计量经济学-课件2教学内容

1、计量经济学-课件201(2.1)yxu 除了除了x之外影响之外影响y的其它因素的其它因素2.1.1 Some Terminology因变量因变量被解释变量被解释变量响应变量响应变量被预测变量被预测变量回归子回归子自变量自变量解释变量解释变量控制变量控制变量预测元预测元回归元回归元误差项误差项扰动项扰动项p如果我们假设其他因素保持不变，则如果我们假设其他因素保持不变，则 的变化为的变化为0. 即，即， 那么，那么，p ：斜率参数；：斜率参数； ：截距参数：截距参数u01(2.1)yxu0uxy110主要关注主要关注次要关注次要关注Example1：A Simple Wage Equation01

2、(2.2)wageeducu 度量了在其他条件不度量了在其他条件不变的情况下，每增加变的情况下，每增加一年的教育所获得的一年的教育所获得的小时工资的增长小时工资的增长包括天生素质、工作包括天生素质、工作经验、工作时间、工经验、工作时间、工作道德、及其他无数作道德、及其他无数因素因素2.1.2 A Simple Assumption1、关于、关于u的假定的假定（非限制性假定）（非限制性假定）oWhy is not a restrictive assumption？( )0(2.3)E u 假设假设 则式（则式（2.1）可以写作：）可以写作：( )5E u 01(5)(5)yxu()(5)0E u

3、E u 5uu 习题习题2.1A Simple Assumption2. 零条件均值假定：零条件均值假定：()( )0(2.4)E u xE u 对于任何给定的对于任何给定的x值，非观测因素的均值值，非观测因素的均值都是相等的都是相等的它们必须与整个总体中的它们必须与整个总体中的u的均值相等。的均值相等。这意味着，这意味着，u和和x不相关。不相关。Questions：o假定期末考试的分数假定期末考试的分数(score)决定于出勤决定于出勤率率(attend)和影响考试成绩的其他非观和影响考试成绩的其他非观测因素：测因素： 那么这个模型能满足零条件均值假定吗？那么这个模型能满足零条件均值假定吗？

4、01scoreattenduExample1（continue）01(2.5)wageeducu 为了简单起见，假定为了简单起见，假定u为个人的天生能力为个人的天生能力(9)(16)E abilE abil2.1.3 population regression function （PRF） 根据零条件均值假定，有：根据零条件均值假定，有：01()(2.6)E y xx总体回归函数总体回归函数这是一个线性函数：这是一个线性函数：x增加一单位，增加一单位，将使将使y的期望值改变的期望值改变 之多之多1.x1x2E(y|x) = 0 + 1xyf(y)E(y|x) as a linear funct

5、ion of x, where for any x the distribution of y is centered about E(y|x)2.2 Ordinary Least Squares (OLS)2.2.1 普通最小二乘法的推普通最小二乘法的推导导 为了估计参数为了估计参数 使用一个容量为使用一个容量为n的随机样本：的随机样本：01(2.1)yxu01(,) :1,2, iixyin01(2.7 )iiiyxu 2.2.1 普通最小二乘法的推普通最小二乘法的推导导假定对于式假定对于式2.1，我们得到参数，我们得到参数 和和 的的估计值估计值 和和 ，则定义，则定义 时时 的的拟合值

6、为拟合值为 ，第第i次观测的次观测的残差残差： 的实际值和它的拟合的实际值和它的拟合值之差，即值之差，即 0101yiy01(2.8)iiyxixxiy(2.9)iiiuyy拟合值和残差拟合值和残差.y4y1y2y3x1x2x3x4u1u2u3u4xyE(y|x) = 0 + 1x2.2.1 普通最小二乘法的推普通最小二乘法的推导导o对于参数的估计值，我们希望它们尽可能对于参数的估计值，我们希望它们尽可能的接近真实值。换言之，希望的接近真实值。换言之，希望y的拟合值的拟合值和它的实际值之间的差异尽可能的小，则：和它的实际值之间的差异尽可能的小，则：220111minmin()(2.10)nni

7、iiiiuyx为什么不直接最小化残差的和？这就是为什么这就是为什么叫作普通最小叫作普通最小二乘法二乘法（OLS）一阶导数为一阶导数为0，二阶导数大于，二阶导数大于0.一阶条件：一阶条件：010111( 2)()0()0(2.11)nniiiiiiyxyx010111( 2) ()0()0(2.12)nniiiiiiiix yxx yx二阶条件满足二阶条件满足可得：可得：11112211()(2.13)()nnniiiiiiinniiiinx yxynxx10111(2.14)nniiiiyxnn 111111111222221111111111211()()()1()()()()()nnnnn

