同济大学高等数学常系数非齐次线性微分方程学习教案

1、会计学1同济大学高等数学常系数同济大学高等数学常系数(xsh)非齐次线非齐次线性微分方程性微分方程第一页，共30页。)(xfyqypy ),(为常数qp二阶常系数(xsh)线性非齐次微分方程 :根据(gnj)解的结构定理 , 其通解为Yy *y非齐次方程特解齐次方程通解求特解的方法(fngf)根据 f (x) 的特殊形式 ,*y给出特解的待定形式,代入原方程比较两端表达式以确定待定系数 . 待定系数法待定系数法机动 目录 上页 下页 返回 结束 第1页/共29页第二页，共30页。)(xQex )()2(xQp)()(2xQqp)(xPemx型)()(xPexfmx 为实数(shsh) ,)(x

2、Pm设特解为, )(*xQeyx其中 为待定多项式 , )(xQ )()(*xQxQeyx )()(2)(*2xQxQxQeyx 代入原方程(fngchng) , 得 )(xQ (1) 若 不是(b shi)特征方程的根, , 02qp即则取),(xQm从而得到特解形式为. )(*xQeymx)()2(xQp)()(2xQqp)(xPm为 m 次多项式 .Q (x) 为 m 次待定系数多项式机动 目录 上页 下页 返回 结束 第2页/共29页第三页，共30页。(2) 若 是特征方程的单根 , , 02qp,02 p)(xQ则为m 次多项式,故特解形式(xngsh)为xmexQxy)(*(3)

3、若 是特征方程的重根 , , 02qp,02 p)(xQ 则是 m 次多项式,故特解形式(xngsh)为xmexQxy)(*2小结小结(xioji)对方程,此结论可推广到高阶常系数线性微分方程 .)(xQ )()2(xQp)(xPm)()(2xQqp即即当 是特征方程的 k 重根 时,可设特解机动 目录 上页 下页 返回 结束 *( )(0,1, 2)kxmyx Qx ek第3页/共29页第四页，共30页。特别特别(tbi)地地xAeqyypy 是特征方程的重根是特征方程的重根是特征方程的单根是特征方程的单根不是特征方程的根不是特征方程的根 xxxexAxepAeqpAy222,2,第4页/共

4、29页第五页，共30页。1332 xyyy求方程的一个(y )特解.解解: 本题本题(bnt)而特征方程为,0322 rr不是(b shi)特征方程的根 .设所求特解为,*10bxby代入方程 :13233010 xbbxb比较系数, 得330 b13210bb31,110bb于是所求特解为.31*xy0,0机动 目录 上页 下页 返回 结束 第5页/共29页第六页，共30页。xexyyy265 求方程的通解(tngji). 解解: 本题本题(bnt)特征方程为,0652 rr其根为对应齐次方程(fngchng)的通解为xxeCeCY3221设非齐次方程特解为xebxbxy210)(*比较系数

5、, 得120 b0210bb1,2110bb因此特解为.)1(*221xexxy3, 221rr代入方程得xbbxb01022所求通解为xxeCeCy3221.)(2221xexx ,2机动 目录 上页 下页 返回 结束 第6页/共29页第七页，共30页。.232的的通通解解求求方方程程xxeyyy 解解对应齐次方程对应齐次方程(fngchng)通解通解特征方程特征方程, 0232 rr特征特征(tzhng)根根，2121 rr,221xxeCeCY 是单根，是单根，2 ,)(2xeBAxxy 设设代入方程代入方程(fngchng), 得得xABAx 22,121 BAxexxy2)121(

6、于是于是原方程通解为原方程通解为.)121(2221xxxexxeCeCy 例例1 1第7页/共29页第八页，共30页。 0)0()0()0( 123yyyyyy解解: 本题本题(bnt)特征方程为, 02323rrr其根为设非齐次方程(fngchng)特解为,*xby代入方程得, 12b故,*21xy0321CCC21322CC2, 1, 0321rrr故对应齐次方程通解为1CY xeC2xeC23原方程通解为x211Cy xeC2xeC23由初始条件得0432CC,0机动 目录 上页 下页 返回 结束 第8页/共29页第九页，共30页。于是(ysh)所求解为xeeyxx2141432解得)

