控制网平差ppt课件

1、第三章第三章 控制网平差控制网平差 完成控制网丈量的外业任务后要进展内业计算，内业计算分为概算、平差计算和编制控制点成果表。本章重点引见独立三角网的条件平差方法。 第一节 丈量平差的数学模型 第二节 条件平差原理 第三节 独立三角网条件平差第一节第一节 丈量平差的数学模型丈量平差的数学模型 一、必要观测与多余观测一、必要观测与多余观测 在丈量任务中，最常见的问题是要确定某些几何量的大小。由各种几何量构成的模型丈量中就是各种控制网就是几何模型。 为了确定一个几何模型，并不需求知道该模型中一切元素的大小，而只需求知道其中部分元素，其它元素可以经过知的元素确定。 可以独一地确定一个几何模型所必要的元

2、素，称必要元素；确定必要元素的观测称为必要观测。必要元素的个数用t 表示。 为了确定一个几何模型就必需进展观测。假设观测个数 n 少于必要元素的个数，即 nt，显然无法确定该模型，出现了数据缺乏的情况；假设观测了 t 个独立量，n =t，那么可独一地确定该模型。在这种情况下，假设观测结果中含有错误，将无法发现。为了能及时发现错误，并提高丈量成果的精度，就必需使 nt，即必需进展多余观测。多余观测的个数在丈量中又称“自在度。令 r = n t 显然， r 就是多余观测数。例如: 为确定三角形ABC，只需求3个必要观测，它们可以是： S1, a, b或： S1, a, c或： S1, S2, b或

3、： S1, S2, S3 C c S2 S3 b a B S1 A假设观测了一切六个元素，那么有3 个多余观测二、平差的数学模型二、平差的数学模型 丈量中是经过观测来确定控制网中的某些几何量，因此思索的模型总是数学模型。由于观丈量是一种随机变量，所以平差的数学模型应同时包含函数模型和随机模型。函数模型和随机模型总称为数学模型。 函数模型是由描画观丈量和待求量间的函数关系的模型，随机模型是描画观丈量及其相互间统计相关性质的模型。建立这两种模型是丈量平差中最根本而首先思索的问题。 丈量平差通常是基于线性函数模型的，当函数模型为非线性方式时，是将其用泰勒公式展开，并取其一次项化为线性方式。 对于一个

4、实践平差问题，可建立不同方式的函数模型，相应地就有不同的平差方法。丈量中常见的控制网平差方法有条件平差和间接平差两种。 1、条件平差法 以观丈量之间必需满足一定的条件方程为函数模型的平差方法，称为条件平差法 。例如：为了确定B、C、D三点的高程，其必要观测数 t =3，实践观测了6 段高差, 故多余观测数 r = nt =3，应列出3个线性无关条件方程. h1 A B h2 C h3 h4 h5 h6 D 这个水准网可以列出7个条件方程,其中只需3个是相互独立的,我们取：NoImage000452461231hhhhhhhhh式中： 表示观丈量 hi 的平差值。这就是用平差值表达的条件方程。i

5、ha由于平差值应该等于观测值与其矫正数之和，即：iiivhh代入(a)式得： 其中：0, 00354226411321wvvvwvvvwvvv(b)542364123211hhhwhhhwhhhw321,011010101001000111wwwWA令：V = ( v1 v2 v3 v4 v5 v6)T那么条件方程可表达为以下矩阵方式： AV +W=0 c这就是条件平差函数模型的普通方式。条件方程 AV +W=0 中， A 为r n 阶矩阵，称为系数矩阵； V 为n 1列阵，称为矫正数向量； W为r 1列阵，称为闭合差向量。 2、间接平差法 一个几何模型中，只会有 t 个独立量，假设平差时就以

6、这 t 个独立量为参数，模型中的一切量都一定是这 t 个独立参数的函数，亦即每个观丈量都可表达成所选 t 个独立参数的函数。 选择几何模型中 t 个独立量为平差参数，将每一个观丈量表达成所选参数的函数，即列出 n 个这种函数关系式，以此为平差的函数模型，称为间接平差法，又称参数平差法。例如： ABC中，观丈量为其中的三个内角，选定A和B为平差参数，设为X1和 X2，将每一个观丈量均表达为这两个平差参数的函数，构成数学模型: C L3 X1 X2 L1 L2A B1802132211XXLXLXL18000,11100121321321321dXXXBVLvvvLLLLLLL令：那么间接平差的函

