第四章连续时间系统的频域分析

1、第四章 连续时间系统的频域分析 4.1 引言 在第三章中我们学习了信号的另外一种分解方法频域分解。周期信号：分解为时间上连续，频域上离散的正弦分量或指数分量。非周期信号：分解为时间上连续，频域上也连续的指数分量。 所以，参照时域分析法，我们只要求出系统对这些正弦分量或指数分量的响应，然后叠加就可求出系统的零状态响应。而零输入响应的求法与时域法相同。第四章要点：频域分析：周期信号稳态分析；非周期信号瞬态分析。不失真条件物理可实现性 4.2 非正弦周期信号通过线性系统的稳态分析非正弦周期信号通过线性系统的稳态分析 对于这种信号它存在于 - t，因此可以认为信号早已加入系统，系统的瞬变过程已结束而处

2、于稳定状态。对于这种情况只须作稳态分析就可以了。总的说还是分为三步：1、分解；2、求单元响应；3、叠加。 通常将信号分解为正弦分量，并用复数表示：有效值相位 或 振幅相位输入输出关系用系统转移函数表示，不同的输入输出关系转移函数有不同的含义，如转移阻抗，转移导纳等。4.3 调幅信号通过谐振电路的稳态分析调幅信号通过谐振电路的稳态分析 调幅信号就是一个非正弦周期信号，谐振回路常作为晶体管收音机的输入回路，输入电路利用谐振回路的选择性选出我们所需要的信号。)(11)1(1)(000RLjRCLjRjY导纳: 谐振频率其中：LC10称失谐量品质因数，令：)(000QRLQ()2001111()(1)

3、11()( )jY jeRjRRjQtg 其中： 当=0时电路谐振，导纳绝对值最大。对于同样的激励，响应电流最大。所以，电路具有选择性。 下面讨论调幅波通过串联谐振电路的响应。看看会产生哪些现象。1、响应还是否调幅波；2、有没有产生失真；3、如何减小失真。正弦调制的调幅波：)cos(2)cos(2)cos()cos()cos(1 )(1011101100111ecmeecmecmceemtEmtEmtEttmEte假定谐振电路调谐在信号的载频上，即：0=c各正弦分量通过谐振电路时可用正弦稳态分析。10101111121()11ccQtgYR 其中：将三个用复数表示的响应电流还原成正弦函数的形式

4、并叠加起来就得到响应电流。 10101121110112111110211110( )cos()cos()21cos()211cos()cos()11cos()cos()memcceemcemeecmiicEm Ei tttRRm EtREmttRImtt 11111111211011010,12()memieiccEmItgmRQQ 其中：结论：结论：正弦调制的调幅波通过串联谐振电路后其响应电流i(t)1、仍为正弦调制的调幅波；2、调幅系数变为： 显然 mi1me1； 21111eimm1 ，mi1 （或 1 mi1 ）3、包络产生了相移=e1-i1=e1-(e1+1)= -1或者说包络产生

5、了一个延迟。延迟时间为相位对频率的导数： 11111( )1cdttgd 若调制信号是一有n个频率分量组成的复杂信号，调幅电压表示为：nkekkcmeknkekkcmekcmcnkekkekmtEmtEmtEttmEte1010001)cos(2)cos(2)cos()cos( )cos(1 )(用同样的方法可求得响应电流：)cos()cos(1)cos()cos(11)(01012ttmIttmREticnkikkikmcnkkekkkekm其中 k为第k对边频分量对回路的失谐量 kktg1。1、通过谐振回路后仍为调幅波；2、ekkekikmmm21问题在于调幅信号的各对边频分量的部分调幅系

6、数受到削弱的程度是不一致的。k k ，mik 这就导致了失真，称为频率失真频率失真。3、包络同样要产生相移，各对边频分量频率越高，失谐就越大，相移也就越大，k k ，k但不是成比例的变化kkkt不是常数，各对边频分量的延迟不一样，这又是一种失真，称为相相位失真。位失真。 产生频率失真和相位失真的原因是很清楚的：1、|Y(j)|不是常数，对各边频分量的部分调幅系数削弱的程度是不一致；2、()是非线性的，各边频分量的延迟量不一样。因此，要不产生失真，就要求系统的幅频特性为常数，相频特性为一条直线。这是一种理想的系统，不幸的是这种系统是物理不可实现的。稍后我们还会讲到这个问题。4.4 有始信号通过线