7、423(412xxeex41 143321CCC机动 目录(ml) 上页 下页 返回 结束 第9页/共29页第十页，共30页。型xxPxxPexfnlxsin)(cos)()(ximexPxf)()()(ximexP)()(第二步第二步 求出如下求出如下(rxi)两个方程两个方程的特解的特解ximexPyqypy)()( yqypy分析(fnx)思路:第一步第一步 将将 f (x) 转化转化(zhunhu)为为第三步第三步 利用叠加原理求出原方程的特解第四步第四步 分析原方程特解的特点ximexP)()(机动 目录 上页 下页 返回 结束 第10页/共29页第十一页，共30页。利用(lyng)

8、欧拉公式将 f (x) 变形xexf)(ixPxPnl2)(2)(xie)(ixPxPnl2)(2)(xie)(ximexPxf)()()(ximexP)()(ximexP)()(ximexP)()(则令,maxlnm )(xPl2xixiee)(xPnieexixi2机动 目录(ml) 上页 下页 返回 结束 第11页/共29页第十二页，共30页。i是特征方程的 k 重根 ( k = 0, 1), ximkexQxy)(1)()(次多项式为mxQm故ximexPyqypy)(111)()()( 等式(dngsh)两边取共轭 :ximexPyqypy)(111)(1y这说明为方程(fngchn

9、g) 的特解 .ximexPyqypy)()( ximexPyqypy)()( 设则 有特解:机动 目录 上页 下页 返回 结束 第12页/共29页第十三页，共30页。利用第二步的结果, 根据叠加原理(yunl), 原方程有特解 :11*yyy xkexximximeQeQ原方程(fngchng) yqypy xxPxxPenlxsin)(cos)(xkex)sin(cosxixQm)sin(cosxixQm xkexxRmcosxRmsinmmRR,其中均为 m 次多项式 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 第13页/共29页第十四页，共30页。的特点yxRxRexyyymmxksinco

10、s11因11yy*yy所以mmRR,因此均为 m 次实多项式 .11yyy本质(bnzh)上为实函数 ,11yy机动 目录(ml) 上页 下页 返回 结束 第14页/共29页第十五页，共30页。xxPxxPenlxsin)(cos)(对非齐次方程(fngchng)yqypy ),(为常数qpxRxRexymmxksincos*则可设特解:其中(qzhng) 为特征方程的 k 重根 ( k = 0, 1), ilnm,max上述结论(jiln)也可推广到高阶方程的情形.机动 目录 上页 下页 返回 结束 第15页/共29页第十六页，共30页。.sin4的的通通解解求求方方程程xyy 解解对应对应

11、(duyng)齐方通解齐方通解,sincos21xCxCY 作辅助作辅助(fzh)方程方程,4ixeyy ,是是单单根根i ,*ixAxey 故故代入上式代入上式, 42 Ai,2iA ,)cos2(sin22*ixxxxixeyix 所求非齐方程所求非齐方程(fngchng)特解为特解为,cos2xxy 原方程通解为原方程通解为.cos2sincos21xxxCxCy （取虚部（取虚部）例例2 2第16页/共29页第十七页，共30页。xxyy2cos 求方程的一个(y )特解 .解解: 本题本题(bnt) 特征方程, 2, 0故设特解为xdxcxbxay2sin)(2cos)(*不是(b s

12、hi)特征方程的根,ii2代入方程得xxxadxcxcbxa2cos2sin)433(2cos)433(012r,)(xxPl, 0)(xPn比较系数 , 得9431,da.2sin2cos*9431xxxy于是求得一个特解13 a043cb03 c043ad0 cb机动 目录 上页 下页 返回 结束 第17页/共29页第十八页，共30页。xxyy3sin303cos189 求方程的通解(tngji). 解解: 特征方程为, 092r其根为对应(duyng)齐次方程的通解为xCxCY3sin3cos21)3sin3cos(*xbxaxy比较(bjio)系数, 得,5a,3b因此特解为)3sin