8、nnniiiiiiiiiiiiiiiiiiinnnnnniiiiiiiiiiiinnnniiiiiiiiiiniinx yxyx yxyx yyxnnxxxxxxxnx yyxy nxnxx yyxxxnx 11222111222112()()()(2.15)(2)()nniiiniinniiiiiiiinniiiiiy xy xxnxnxx yyxy xy xxxyyxx xxxx11/niixnx11/niiyny令：令：x和和y的的样本协样本协方差与方差与x的样本的样本方差的方差的商商2.2.2 小结小结o一旦运用一旦运用OLSOLS法确定了参数的估计值，就建立了法确定了参数的估计值，就

9、建立了OLSOLS回归线：回归线：01(2.8)iiyx也被叫做样也被叫做样本回归函数本回归函数固定，然固定，然而未知而未知是总体回归函数的一是总体回归函数的一个样本估计。根据不个样本估计。根据不同的样本会得到不同同的样本会得到不同的参数估计值。的参数估计值。2.2.3 例子例子 Example 2: CEO Salary and Return on Equity o根据根据1990年年209位（位（n=209）CEO的信息（数据的信息（数据来源于来源于Business Week 5/6/91）o因变量因变量salary衡量了以衡量了以1000美元为单位的年薪，美元为单位的年薪，其最小值，均值

10、和最大值分别如下：其最小值，均值和最大值分别如下： 223, 1281, 14822 。o自变量自变量roe (%)净收入净收入/普通净资产（普通净资产（%），是），是过去三年（过去三年（1988、1989、1990）里的平均净资产）里的平均净资产回报率，其最小值，均值和最大值分别如下：回报率，其最小值，均值和最大值分别如下：(0.5, 17.18, 56.3)计量模型：计量模型：01(2.16)salaryroeu 运用运用OLS法，得到法，得到salary对对roe的的OLS回归线：回归线：963.191 18.501(2.17)salaryroesalary (y)对对roe (x)的回

11、归的回归解释：解释：n963.191: 常数项的估计值衡量了当常数项的估计值衡量了当roe为零时为零时CEO的薪水为的薪水为963191美元。美元。n18.50: beta1 的估计值反映了的估计值反映了ROE若增加一个若增加一个百分点，工资将增加百分点，工资将增加18501美元。美元。963.191 18.501(2.17)salaryroe预测：预测： 如果如果roe=30，salary是多少？是多少？963.191 18.501 301518.221salary 并不是说，在并不是说，在roe=30的公司中，某个的公司中，某个特定的特定的CEO就可以赚就可以赚150万美元，因为万美元，因

12、为还有其他因素会影响薪水。这只是还有其他因素会影响薪水。这只是根据根据OLS回归线回归线(2.12)得到的预测值。得到的预测值。963.191 18.501salaryroe01()E salary roeroesalaryroe963.191OLSOLS回归线和未知的总体回归函数：回归线和未知的总体回归函数：2.3 Properties of OLS on Any Sample of Data 2.3.1 Algebraic Properties of OLS Statistics (1) OLS 残差和为零，因而由此得到的残差的平均值残差和为零，因而由此得到的残差的平均值也为零也为零.证明

13、：回忆证明：回忆OLS的一个一阶条件的一个一阶条件011()0(2.11)niiiyx10(2.18)niiu110(2.19)niiun注意：并没有提到任注意：并没有提到任何一次观测何一次观测i的残差会的残差会是什么是什么(2) 自变量和自变量和OLS残差的样本协方差为残差的样本协方差为0.证明：因为证明：因为E E（ ）=0=0COVCOV（X X， ）=E(X-E(X) -E( )=E=E(X-E(X) -E( )=E（X X ） 回忆回忆OLS的另一个一阶条件的另一个一阶条件011()0(2.12)niiiix yx10(2.20)niiixuu u u u u (3)点点 总是在总是