7、性电路的瞬态响应有始信号通过线性电路的瞬态响应 前面我们讨论的是无始无终的信号，信号在很久以前就加入系统了。现在我们要分析有始信号，信号可以是有始无终，也可以是有始有终。这样信号是在某一时刻加入到系统（通常我们把信号加入到系统的时刻作为时间参考点，即 t=0）。信号从加入系统到系统稳定中间经历了一个瞬变过程。因此，也称瞬态分析。 一、分析方法一、分析方法全响应=零输入响应+零状态响应零输入响应的求法如前，这里主要讨论零状态响应的求法，基本思想还是三步：分解、求单元响应、叠加。根据这个思想可归纳为以下几个步骤：1、求激励信号的频谱函数: e(t) E(j)2、求系统转移函数: 转移函数定义为 )

8、()()(jEjRjH激励函数响应函数转移函数H(j)是由系统 本身所确定的，可通过其它途径求得。 3、求响应函数R(j): R(j)=H(j)E(j)4、求傅里叶反变换：r(t)=F F -1R(j)二、时域分析与频域分析二、时域分析与频域分析在时域分析法中我们知道，系统的零状态响应为激励与单位冲激响应的卷积。 )()()(thtetr)()()(jHjEjR两边求傅里叶变换)()()()(jHththjH即F F单位冲激响应和系统转移函数是一对傅里叶变换对。 三、三、H(j)的求法的求法)().()().(01110111tbpbpbpbthapapapmmmmnnn利用傅里叶变换的微分性

9、质，两边求傅里叶变换01110111)(.)()()()(.)()(bjbjbjbjHajajajmmmmnnn01110111)(.)()()(.)()()(ajajajbjbjbjbjHnnnmmmm)()(jHpHjp H(j)还可由电路来求，只要将电路中的电感和电容用感抗和容抗代替。下面我们看一个例子。例：单位阶跃电压作用于图示RC电路，求uc(t)。解：1、求E(j)jtjE1)()()( F F2、求H(j) CRRRRjRRRCjRRCjRjH2121212212111111)(jRRRjHCRRRR11)(2122121则令3、求响应Uc(j)11)()1 (1)()1 (1)

10、(111)()()()(212212212212jjRRRjjjjRRRjjRRRjRRRjjHjEjUc4、求反变换 jjtejtt111)(,1)()(1)()1 ()(1212teRRRtutc讨论：1、求H(j)时使用阻抗的概念，直接用分压公式求出。当然也可列出电路的微分方程或算子方程而得到H(p)，然后将p换成j。2、在求傅里叶反变换时我们注意到如果设 jjFtf11)()(则F(0)=1。根据时域积分性质有： )1 (1)()()()0()(jjjjFFdft)(111)(11tejtft- F F)()1 ()(1tedftt)()1 ()(1212teRRRtutc又例：一线性

11、系统频响曲线 如图所示，设 ，求系统的零状态响应。()()()jH jH je ( )22cos2cos2e ttt解：1、求 ()E j()4( )2(1)(1)2(2)(2)E j 2、由曲线写出()H j222()02jeH j3、求()R j22()()()8( )2(1)2(1)jjR jE jH jee 4、求( )r t()()122( )()442cos()42sin2F Fj tj tr tR jeett本例也可用正弦稳态分析来求解，激励为有三个频率分量，用复数表示为： ( )22cos2cos2e ttt022je02cos2jte02cos22jte每个频率分量对应的传输

12、值为：0( 0)2jH je2( 1)jH je( 2)0H j各频率分量对应的响应，用复数表示为：024je22cos2jte2cos20t 4.5 阶跃信号通过理想低通滤波器阶跃信号通过理想低通滤波器一、滤波器的概念滤波器的概念 滤波器是这样一种网络，在某一频率范围内信号传输时衰减很小，信号能顺利通过这个范围称滤波器的通带通带。在通带之外信号传输时衰减很大，阻止信号通过这个范围称滤波器的阻带阻带。按照滤波器的特性不同，可分为低通、高通、带通、带阻等。下面是它们的示意图，其中fc为截止频率。 二、理想低通滤波器及其冲激响应 用数学式子可表达为： 000)()(|0)(200tjcctjeKG

