常数项级数的概念与性质

1、 8.1 常数项级数的概念和性质常数项级数的概念和性质一、常数项级数的概念二、级数的基本性质一、常数项级数的概念1. 芝诺悖论芝诺悖论悖论：在逻辑上可以推导出相互矛盾之结果悖论：在逻辑上可以推导出相互矛盾之结果 ，但表面上，但表面上又能自圆其说的命题或理论体系。又能自圆其说的命题或理论体系。公元前五世纪，古希腊数学家芝诺用他关于无限、连续公元前五世纪，古希腊数学家芝诺用他关于无限、连续等知识，提出四个著名的关于运动不可分性的哲学悖论。等知识，提出四个著名的关于运动不可分性的哲学悖论。i. 二分法悖论二分法悖论ii. 阿基里斯追不上乌龟悖论阿基里斯追不上乌龟悖论iii. 飞矢不动悖论飞矢不动悖论

2、iv. 运动场悖论运动场悖论二分法悖论二分法悖论一位旅行者前往特定的地点，他必须先走完一半的路程，一位旅行者前往特定的地点，他必须先走完一半的路程，然后走剩下路程的一半，然后再走剩下路程的一半，由于然后走剩下路程的一半，然后再走剩下路程的一半，由于他永远有剩下路程的一半要走，因而这位旅行者永远走不他永远有剩下路程的一半要走，因而这位旅行者永远走不到目的地。到目的地。TDABC2TE4T1+2482(1,2,3,)nTTTTTn总时间F8T2112TT0.33330.30.030.0030.000321 0.40.01 0.004 1114(1)35711111!2!3!e 231111xxxx

3、x 1211,nnnnnuuuuu记记作作即即一般地，对于给定的数列一般地，对于给定的数列12,nuuu12,nuuu称称为为常常数数项项无无穷穷级级数数 简简称称级级数数,通项）通项）称为级数的一般项（或称为级数的一般项（或项项其中第其中第nun.,2121nnnnuuuSSuuun 即即记作记作称为级数的部分和称为级数的部分和项和项和级数的前级数的前2. 常数项级数常数项级数0.3330.30.030.0030.00031310nn1114(1)3571114( 1)21nnn11111248162n11234n 1nn112nn1,nnnuSS对对于于给给定定的的级级数数如如果果其其部部

4、分分和和数数列列有有极极限限1().,nnnSu如如果果部部分分和和数数列列没没有有极极限限 发发散散称称级级数数发发散散则则3.级数的收敛与发散级数的收敛与发散limnnSS ，即即 1,nnuS则则称称级级数数并并敛敛且且有有和和数数收收121lim.nnnnnuuuuSS记记作作11111112248162nnn111 ( )22lim112nn11nn(1)lim2nn n 常常数数项项级级数数收收敛敛( (发发散散) )lim()nnS存存在在 不不存存在在-1-111(),0,0.nnnaqaaqaqaq几几例例 无无穷穷级级数数称称为为又又称称为为等等比比级级数数其其中中试试讨讨

5、论论该该级级数数何何级级的的敛敛散散性性数数-11111nnaqqaqq发散几几何何级级数数112.(1)nn n例例判判断断级级数数的的敛敛散散性性111(1)nn n“”利利用用 抵抵项项相相消消 求求和和11lnnnn练习发发散散113.nn例例证证明明调调和和级级数数发发散散1310nn1.1.讨讨论论级级数数的的敛敛散散性性练习13发散二、级数的基本性质二、级数的基本性质性质性质8.1则有则有与与的部分和分别为的部分和分别为与级数与级数设级数设级数,11nnnnnnScuu nnncScucucu 21 证明证明1111,.nnnnnnnnccuucucu设为非零常数 则级数与级数同

6、时收敛或同时发散 且同时收敛时 有,由数列极限的性质由数列极限的性质于是于是,时时当当 n,同时收敛或同时发散同时收敛或同时发散与与nnS ,11同时收敛或同时发散同时收敛或同时发散与与即级数即级数 nnnnucu,limlimnnnnSc 且在收敛时有且在收敛时有.11 nnnnuccu即有即有.)(,)(,111111 nnnnnnnnnnnnnnvuvuvuvu且有且有收敛收敛则级数则级数都收敛都收敛与级数与级数若级数若级数性质性质8.2则则有有与与为为的的部部分分和和分分别别与与设设级级数数, )(111nnnnnnnnnnTSvuvu )()()(2211nnnvuvuvu 证明证明