14、在OLS的回归线上：的回归线上：证明：因为证明：因为 那么那么 所以所以(,)x y01(2.21)yx011()0(2.11)niiiyx0111()0niiiyxn（4）拟合值的样本平均值与观测值的样）拟合值的样本平均值与观测值的样本平均值相等：本平均值相等：(2.23)yy(2.9)iiiuyy(2.22)iiiyyu被解释被解释部分部分未解释未解释部分部分证明：证明：根据性质根据性质(1)(1)：残差和为：残差和为0 0。所以，（所以，（2.222.22）两边求和取平均得所证结论。）两边求和取平均得所证结论。（5 5）拟合值和残差的样本协方差为）拟合值和残差的样本协方差为0 0证明：证

15、明：0)()(),(101010iiiiiiiiiiiiiixxxyyEyCOV根据（根据（2.182.18）和（）和（2.202.20）(2.22)iiiyyu观测值被分解成两个部分，而且观测值被分解成两个部分，而且这两部分是不相关的这两部分是不相关的2.3.2 更多术语更多术语21()(2.25)niiSSTyy21()(2.26)niiSSEyy（1）Total Sum of Squares, SST总平方和是对总平方和是对yi围绕其均值变围绕其均值变异的度量，即它度量了异的度量，即它度量了yi在样在样本中的分散程度本中的分散程度（2）Explained Sum of Squares,

16、SSE解释平方和度量了解释平方和度量了拟合值的变异程度拟合值的变异程度（3）Residual Sum of Squares, SSR21(2.27)niiSSRu 残差平方和度量了残差平方和度量了残差的样本变异残差的样本变异y 的总体变异可以表示为解释变异和未解释变异之的总体变异可以表示为解释变异和未解释变异之和，即，和，即，o证明：证明：(2.28)SSTSSESSR 222222 2iiiiiiiiiiiiyyyyyyuyyuuyyyySSRuyySSE拟合值和残差的样本协方差为拟合值和残差的样本协方差为02.3.3 Goodness-of-Fito如何衡量自变量如何衡量自变量x究竟多好的

17、解释了因变量究竟多好的解释了因变量y；或者说如何衡量样本回归线是否很好地拟合了或者说如何衡量样本回归线是否很好地拟合了样本数据？样本数据？o假定假定SST不为不为0。除非所有的观测值都相等，除非所有的观测值都相等，否则这个假定总是成立的。否则这个假定总是成立的。(2.28)SSTSSESSR1/(2.29)SSE SSTSSR SST2/1/(2.30)RSSE SSTSSR SST 定义：定义：又叫做判定系数又叫做判定系数 R2是解释变异与总变异的比值，因而可以是解释变异与总变异的比值，因而可以看作是看作是y的样本变异被的样本变异被x解释的部分。即用来衡解释的部分。即用来衡量拟合优度。量拟合

18、优度。R2：（：（0，1）p =1意味着观测值都落在了回归线上意味着观测值都落在了回归线上完美的拟合；完美的拟合；p 接近接近0，表明，表明OLS给出了一个糟糕的拟合。给出了一个糟糕的拟合。p注意：注意： 在社会科学中，特别是在截面数据分析中在社会科学中，特别是在截面数据分析中, 回归方程的回归方程的R-平方值较低并不罕见。值得强调的是，一个显著低的平方值较低并不罕见。值得强调的是，一个显著低的R-平方平方值不一定说明值不一定说明OLS回归方程是没有价值的。回归方程是没有价值的。2/1/(2.30)RSSE SSTSSR SST 2RSSE不可能比不可能比SST大大2RExample 2 （c

19、ontinue）963.191 18.501(2.17)salaryroe2209,0.0132nR薪水的变异有多少是被净资产回报率所解释的？薪水的变异有多少是被净资产回报率所解释的？1.32%但是式（但是式（2.17）仍然可能是）仍然可能是salary和和roe之间之间在其他条件不变下的关系的良好估计；这是否正在其他条件不变下的关系的良好估计；这是否正确并不直接依赖于确并不直接依赖于R2的大小。的大小。2.4 Units of Measurement and Functional Formo理解改变因变量和理解改变因变量和/或自变量单位，将如何或自变量单位，将如何影响影响OLS估计值；估计值

20、；o了解如何把在经济学中使用的总体函数形式了解如何把在经济学中使用的总体函数形式加入到回归分析中。加入到回归分析中。2.4.1The Effects of Changing Units of Measurement on OLS StatisticsoExample 2 （continue）如果净资产收益率以小数来表示，即令如果净资产收益率以小数来表示，即令roed= roe/100,salary的单位仍为千美元。那么的单位仍为千美元。那么salary对对roed回归，得到回归，得到963.191 1850.1(2.17 )salaryroe 一般而言，如果自变量乘上某个非零常数一般而言，如果