7、数模型可用以下矩阵方式表达： L+V=BX+d或： V=BX l此式称为间接平差误差方程。式中，L 为观测值向量 n 1 阶； V 为矫正数向量 n 1 阶 ； B 为系数矩阵 n t 阶 ； X 为未知数向量 t 1 阶 ； l =L d 为常数矩阵 n 1 阶 。第二节第二节 条件平差原理条件平差原理 条件方程 AV +W=0 中， A 为 r n 阶矩阵， V 为 n 1 列阵， 即有 r 个方程，n 个未知数,且 r n，这样的方程组有无穷多组解。然而，根据最小二乘准那么，观丈量的最或然值应该满足VTPV=min。在 AV +W=0的条件下确定 VTPV 的最小值，这在数学中是求函数=

8、VTPV的条件极值问题。条件平差，实践上是确定条件方程满足VTPV=min 的独一解。 根据计算函数的条件极值的拉格朗日乘数法那么组成新函数： = VTPV 2KTAV+W) 其中： K =k1, k2，kr )T 是拉格朗日乘数，丈量平差中称之为联络数向量。 显然，只需令对V的一阶导数等于零就可以求出 VTPV 的极值。矩阵求导的两个公式：(1) 设C为常数阵，X为列阵，那么 dXdYZdXdZYdXZYdTTT)(CdXCXd)(2)设Y、Z 均为列阵，那么：一、矫正数方程令其等于零，留意到 (PV )T = V T P，从而有： V T P =K T A 转置后左乘 P 1 得： V =

9、P 1 ATK (1)该公式表达了矫正数 V 与联络数 K 的关系。AKPVPVdVdTTT2)(函数 = VTPV 2 KT ( AV+W ) 对 V 求导：二、法方程式将1式代入条件方程 AV +W=0 中得： AP 1 AT K+W=0 2这就是条件平差的法方程式。式中，P为观测值的权矩阵，设第 i 个观测值的权为 pi , 那么npppP.21显然 P 是一个对角阵，其逆存在，且：npppP1.1.1211三、法方程的解 令 N = AP 1 AT 3 那么法方程式的方式为 N K+W =0 其中N 称为法方程式系数矩阵，是一个满秩二次型方阵，其逆存在。从而可解出联络数向量： K =

10、N 1 W 4四、条件平差的普经过程1列出条件方程 AV +W=0 2组成法方程系数矩阵 N = AP 1 AT 3解法方程得到联络数 K = N 1 W 4计算矫正数 V=P 1 ATK 5计算平差值 6精度评定VLL上一讲内容回想 条件平差函数模型的普通方式：条件平差函数模型的普通方式： AV +W=0 条件平差的法方程式条件平差的法方程式 AP 1 AT K+W=0 或或 NK+W=0 法方程的解法方程的解K = N 1 W 矫正数矫正数 V=P 1 ATK 条件平差的普经过程条件平差的普经过程1列出条件方程列出条件方程VLLAV +W=0 2组成法方程系数矩组成法方程系数矩阵阵 N =

11、 AP 1 AT 3解法方程得到联络数解法方程得到联络数 K = N 1 W 4计算矫正数计算矫正数 V=P 1 ATK 5计算平差值计算平差值 6精度评定计算单位权方差、观测值中误精度评定计算单位权方差、观测值中误差、平差值函数的中误差等差、平差值函数的中误差等第三节 独立三角网条件平差 根据三角网中起算数据的多少，三角网有根据三角网中起算数据的多少，三角网有独立三角网网中仅有必要的起算数据和非独立三角网网中仅有必要的起算数据和非独立三角网网中具有多余的起算数据之分。独立三角网网中具有多余的起算数据之分。三角网平差有按角度平差和按方向平差两种方三角网平差有按角度平差和按方向平差两种方法。本节