7、)()(2121nnvvvuuu nnTS 即有即有 111nnnnnnnvuvu）（,极限存在极限存在时时由于由于nnTSn nnnnnnTS limlimlim ,2 . 81 . 8 和和性性质质由由性性质质.111 nnnnnnnvbuabvau）（且有且有极限也存在极限也存在知知,nnTS 且且有有也也收收敛敛级级数数以以及及任任意意常常数数与与对对于于收收敛敛级级数数,)(,111nnnnnnnbvaubavu 线线性性运运算算性性质质由例由例1和例和例2可知，可知，且有且有，收敛收敛级数级数 11)1(32)1(nnnnn 1111)1(132121)1(32)1(nnnnnnn

8、nnn32112121 ,617 ,11收敛收敛发散发散级数级数 nnnnvu.1发散发散）（必有必有nnnvu .,11时收敛或同时发散时收敛或同时发散同同与与则级数则级数为任意正整数为任意正整数设设 knnnnuuk,1 knnkuCk 记记对于任意给定的正整数对于任意给定的正整数kknnCS 性质性质8.3证明证明.,11有相同的敛散性有相同的敛散性与与级数级数因此因此 knnnnuu于是有于是有项部分和分别为项部分和分别为的前的前项部分和与项部分和与的前的前设级数设级数, )(,11knSknunuknnknnnn 12311nkknnuuuuuuulimlimnn kknnSC.,

9、且收敛于原级数的和且收敛于原级数的和级数级数的级数仍然为收敛的级数仍然为收敛收敛级数加括号后所成收敛级数加括号后所成得级数得级数将相邻两项加括号将相邻两项加括号例如例如,)(1212 nnnuu: 2nnSS子列子列的的原级数部分和数列原级数部分和数列其部分和数列实际上是其部分和数列实际上是性质性质8.4,2也必然收敛也必然收敛其子列其子列nS,1收敛收敛必有部分和数列必有部分和数列收敛时收敛时当级数当级数于是于是nnnSu ,242nSSS.S且有相同的极限且有相同的极限 )()()(2124321nnuuuuuu 对于收敛级数，可以对它的项任意加括号，但要注意不能改变对于收敛级数，可以对它

10、的项任意加括号，但要注意不能改变相关项的次序相关项的次序.注意注意1注意注意2 加括号后的级数收敛，不能推得原级数收敛加括号后的级数收敛，不能推得原级数收敛 （即性质的逆命题（即性质的逆命题不一定成立）不一定成立）.的相邻两项合并得级数的相邻两项合并得级数将级数将级数 11)1(nn )11()11()11(收敛，且和为零，收敛，且和为零，但原级数发散的但原级数发散的.1(),lim0.nnnnuu如如果果级级数数收收敛敛则则其其级级数数收收敛敛一一般般项项趋趋向向于于零零 即即有有的的必必要要条条件件,1收敛收敛由于级数由于级数 nnuSSSnnnn 1limlim从而有从而有nnu lim

11、性质性质8.5证明证明)(lim1 nnnSS1limlim nnnnSS. 0 且有且有则有和数则有和数,S （2）一般项趋于零只是级数收敛的必要条件，而非充分条件）一般项趋于零只是级数收敛的必要条件，而非充分条件.注意注意（1）如果级数的一般项不趋于零如果级数的一般项不趋于零, ,则级数发散则级数发散; ;( (逆否命题逆否命题) ) 1)1(433221,1nnn例如例如,01limlim nunnn有有 n131211例如调和级数例如调和级数,1)1(1 nnunn.但级数是发散的但级数是发散的收收敛敛lim0nnulim0nnu发发散散五、小结1 1. .由由定定义义, ,若若ssn

12、, ,则则级级数数收收敛敛; ;2 2. .当当0lim nnu, ,则则级级数数发发散散; ;3 3. .按按基基本本性性质质. .常数项级数的基本概念常数项级数的基本概念基本审敛法基本审敛法1nnu.,要要熟熟练练掌掌握握以以下下为为本本节节内内容容的的小小结结nuuu21级数.为通项nu.:nkknuS1部分和.,lim11nnnnnnuSuSS记收敛则称级数若.,lim发散则称级数不存在若1nnnnuS:性质.)(,.21121111SSvuSvSunnnnnnn则若.,.同敛散与则设1102nnnnukuk.,1111nnnnnnnnukkukSkuSu即则若.同敛散与nnnuu13kn.n