21、自变量乘上某个非零常数c，那么那么OLS斜率将乘以斜率将乘以1/c，而截距则不改变。，而截距则不改变。无论因变量或自变量的单位如何改变，无论因变量或自变量的单位如何改变，R2不会改变。不会改变。（i）如果因变量与自变量分别乘以非零常数）如果因变量与自变量分别乘以非零常数c1、c2，那么那么OLS斜率将乘以斜率将乘以c1/c2，截距将乘以，截距将乘以c1；（ii）如果因变量与自变量分别加上常数）如果因变量与自变量分别加上常数c1、c2，那，那么么OLS斜率不变，截距将加上（斜率不变，截距将加上（c1-c2*斜率）；斜率）；习题习题2.8中的两个有用的结论：中的两个有用的结论：2.4.2 Inco

22、rporating Nonlinearities in Simple Regressiono线性关系并不适合所有的经济学运用线性关系并不适合所有的经济学运用o然而，通过对因变量和自变量进行恰当的定义然而，通过对因变量和自变量进行恰当的定义, 我们可以在简单回归分析中非常容易地处理许我们可以在简单回归分析中非常容易地处理许多多y和和x之间的非线性关系之间的非线性关系o文献中经常有变量以自然对数形式（文献中经常有变量以自然对数形式（log y，log x）出现的情形）出现的情形Example1（continue）01log()(2.31)wageeducu01(2.5)wageeducuWage=

23、-0.90+0.54educ 多受一年教育，小时工资可以增加多受一年教育，小时工资可以增加0.540.54美元。增加第一年的教育和第美元。增加第一年的教育和第2020年教育，小年教育，小时工资都增加时工资都增加0.540.54，这是不合理的。，这是不合理的。 所以我们希望得到多受一年教育，小时所以我们希望得到多受一年教育，小时工资增长的百分率。这就需要对数函数。工资增长的百分率。这就需要对数函数。educwage01exp()wageeduu01log()(2.31)wageeducu educwage1)log(101000log()log()()/(2.34)xxxxxx x 0u 如果如

24、果 则有，则有，利用对数函数的特点：利用对数函数的特点：1%(100)(2.33)wageeduc则有：则有：对数工资方程对数工资方程2log()0.5840.083526,0.186wageeducnR增加任何一年的教育，工资会有增加任何一年的教育，工资会有8.3%的增长，的增长，即增加一年教育的回报率。即增加一年教育的回报率。R平方表示教育解释了平方表示教育解释了18.6%的的log（wage）。）。o自然对数的另一个重要用途是用于获得弹性自然对数的另一个重要用途是用于获得弹性为常数的模型为常数的模型 log (y)，log (x) 例子：例子：CEO薪水和公司的销售额薪水和公司的销售额0

25、1log()log()(2.35)salarysalesu 薪水对销售额的弹性薪水对销售额的弹性o估计结果：估计结果：2log()4.8220.257log()(2.36)209,0.211salarysalesnR销售额增加销售额增加1%，CEO的薪水增加大约的薪水增加大约0.257%含对数的函数形式总览含对数的函数形式总览弹性弹性半弹性半弹性2.4.3The Meaning of “Linear” Regression01(2.1)yxu 参数是线参数是线性的性的并不要求模型关于变量并不要求模型关于变量是线性的，自变量和因是线性的，自变量和因变量如何与初始的自变变量如何与初始的自变量和因变

26、量相联系没有量和因变量相联系没有限制限制2.5 Expected Values and Variances of the OLS Estimators 研究研究OLS估计量在从总体中抽取出的估计量在从总体中抽取出的不同的随机样本中的分布性质不同的随机样本中的分布性质2.5.1 Unbiasedness of OLS首先，在一些假定下证明首先，在一些假定下证明OLS的无偏性。的无偏性。o假定假定1：参数是线性的：参数是线性的 在总体模型中，因变量在总体模型中，因变量 y 和自变量和自变量 x 和误差和误差u 的关系可写作的关系可写作01(2.37)yxu 总体的截总体的截距参数距参数总体的斜总体