12、讨论独立三角网按角度进展条件平差法。本节讨论独立三角网按角度进展条件平差时，条件方程式列立、法方程式组成和解算的时，条件方程式列立、法方程式组成和解算的详细步骤和方法。详细步骤和方法。 一、图形条件一、图形条件 图形条件通常是指平差后三角形内角应满足图形条件通常是指平差后三角形内角应满足的几何条件，所以也称为三角形闭合条件。的几何条件，所以也称为三角形闭合条件。 条件平差时，关键是列出条件方程。独立条件平差时，关键是列出条件方程。独立三角网的观丈量主要是三角形的内角，这些角三角网的观丈量主要是三角形的内角，这些角在几何上应该满足一定的条件，这些条件就是在几何上应该满足一定的条件，这些条件就是列

13、立条件方程的根底。列立条件方程的根底。 根据几何条件的不同，独立三角网的条件根据几何条件的不同，独立三角网的条件方程分为图形条件、圆周角条件、极条件、基方程分为图形条件、圆周角条件、极条件、基线条件四种类型。线条件四种类型。1.1.平差值表达的图形条件平差值表达的图形条件 对于有对于有 n 个三角形组成的中点多边形个三角形组成的中点多边形 (a)或三角锁或三角锁 (b)，可以列出，可以列出 n 个图形条件：个图形条件：0180 iiicbai =1，2， ，n a1 ci an bn b1 c1 ci ai bi ai bi cn (a) (b) 对于大地四边形，对于大地四边形， 可以列出可以

14、列出7个图形条件，个图形条件，但是只需但是只需 3 个是相互独个是相互独立的，其他几个可以由立的，其他几个可以由这这 3 个方程推导出来：个方程推导出来： a3 b3 b2 a4 a2 b4 b1 a1018001800180443333222211babababababa2. 2. 矫正数表达的图形条件矫正数表达的图形条件 代入用平差值表达的条件方程，整理后可得代入用平差值表达的条件方程，整理后可得 ;aiiivaa;biiivbbciiivcc平差值、观测值、矫正数三者的关系为：平差值、观测值、矫正数三者的关系为：1 1中点多边形和三角锁：中点多边形和三角锁：vai+vbi+vci+wi=

15、0; wi= ai+ bi +ci - 180 2 2大地四边形：大地四边形：va1+vb1+va2+ vb2 +w1=0; va2+vb2+va3+ vb3 +w2=0; va3+vb3+va4+ vb4 +w3=0; w1= a1+ b1 +a2 +b2- 180w2= a2+ b2 +a3 +b3- 180w3= a3+ b3 +a4 +b4- 180 a3 b3 b2 a4 a2 b4 b1 a13.3.图形条件闭合差的限差图形条件闭合差的限差 设角度观测中误差为设角度观测中误差为m，运用误差传播定律，运用误差传播定律可得三角形闭合差可得三角形闭合差 w 的中误差为的中误差为 3mmw

16、32mw限取闭合差中误差的两倍作为闭合差的限值，即取闭合差中误差的两倍作为闭合差的限值，即同理，同理，n 个角的图形条件闭合差的限值为个角的图形条件闭合差的限值为nmw2限二、圆周角条件二、圆周角条件 在中点多边形中，虽然一切三角形的图形在中点多边形中，虽然一切三角形的图形条件都满足，但在中心点处，依然能够出现条件都满足，但在中心点处，依然能够出现各角度值之和不等于各角度值之和不等于360360的景象，平差时除的景象，平差时除了要满足三角形闭合条件外，还必需使中心了要满足三角形闭合条件外，还必需使中心点处的角度满足以下条件：点处的角度满足以下条件：0360ic a1 b1 c1 ci ai b

17、i 用矫正数表达的圆周角条件为：用矫正数表达的圆周角条件为：其中，其中，wo 称为圆周角条件闭合差。称为圆周角条件闭合差。nmw2限式中，式中， m 为角度观测中误差；为角度观测中误差； n 为圆周角的个数。为圆周角的个数。360iocw0ociwv；对对wo运用误差传播定律，并以运用误差传播定律，并以2倍中误差作倍中误差作为限差，那么圆周角闭合差的限差为：为限差，那么圆周角闭合差的限差为：三、极条件 以中点多边形为例，假设从OA边出发，依次解算三角形、，最后解算出的OA边长应与出发边OA相等。即： A a1 EB b1 c1 O a2 c2 ci b2 ai bi C D11sinsinba

