难点详解北师大版九年级数学下册第一章直角三角形的边角关系必考点解析试卷(含答案详细解析)

1、九年级数学下册第一章直角三角形的边角关系必考点解析 考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。第I卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、等腰三角形的底边长，周长，则底角的正切值为（ ）ABCD2、在RtABC中，C =90°，sin

2、A=，则cosA的值等于( )ABCD3、在ABC中， ，则ABC一定是（ ）A直角三角形B等腰三角形C等边三角形D等腰直角三角形4、三角形在正方形网格纸中的位置如图所示，则tan的值是（ ）A12B43C35D455、的倒数是（ ）ABC2D6、如图，在中，点D为AB边的中点，连接CD，若，则的值为（ ）ABCD7、在中, . 下列线段的长度不能使的形状和大小都确定的是（ ）A2B4CD8、如图，在ABC中，C=90°，ABC=30°，D是AC的中点，则tanDBC的值是（ ）ABCD9、如图，琪琪一家驾车从地出发，沿着北偏东的方向行驶，到达地后沿着南偏东的方向行驶来到地

3、，且地恰好位于地正东方向上，则下列说法正确的是（ ）A地在地的北偏西方向上B地在地的南偏西方向上CD10、式子sin45°+sin60°2tan45°的值是（）A22BC2D2第卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、如图，在中，点E在线段上，D是线段上一点，连接，将四边形沿直线翻折，得到四边形，当点G恰好落在上时，折痕的长为_2、如图，小明家附近有一观光塔CD，他发现当光线角度变化时，观光塔的影子在地面上的长度也发生变化经测量发现，当小明站在点A处时，塔顶D的仰角为37°，他往前再走5米到达点B（点A，B，C在同一直线上）

4、，塔顶D的仰角为53°，则观光塔CD的高度约为 _.（精确到0.1米，参考数值：tan37°，tan53°）3、在正方形ABCD中，AB2，点E是BC边的中点，连接DE，延长EC至点F，使得EFDE，过点F作FGDE，分别交CD、AB于N、G两点，连接CM、EG、EN，下列正确的是_tanGFBMNNC；S四边形GBEM4、如图，ABC的顶点是正方形网格的格点，则cosC_5、如图，正方形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，折叠正方形纸片ABCD，使AD落在BD上，点A恰好与BD上的点F重合，展开后折痕DE分别交AB、AC于点E、G，连接GF，给出下列结论：AG

5、D110.5；2tanAED2；SAGDSOGD；四边形AEFG是菱形；BFOF；SOGF1，则正方形ABCD的面积是128，其中正确的是_（只填写序号）三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、如图，在中，（1）在线段上求作一点D，使得；（用尺规作图，不写作法，但应保留作图痕迹）（2）若，利用上述作图，求的值2、已知直角坐标系中菱形ABCD的位置如图，C，D两点的坐标分别为（4，0），（0，3），现有两动点P，Q分别从A，C同时出发，点P沿线段AD向终点D运动，速度为每秒1个单位长度，点Q沿折线CBA向终点A运动，速度为每秒2个单位长度，设运动时间为t秒（1）求AD，BC之间的距离和

6、sinDAB的值；（2）设四边形CDPQ的面积为S求S关于t的函数关系式及自变量t的取值范围；（3）若存在某一时刻，点P，Q同时在反比例函数的图象上，直接写出此时四边形CDPQ的面积S的值3、解方程（1）2x2+3x3（2）计算：4sin30°+2cos45°tan60°24、如图，在平面直角坐标系中，点A(-m，m)(m>0)在反比例函数(x<0)的图象上，点C在反比例函数(x>0)的图象上，矩形ABCD与坐标轴的交点分别为H，E，F，G，ABy轴连接AE，AF，分别交坐标轴于点M，N，连接MN（1）猜想：EAF的度数是定值吗？若是，请求出度数

7、；若不是，请说明理由；（2）若M为OH的中点，求tanANM5、如图，在ABC中，B30°，BC40cm，过点A作ADBC，垂足为D，ACD75°（1）求点C到AB的距离；（2）求线段AD的长度-参考答案-一、单选题1、C【分析】由题意得出等腰三角形的腰长为13cm，作底边上的高，根据等腰三角形的性质得出底边一半的长度，最后由三角函数的定义即可得出答案【详解】如图，是等腰三角形，过点A作，BC=10cm，AB=AC，可得：，AD是底边BC上的高，即底角的正切值为故选：C【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质、勾股定理和三角函数的定义，熟练掌握等腰三角形的“三线合一”是解题的关