27、的斜率参数率参数o假定假定2：随机抽样：随机抽样 假定从总体模型随机抽取容量为假定从总体模型随机抽取容量为n的样本的样本, (xi, yi): i=1, 2, , n。 那么可以用随机样本的形式把式那么可以用随机样本的形式把式(2.37)写为写为 01,1,2,(2.38)iiiyxuin误差：是第误差：是第i次观测中影响观测值的次观测中影响观测值的不可观测因素。不可观测因素。观测值观测值与拟合与拟合值之间值之间的差异的差异注意：残差和误差的区别注意：残差和误差的区别01 yx1 uxyx101()E y xx1u观测值与观测值与实际值之实际值之间的差异间的差异o假定假定3：零条件均值：零条件

28、均值( | )0(2.39)E u x 对一个随机样本，该假定意味着对一个随机样本，该假定意味着(|)0,(1,2, )iiE uxi in对所有的成立o假定假定4：自变量的样本有变异：自变量的样本有变异 在样本中，自变量在样本中，自变量 xi 为不相同的常数，即为不相同的常数，即21()0(2.40)niixx这个假定一般都会成立。这个假定一般都会成立。o定理定理2.1：OLS的无偏性的无偏性 根据假定根据假定14，有，有0011(), ()(2.41)EE 对对beta0和和beta1的任何值都成立的任何值都成立o引理：引理： 证明：证明：yxnyxxyyyxxyyxxiiiiiiii)(

29、)()(yxnyxyxnyxnxynyxyxyxxyyxyyxxiiiiiiiiii)(证明定理证明定理2.1：1121()()(2.15)()niiiniixxyyxx2221 where,xxssyxxixxii010101iiiiiiiiiiiiiiixxyxxxuxxxxxxx uxxxx xxx u分母：20,iiiixxxxxxx21, xiisxx u因此，分母可被写作其中分子：其中分子：注意利用：注意利用：因此，分子可以被写作因此，分子可以被写作证明见证明见(A.1)2112111 , 1, 1iiiixiixdxxd usEd E us让则则2211)(xiixsuxxs给定

30、给定x的条件下，他们都是非随机的。的条件下，他们都是非随机的。00101101100110()()() ( )yxxuxxuEExE u对于，有故而o小结：小结： 1. 1 和和 0 的的OLS估计量是无偏的估计量是无偏的 2. 无偏性的证明依赖于四个假定无偏性的证明依赖于四个假定如果如果任何假定不成立，任何假定不成立，OLS未必是无偏的未必是无偏的 3. 记住：无偏性是记住：无偏性是对估计量的描述对估计量的描述对对于一个给定的样本，估计值可能靠近也可能于一个给定的样本，估计值可能靠近也可能远离真实的参数值远离真实的参数值Example3 Student Math Performance an

31、d the School Lunch Programo研究参加学校的免费午餐项目是否能够提高学研究参加学校的免费午餐项目是否能够提高学生在数学考试中的成绩。用生在数学考试中的成绩。用Math10来表示来表示10年年级学生在一次标准化考试中获得通过的百分比，级学生在一次标准化考试中获得通过的百分比，用用Lupro表示可以参加学校的免费午餐项目的学表示可以参加学校的免费午餐项目的学生的比例（生的比例（%）。）。0110(2.42)mathluprou 21032.140.319(2.43)408,0.171mathlupronRo估计所得方程说明参加免费午餐的学生的比例估计所得方程说明参加免费午餐

32、的学生的比例越多，他们的成绩越差。可信吗？越多，他们的成绩越差。可信吗？o产生上述结果的一个可能是产生上述结果的一个可能是u 和和 x是相关的。比是相关的。比如，如， u包括了贫困率，它影响学生的学习表现，包括了贫困率，它影响学生的学习表现，又和是否有资格参加免费午餐项目高度相关。又和是否有资格参加免费午餐项目高度相关。o因而这个简单回归是有偏误因而这个简单回归是有偏误习题习题 Variances of the OLS Estimatorso估计量的随机抽样分布以真值为中心估计量的随机抽样分布以真值为中心 o 想知道的是这个分布散开的程度想知道的是这个分布散开的程度o 了解这一

33、点了解这一点(分布的分散程度分布的分散程度)，将对我们，将对我们如何能够在所有的估计量中，或至少在无偏如何能够在所有的估计量中，或至少在无偏估计量这一类估计量中选出最优的一个具有估计量这一类估计量中选出最优的一个具有一定的指导意义。一定的指导意义。o假定假定5：同方差性：同方差性2()(2.44)Var u x横截面分析横截面分析中较为传统中较为传统的假定的假定该假定与估计该假定与估计量的无偏性没量的无偏性没有关系，只是有关系，只是为了简化参数为了简化参数方差的计算方差的计算( | )0(2.39)E u x 2()(2.44)Var u x2222)()()()(xuExuExuExuVar

