x(:,1),:b,t,x(:,2)，-r) 6/22/2022微微 分分 方方 程程l结果：解函数曲线为如下图形：结果：解函数曲线为如下图形： 6/22/20221. 函数计算器简介函数计算器简介在工作空间键入命令：在工作空间键入命令：funtool，屏幕出现三，屏幕出现三个窗口，左上图个窗口，左上图是函数是函数f(x)的图形窗口，右的图形窗口，右上图是函数上图是函数g(x)的图形窗口的图形窗口. 下下图是设定函数图是设定函数及