8、键2、A【分析】由三角函数的定义可知sinA=，可设a=4，c=5，由勾股定理可求得b=3，再利用余弦的定义代入计算即可【详解】解：sinA=，可设a=4，c=5，由勾股定理可求得b=3，cosA=，故选：A【点睛】本题主要考查三角函数的定义，掌握正弦、余弦函数的定义是解题的关键3、D【分析】结合题意，根据乘方和绝对值的性质，得，从而得，根据特殊角度三角函数的性质，得，；根据等腰三角形和三角形内角和性质计算，即可得到答案【详解】解：，ABC一定是等腰直角三角形故选：D【点睛】本题考查了绝对值、三角函数、三角形内角和、等腰三角形的知识；解题的关键是熟练掌握绝对值、三角函数的性质，从而完成求解4、

9、A【分析】根据在直角三角形中，正切值等于对边比上邻边进行求解即可【详解】解：如图所示，在直角三角形ABC中ACB=90°，AC=2，BC=4，tan=ACBC=24=12，故选A【点睛】本题主要考查了求正切值，解题的关键在于能够熟练掌握正切的定义5、C【分析】根据cos60°进行结合倒数回答即可【详解】解：由特殊角的三角函数值可知，cos60°，的倒数是，故：的倒数是2故选C【点睛】本题主要考查了特殊角的三角函数值和倒数，熟练掌握特殊角的三角函数值是解答此类问题的关键.6、D【分析】根据直角三角形斜边中线等于斜边一半求出AB，再根据三角函数的意义，可求出答案【详解

10、】解：在ABC中，ACB90°，点D为AB边的中点，ADBDCDAB，,又CD3，AB6，故选：D【点睛】本题考查直角三角形的性质和三角函数，理解直角三角形的边角关系是得出正确答案的前提7、A【分析】画出图形，过点B作BDAC于点D，则可求得BD的长为，根据所给BC的长度与BD比较即可作出判断【详解】如图（1），过点B作BDAC于点D则故当BC=，即点D与点C重合时，ABC的形状和大小唯一确定，即C选项不符合题意；当BC=2时，如图（2），则BC1=BC2=2，此时ABC1与ABC2的形状和大小不相同，即选项A符合题意；当BC=时，ABC是等腰三角形，如图（3），此时ABC的形状与大

11、小确定，故选项D不符合题意；当BC=4时，如图（4），ABC是钝角三角形，形状与大小确定，故选项B不符合题意；故选：A【点睛】本题考查了锐角三角函数及三角形形状的确定，关键是作BDAC，把BC与BD进行比较8、D【分析】根据正切的定义以及，设，则，结合题意求得,进而即可求得【详解】解：在ABC中，C=90°，ABC=30°，设，则， D是AC的中点，故选D【点睛】本题考查了正切的定义，特殊角的三角函数值，掌握正切的定义是解题的关键9、B【分析】根据题意可知，由此即可得到即可判断A；由可以判断B；由可以判断C；求出即可判断D【详解】解：如图所示：由题意可知，即在处的北偏西，故

12、A不符合题意；，地在地的南偏西方向上，故B不符合题意；，故C错误，故D不符合题意故选B【点睛】本题考查的是解直角三角形和方向角问题，熟练掌握方向角的概念是解题的关键10、B【分析】先分别求解特殊角的三角函数值，再代入运算式进行计算即可.【详解】解：sin45°+sin60°2tan45° 故选B【点睛】本题考查的是特殊角的三角函数值的混合运算，正确的记忆特殊角的三角函数值是解本题的关键.二、填空题1、【分析】过点D作DHBC，可以推出，AHD=ACB=90°，再由得到，由折叠的性质可得：，GFE=BCE=90°， 从而求出，设，则，再由勾股定理

13、得到，则，由此求出，然后求出，最后利用勾股定理求解即可【详解】解：如图所示，过点D作DHBC，AHD=ACB=90°，由折叠的性质可得：，GFE=BCE=90°， ，设，则，解得，故答案为：【点睛】本题主要考查了平行线分线段成比例，折叠的性质，勾股定理，解直角三角形，解题的关键在于能正确作出辅助线，构造直角三角形进行求解2、8.6米【分析】根据题意，利用锐角三角函数解直角三角形即可【详解】解：由题意知，A=37°，DBC=53°，D=90°，AB=5，在RtCBD中，tanDBC=，BC=，在RtCAD中，tanA=，即=tan37°

14、解得：CD=8.6，答：观光塔CD的高度约为8.6米【点睛】本题考查解直角三角形的实际应用，熟练掌握锐角三角函数解直角三角形的方法是解答的关键3、【分析】证明，由可得；结合，证明；证明，得；求出和的面积，进而由它们的差可得【详解】解：，故正确，由可得：，故正确，故不正确，故正确，故答案是：【点睛】本题考查了正方形性质，全等三角形判定和性质，相似三角形判定和性质等知识，解题的关键是层层递进，下一问要有意识应用前面解析4、#【分析】如图所示，连接BE，先计算出CE、BE、BC的长，即可利用勾股定理的逆定理得到CEB=90°，由此求解即可【详解】解：如图所示，连接图中BE，由勾股定理得：，