34、根据假定根据假定3 3和和5 5：我们可以得到：我们可以得到：22210210210210210221010)()()(2)()()()()()()()(xuExxuuxxExxuxExyExyExyVarxxuxExyE012()(2.45)()(2.46)E y xxVar y x给定给定x x，y y的条件期望值与的条件期望值与x x呈线性关系；呈线性关系；但给定但给定x x，y y的方差是恒定的。的方差是恒定的。.x1x2E(y|x) = 0 + 1xyf(y|x)同方差下的简单回归分析同方差下的简单回归分析当当Var (u |x)值取决于值取决于x 时，我们称误差项存时，我们称误差项

35、存在异方差。在异方差。.x x1x2yf(y|x)x3.E(y|x) = 0 + 1xExample1 （continue）01(2.5)wageeducu 如果假设满足同方差假定，那么就意味着如果假设满足同方差假定，那么就意味着不管不管educ值为何水平，工资的分布相对于教值为何水平，工资的分布相对于教育水平而言都是相同的：育水平而言都是相同的： Var (u |educ)=Var (wage |educ). 但是，如果接受高等教育的人面临更多的但是，如果接受高等教育的人面临更多的就业机会和更广泛的兴趣，收入的差异可能就业机会和更广泛的兴趣，收入的差异可能更大。在这种情形中，同方差假定未必成

36、立。更大。在这种情形中，同方差假定未必成立。Var（wageeduc）随）随educ增加增加.educ 812wagef(wage|educ)16.E(wage|educ) = 0 + 1educ习题习题2.5o定理定理2.2：OLS 估计量的抽样方差估计量的抽样方差 在假定在假定15下，有，下，有， 221221(2.47)()nxiiVarsxx2202()(2.48)()iixVarxxn证明：证明： 2112222222222222222222111111iixiiiixxiixxxxxVarVard usVard ud Var ussddsssss因为因为ui是独立的是独立的随机变量

37、。故随机变量。故和的方差就是和的方差就是方差的和方差的和 221221(2.47)()nxiiVarsxx 误差方差误差方差 2 越大（越大（2.47的分子），斜率估计的分子），斜率估计量的方差也越大量的方差也越大影响影响y的不可观测因素的变的不可观测因素的变异越大，要准确估计异越大，要准确估计beta1就越难。就越难。 xi 的变动越大（的变动越大（2.47的分母），斜率估计量的分母），斜率估计量的方差越小的方差越小自变量的样本分布的越分散，就自变量的样本分布的越分散，就越容易找出越容易找出E (y x)和和x之间的关系。之间的关系。xxyyxxyy图1图2o小结：小结： 如果关注斜率的估计

38、量，就应该选择如果关注斜率的估计量，就应该选择xi尽可能的分散开的随机样本尽可能的分散开的随机样本 大的样本容量能够减小样本斜率估计大的样本容量能够减小样本斜率估计量的方差量的方差样本容量扩大时，样本容量扩大时， xi 的总体的总体变化也增加。较大样本的代价或许很高（社变化也增加。较大样本的代价或许很高（社会科学中）。会科学中）。 2.5.3Estimating the Error Variance 我们不知道误差方差我们不知道误差方差 2 是多少，因为是多少，因为不能观察到误差不能观察到误差 ui 观测到的是残差观测到的是残差 i 我们可以用残差构造误差方差的估计我们可以用残差构造误差方差的估计0)()()(1100 xEEuuEii 首先，我们注意到首先，我们注意到 2=E(u2), 所以所以 2的的无偏估计量是无偏估计量是 但是，但是，ui 是不可观测的，但可以利用残差是不可观测的，但可以利用残差来构造无偏估计量来构造无偏估计量2)/1 (iunui和和i之间差异之间差异的期望是的期望是0nSSRuni2)/1 (所以真正的估计量是SSR/n作为作为 2的估计量是有偏误的，产的估计量是有偏误的，产生偏误的原因是我们忘记了两个约束条件：生偏误的原因是我们忘记了两个约束条件：所以要对自由度作出调整，所以要对自由度作