18、SSOAOB212122sinsinsinsinsinsinbbaaSbaSSOAOBOCnnOAOAbbbaaaSSsinsinsinsinsinsin.21211.1.平差值方式的极条件方程平差值方式的极条件方程1sinsinsinsinsinsin2121nnbbbaaa01)sin()sin()sin()sin()sin()sin(22112211bnnbbannaavbvbvbvavava 依次解算的三角形有共同顶点依次解算的三角形有共同顶点O，这个共同顶，这个共同顶点点O成为极点，故这种条件称为极条件。成为极点，故这种条件称为极条件。 将上述公式中的平差值用观测值加矫正数的方将上述

19、公式中的平差值用观测值加矫正数的方式表达，那么有：式表达，那么有：即：即：2.2.矫正数方式的极条件方程矫正数方式的极条件方程 上述方程按台劳级数展开取至矫正数的一次上述方程按台劳级数展开取至矫正数的一次项使其线性化：项使其线性化：0)sincos(sinsinsinsinsinsin)sinsin(sinsinsinsinsincos1sinsinsinsinsinsin1)sin()sin()sin()sin()sin()sin(12121211112121212122112211 bnnnnannnnbnnbbannaavbbbbbaaavaabbbaaabbbaaavbvbvbvava

20、va令令 ai = ctg ai , bi = ctg bi )sinsin1 (iisabw称为极条件闭合差。称为极条件闭合差。那么上式可化简为：那么上式可化简为：ai vai bi vbi+ws = 0 其中：其中： 3. 3. 极条件闭合差的限差极条件闭合差的限差对极条件闭合差的表达式运用误差传播定律得：对极条件闭合差的表达式运用误差传播定律得：mmmwow22限mwo2 = a12 ma12+ a22 ma22+ bn2 mbn2由于通常各三角形内角是等精度观测，即由于通常各三角形内角是等精度观测，即mai = mbi = m, 以以2倍中误差为闭合差的限差，从而得到极条件倍中误差为闭

21、合差的限差，从而得到极条件闭合差的限差为：闭合差的限差为： 四、基线条件四、基线条件 对于有两条基线的三角网，其角度观测值对于有两条基线的三角网，其角度观测值平差后应满足：两条基线经三角形边长传算后平差后应满足：两条基线经三角形边长传算后相等。例如以下三角锁中，相等。例如以下三角锁中， B1、B2为两条基为两条基线，由线，由 B1 经三角形、经三角形、传算到传算到 B2 后，应该与后，应该与 B2 相等。这个条件称为基线条件。相等。这个条件称为基线条件。 c 1 ci an bn B1 B2 a1 b1 ai bi cn 1.1.平差值表达的基线条件方程平差值表达的基线条件方程nnbbbaaa

22、BBsinsinsinsinsinsin212112 根据正弦定理，上述三角锁中，仿照极条件根据正弦定理，上述三角锁中，仿照极条件的推导过程，基线的推导过程，基线 B1，B2 与传距角与传距角 ai，bi的的平差值应该满足：平差值应该满足：2.2.矫正数表达的基线条件方程矫正数表达的基线条件方程)sinsin1(12aBbBwB0)sin()sin()sin()sin()sin()sin(2221122111BvbvbvbvavavaBbnnbbannaa 上式中的平差值用观测值加矫正数的方式表上式中的平差值用观测值加矫正数的方式表达并移项后得：达并移项后得：线性化后令线性化后令ai = ct

23、g ai ,bi = ctg bi ，那么有：，那么有：ai vai bi vbi+wB= 03.3.基线条件闭合差的限差基线条件闭合差的限差 2222212122BmBmmwBBB限称为基线条件闭合差。运用误差传播定律可称为基线条件闭合差。运用误差传播定律可计算其中误差，取计算其中误差，取 2 倍中误差为限差可得：倍中误差为限差可得：)sinsin1 (12aBbBwB五、典型三角网的条件方程五、典型三角网的条件方程 设独立三角网中观测值个数为设独立三角网中观测值个数为 n，三角点的，三角点的总数为总数为N，其中要有，其中要有 2 个是知坐标的点，未个是知坐标的点，未知点个数为知点个数为N