15、CEB是直角三角形，CEB=90°，故答案为：【点睛】本题主要考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，余弦，解题的关键在于能够找到E点构造直角三角形5、【分析】由四边形ABCD是正方形，可得GADADO45°，又由折叠的性质，可求得ADG的度数，从而求得AGD；利用GAD与ADG度数求得AED度数可得；证AEGFEG得AGFG，由FGOG即可得；由折叠的性质与平行线的性质，易得AEG是等腰三角形，由AEFE、AGFG即可得证；设OFa，先求得EFG45°，从而知BFEFGFOF；由SOGF1求出GF的长，进而可得出BE及AE的长，利用正方形的面积公式可得出结论【详解】解

16、：四边形ABCD是正方形，GADADO45°，由折叠的性质可得：ADGADO22.5°，AGD180°GADADG112.5°，故错误AED180°EADADE67.5°，tanAED1，则2tanAED2，故错误；由折叠的性质可得：AEEF，EFDEAD90°，在AEG和FEG中，AEGFEG（SAS），AGFG，在RtGOF中，AGFGGO，SAGDSOGD，故错误；AGEGADADG67.5°AED，AEAG，又AEFE、AGFG，AEEFGFAG，四边形AEFG是菱形，故正确；设OFa，四边形AEFG是菱形

17、，且AED67.5°，FEGFGE67.5°，EFG45°，又EFO90°，GFO45°，GFEFa，EFO90°，EBF45°，BFEFGFa，即BFOF，故正确；SOGF1，OG21，即a21，则a22，BFEFa，且BFE90°，BE2a，又AEEFa，ABAEBE2aa（2）a，则正方形ABCD的面积是（2）2a2（64）×2128，故正确；故答案为：【点睛】本题考查了正方形的性质、折叠的性质、等腰直角三角形的性质以及菱形的判定与性质等知识此题综合性较强，难度较大，注意掌握折叠前后图形的对应关系，

18、注意数形结合思想的应用三、解答题1、（1）见解析；（2）【分析】（1）作的垂直平分线，交于点，则点即为所求；（2）根据（1）的结论可得，设，则，进而根据正切的定义即可求得答案【详解】解：（1）如图，作的垂直平分线，交于点，则点即为所求，连接 （2）设，则【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的外角性质，垂直平分线的性质，正切的定义，勾股定理，掌握以上知识是解题的关键2、（1）4.8；（2），；，；（3）16【分析】（1）过点B作，由已知可得，再根据菱形的性质得到，得到，得到即可得；（2）当时，可得，则，根据梯形面积表示即可；当时，过点Q作，并反向延长交BC于点M，根据面积表示即可；（3）首

19、先根据题意求得t的值，然后代入（2）中的式子计算即可；【详解】解：（1）过点B作，C，D两点的坐标分别为（4，0），（0，3），四边形ABCD是菱形，则，；（2）如图，当时，依据题意可得，则，；当时，过点Q作，并反向延长交BC于点M，根据题意得，则，；（3）点P，Q同时在反比例函数的图象上，则需P，Q分别位于第二、四象限，此时，则，则，点P的横坐标为：，纵坐标为：，点P的坐标为，同理可求，点，解得：或（舍去），【点睛】此题考查了反比例函数的性质、菱形的性质、勾股定理、三角函数等知识此题难度较大，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想、分类讨论思想与方程思想的应用3、（1）；（2）【分析】（

20、1）利用公式法求解即可得；（2）将特殊锐角的三角函数值代入，再计算乘法，最后计算加减法即可得【详解】解：（1）化成一般形式为，此方程中的，则，即，故方程的解为；（2）原式，【点睛】本题考查了解一元二次方程、特殊角的三角函数值的混合运算，熟练掌握方程的解法和特殊角的三角函数值是解题关键4、（1）是定值，EAF=45°；（2）3【分析】（1）连接AO，由点的坐标可得四边形AHOG为正方形，然后利用勾股定理得出，根据点C所在的反比例函数解析式可得：，利用等量代换得出：，根据相似三角形的判定和性质可得：，结合图形，由各角之间的数量关系即可得出结果；（2）OH的延长线上取点P，使得，连接AP，用正方形半角模型得，设正方形AHOG的边长为2a，即可得出各边长，然后利用勾股定理得出，根据正切函数的性质求解即可【详解】解：（1）证明：如图，连接