13、33cos5(*xxxyir32, 1代入方程:xaxb3sin63cos6所求通解为xCxCy3sin3cos21为特征方程的单根 ,i3)3sin33cos5(xxxxx3sin303cos18因此设非齐次方程特解为机动 目录 上页 下页 返回 结束 第18页/共29页第十九页，共30页。xyyysin2) 1 ()4( 解解: (1) 特征方程, 01224rr, 0)1(22r即有二重根, ir所以(suy)设非齐次方程特解为(*2xy )sincosxbxa(2) 特征方程, 024rr0)1(22rr即有根irr4,32, 1, 0 xexyyxsin3)2()4( 利用叠加原理(

14、yunl) , 可设非齐次方程特解为)(*2baxxy)sincos(xkxdx求下列高阶常系数(xsh)线性非齐次方程的特解形式:机动 目录 上页 下页 返回 结束 xce第19页/共29页第二十页，共30页。求物体的运动(yndng)规律. 解解: 问题归结为求解无阻尼强迫振动问题归结为求解无阻尼强迫振动(zhndng)方程方程 tphxktxsindd222 当p k 时, 齐次通解(tngji): tkCtkCXcossin21)(sintkAt pbtpaxcossin非齐次特解形式:0,22bpkha因此原方程之解为第七节例1 (P323)中若设物体只受弹性恢复力 f,sin的作用

15、ptHF 和铅直干扰力xox代入可得: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第20页/共29页第二十一页，共30页。当干扰力的角频率 p 固有频率( yu pn l) k 时,)(sintkAxtppkhsin22自由(zyu)振动强迫(qing p)振动!22将很大振幅pkh 当 p = k 时, )cossin(tkbtkatx非齐次特解形式:代入可得: khba2, 0方程的解为 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第21页/共29页第二十二页，共30页。若要利用共振现象, 应使 p 与 k 尽量(jnling)靠近, 或使 )(sintkAxtktkhcos2随着 t 的增大 , 强迫

16、振动(zhndng)的振幅tkh2这时产生(chnshng)共振现象 .可无限增大,若要避免共振现象, 应使 p 远离固有频率 k ;p = k .自由振动强迫振动xox对机械来说, 共振可能引起破坏作用, 如桥梁被破坏,电机机座被破坏等,但对电磁振荡来说, 共振可能起有利作用,如收音机的调频放大即是利用共振原理. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第22页/共29页第二十三页，共30页。xmexPyqypy)(. 1 为特征方程的 k (0, 1, 2) 重根,xmkexQxy)(*则设特解为sin)(cos)(. 2xxPxxPeyqypynlx 为特征方程的 k (0, 1 )重根,

17、ixkexy*则设特解为sin)(cos)(xxRxxRmmnlm,max3. 上述结论也可推广(tugung)到高阶方程的情形.机动 目录(ml) 上页 下页 返回 结束 第23页/共29页第二十四页，共30页。时可设特解为 xxxfcos)() 1当xexxxf22cos)()2当xy *xbxacos)(*yxdxcxbxa2sin)(2cos)(xek2)(xfyy 时可设特解为 xxPxxPexfnlxsin)(cos)()(xkexy*lnm,max提示提示(tsh):xdcxsin)(1 . (填空填空(tinkng) 设设sin)(cos)(xxRxxRmm机动 目录 上页 下

18、页 返回 结束 第24页/共29页第二十五页，共30页。xeyyy 44的通解(tngji) (其中为实数(shsh) ) .解解: 特征方程,0442rr特征根:221 rr对应齐次方程通解:xexCCY221)(2时,xeAy令代入原方程得,2)2(1A故原方程通解为xexCCy221)(xe2)2(12时,2xexBy令代入原方程得,21B故原方程通解为xexCCy221)(xex221机动 目录 上页 下页 返回 结束 第25页/共29页第二十六页，共30页。xecybyay 有特解, )1 (2xxexey求微分方程(wi fn fn chn)的通解 .解解: 将特解代入方程将特解代入方程(fngchng)得恒等式得恒等式xxxxecexbaeaeba)1 ()2()1 (比较系数得01baca 201ba0a1b2c故原方程为xeyy2 对