13、jKeKjKc或理想低通滤波器的特点是在通带0c0内所有频率分量均匀一致地通过，所有频率分量有相同的延迟t0。其冲激响应由傅里叶变换的对称性质容易求得。)()()()()()(00020020ttSaKthKGtSaKGaatSaccccac三、阶跃信号通过理想低通滤波器三、阶跃信号通过理想低通滤波器0001( )( )()( )1( )|()()()0|j tcce ttE jjKejU jE jK j 设000000()()111( )()( )222ccccjt tjt tj teu tU jedKeddj 000000011cos ()sin ()22ccccttttKddj 偶函数奇

14、函数，积分为0000011sin()()2()cttKdtttt000()()00011sin11()22ct tt tycyKdyKSitty令xdyyyxSi0sin)(称正弦积分其中：0011( )()2cu tKSitt讨论：1、响应对于激励有了延迟： 若以1( )2u tK作为响应起点，那么延迟时间为t0（相频曲线的斜率）。 2、响应的前沿倾斜：激励的前沿是陡峭的，而响应的前沿是倾斜的，说明响应有一个建立过程。 定义tB-tA为建立时间（可有不同的定义）则： 2)(,2)(0000ttSittSiBcAc对照正弦积分曲线可得： 0000084. 392. 1)(,92. 1)(cAB

15、BcActttttt可见建立时间与c0 成反比成反比，c0为滤波器的截止频率或带宽。所以，滤波器的带宽越宽，响应建立时间越短，响应前沿越陡峭。物理解释： 阶跃信号前沿跳变是快变信号，信号的频带较宽，高频分量丰富。这样的信号通过理想低通滤波器时，频率高于c0（截止频率）的分量通不过，高频频谱分量受到损失，前沿发生倾斜。滤波器的通频带越窄，高频分量损失越多，响应前沿越倾斜。滤波器的通频带越宽，高频分量损失越少，响应前沿越陡峭。有了这些概念，将来学习脉冲放大器时若脉冲信号经放大后前沿发生倾斜，其原因就是放大器的通频带不够宽，高频响应不好，解决办法就是要加宽通频带，加高频补偿，改善高频响应。 3、理想

16、低通滤波器是非因果系统： 显然激励信号是在t=0时刻加入的，但系统的响应却在t0时就有了，这是违反因果律的。所以是非因果系统非因果系统。非因果系统是物理不可实现的。4、系统的物理可实现性： 非因果系统是物理不可实现的，只有因果系统才是可实现的。那么怎样来判别系统是否因果系统呢？、时域： 响应应出现在激励之后，对反映系统特性的冲激响应来说，应满足：h(t)=0 当 t0时。 理想低通滤波器的冲激响应显然不满足这个条件。、频域： 对反映系统特性的系统转移函数应满足： 2|ln |()|1H jd 佩利、维纳准则 需要注意的是佩利、维纳准则只涉及转移函数的模，并不涉及相位，所以它是必要条件并不充分。

17、 对于理想低通滤波器，由于在阻带内|H(j)|=0，所以，|ln| H(j)|=，如果是在个别点上，可表现为有限个冲激函数，积分仍可有界，但理想低通滤波器的阻带有无穷多个点，积分无界，不符合佩利、维纳准则物理不可实现。同样道理理想高通、带通和带阻滤波器都是物理不可实现的。 5、理想系统的逼近： 现在我们知道理想系统是物理不可实现的，在实际工作中可以采用逼近的方法，使用物理可实现系统去逼近理想特性，使得在我们所使用的频率范围内近视为理想。常用逼近方法有以下几种：、最平坦型巴特沃滋(Butterworth)采用巴特沃滋多项式来逼近理想特性其中n为多项式的阶数。n越大越接近理想曲线。但不足的是它的相

18、位是非线性的。、切比雪夫Chebyshev 、考尔型Cauer（也叫椭圆滤波器elliptic） 4.6 信号通过线性系统不产生失真的条件信号通过线性系统不产生失真的条件 通过前面的学习，我们知道信号通过系统都会产生失真。一般来说作为传输信号的系统总要求失真尽可能地小。除非在某些特殊情况下，人为要求信号波形的变换，例如微分电路、积分电路等。这一节将从理论上来讨论系统不失真的条件。 如果一个信号通过系统后幅度上仅有k倍的变化，时间上仅延迟一个固定的时间，则称无失真 0()()j tR jkE je00()()()(),( )j tHR jH jk eE jH jkt 0( )()r tke tt000()(),(),( )()( )()j tHR jH jk eH jktE jh tktt 或所以，