24、- 2，每个未知点需求，每个未知点需求 2 个必个必要观测以确定其要观测以确定其 x，y 坐标，那么必要观测的坐标，那么必要观测的个个数为数为 t = 2(N - 2) , 独立的条件方程数目为：独立的条件方程数目为： r = n - t 其中大地四边形和中点多边形要有其中大地四边形和中点多边形要有1个极条件。个极条件。网中每添加网中每添加 1条知边，应添加条知边，应添加 1个基线条件。个基线条件。条件方程的数目：条件方程的数目：1.1.三角锁三角锁条件方程的个数：条件方程的个数： c 1 ci an bn B1 B2 a1 b1 ai bi cn 第一个三角形有第一个三角形有3个点，每添加个

25、点，每添加1个三角形添个三角形添加加1个点，个点，n个三角形共有个三角形共有n+2个点，必要观测个点，必要观测个数是：个数是：t = 2 (n + 2 2) = 2n ； 共有共有3n个角度观测值，个角度观测值，2条基线，其中一条条基线，其中一条是起算边长，因此条件方程的个数为：是起算边长，因此条件方程的个数为： r = 3n - 2n +1 = n +1条件方程的种类：条件方程的种类： 图形条件图形条件n个：个：)sinsin1(12aBbBwB vai+vbi+vci+wi=0; wi= ai+ bi +ci 180 (i = 1,2,n)基线条件基线条件1 1个：个： ai vai bi

26、 vbi+wB= 02.2.大地四边形大地四边形 共有共有4个点，其中个点，其中2个为起算点，个为起算点，2个未个未知点，应有知点，应有4个必要个必要观测观测t=4，共有，共有8个观测值个观测值(n=8)，条件方程的个数为：条件方程的个数为： r = n - t = 4 a3 b3 b2 a4 a2 b4 b1 a1 B其中图形条件其中图形条件3 3个：个： va1+vb1+va2+ vb2 +w1=0; w1= a1+ b1 +a2 +b2 180 va2+vb2+va3+ vb3 +w2=0; w2= a2+ b2 +a3 +b3 180 va3+vb3+va4+ vb4 +w3=0; w

27、3= a3+ b3 +a4 +b4 180极条件极条件1 1个个: : ai vai bi vbi +ws = 0 ；其中：其中：)sinsin1 (iisabwai = ctg ai , bi = ctg bi3.3.中点多边形中点多边形条件方程的数目：条件方程的数目： A a1 EB b1 c1 O a2 c2 ci b2 ai bi C Dt=2(n+1 2)=2n 2共有共有n+1个点，必个点，必要观测个数：要观测个数：观测值个数观测值个数3n；条件方程个数：条件方程个数：r = 3n (2n 2 ) = n+2 条件方程的种类：条件方程的种类： 图形条件图形条件n个：个：)sinsi

28、n1 (iisabwvai+vbi+vci+wi=0; wi= ai+ bi +ci 180 (i = 1,2,n)圆周角条件圆周角条件1个：个： vci+wo= 0 ； wo= ci -360极条件极条件1个：个： ai vai bi vbi+ws= 0六、精度评定六、精度评定 在条件平差中，精度评定包括计算单位权方差和平差值函数的中误差。rPVVrpvvT2其中，其中，r 为条件方程的个数，为条件方程的个数， pvv=VTPV 可可以根据矫正数向量以根据矫正数向量 V 直接计算，也可以根据直接计算，也可以根据联络数向量联络数向量 K 计算。计算。1.1.单位权方差：单位权方差：由于由于 V

29、=P-1ATK所以所以 VTPV=KTAP-1PP-1ATK= KTNK式中，式中，N 为法方程系数矩阵。为法方程系数矩阵。VTPV还可以用闭合差向量还可以用闭合差向量W 进展计算。进展计算。将将V=P-1ATK 代入代入VTPV 中得：中得：VTPV=VTPP-1ATK=(AV)TK而由条件方程而由条件方程AV+W=0知：知：W= AV 所以有：所以有： VTPV=WTK 2. 2. 平差值函数的权倒数平差值函数的权倒数 我们知道，未知量我们知道，未知量 x 的中误差的平方的中误差的平方 mx2 与单位权中误差的平方与单位权中误差的平方 2 成正比，与该量的成正比，与该量的权权 Px 成反比

30、，即：成反比，即：xxpm22 同样，对于平差值的函数，只需可以确定同样，对于平差值的函数，只需可以确定它的权它的权Px，根据单位权中误差，就可以计算，根据单位权中误差，就可以计算出该函数的中误差。出该函数的中误差。设有平差值函数为设有平差值函数为TnLLLf21 ),(21nLLLf iiLf那么平差值函数的权倒数公式那么平差值函数的权倒数公式为为 P -1=f T P-1 f - (AP-1f )TN-1AP-1f其中：其中：P为观测值的权矩阵；为观测值的权矩阵；A为条件方程系数为条件方程系数矩阵；矩阵；N为法方程系数矩阵；为法方程系数矩阵；f 为列矩阵：为列矩阵：可见，列出平差函数式后，

31、只需求出可见，列出平差函数式后，只需求出f 列阵的系数列阵的系数 即可由上式计算函数的权倒数。即可由上式计算函数的权倒数。【例3-1 】 p.49) 某一级小三角网如图，知A点坐标为(500.000，500.000)，AB边坐标方位角 =321236，长度S=872.562m，三角网角度观测值如下表，计算各点坐标。七、独立三角网条件平差算例 B b1 a2 S c1 c2 D c3 a1 b2 b3 a3A C 列条件方程列条件方程 此题有此题有2 2个未知点，需个未知点，需4 4个必要观测，实个必要观测，实践有践有9 9个观测值，故应列出个观测值，故应列出5 5个条件方程。其个条件方程。其中

32、中3 3个图形条件，个图形条件，1 1个圆周角条件，个圆周角条件，1 1个极条个极条件。件。【解】： 角度观测值 三角形 a b c 闭合差 1 30 52 39.2 1.67 42 16 41.2 1.10 106 50 40.6 180 00 01.0 +1.0 2 33 40 54.8 1.50 20 58 26.4 2.61 125 20 37.2 179 59 58.4 -1.6 3 23 45 12.5 2.27 28 26 07.9 1.85 127 48 39.0 179 59 59.4 -0.6 sin 0.1146431 0.1146615 359 59 56.8 2. 2

33、. 闭合差检核闭合差检核 一级小三角网测角中误差应不大于53 .1732mw限3 .1732 mwO限5 .462mws限图形条件闭合差检核：|wi| max =1.6 w限 圆周角条件闭合差检核：wO = -3.2 wO限 极条件闭合差检核：限siiswabw1 .33)sinsin1 (3. 3. 列立条件方程列立条件方程 条件方程的矩阵方式为：条件方程的矩阵方式为：AV+W=0, 本例中：本例中：.85. 127. 2.61. 250. 1.10. 167. 11.111.111AW=(1.0 -1.6 -0.6 -3.2 -33.1)TV=( va1 vb1 vc1 v

34、a2 vb2 vc2 va3 vb3 vc3)T4. 4. 组成法方程组成法方程 法方程的组成与解算可以利用Matlab软件。 翻开Matlab，进入命令编辑器后，先输入常数矩阵A和W，再进展矩阵运算，得到法方程式，解法方程式得到联络数向量K和矫正数向量V。留意：本例中一切观测值都是等精度角度观测留意：本例中一切观测值都是等精度角度观测值，所以法方程中权矩阵为单位阵。值，所以法方程中权矩阵为单位阵。先输入先输入2个常个常数矩阵数矩阵A,W再点击workspace按钮，对这两个矩阵进展修正常数矩阵的输入组成法方程系数矩阵5. 解算联络数和矫正数Matlab中，函数必需运中，函数必需运用小写字母用小写字母6. 6. 精度评定精度评定直接在直接在MATLAB中计算中计算PVV：45. 353972.59rpvvmm10阐明该三角网角度观测到达精度要求。阐明该三角网角度观测到达精度要求。？PVV=V*VPVV =59.3972据此计算测角中误差：据此计算测角中误差：7. 7. 计算观丈量的平差值计算观丈量的平差值 三角形 角 观测值 v 平差值 a 30 52 39.2 1.58 30 52 40.78 b 42 16 41.2 -2.86 42 16 38.34 c 106 50 40.6 0.27