数学模型其他模型学习教案

1、数学模型其他数学模型其他(qt)模型模型第一页，共61页。13.1 废水废水(fishu)的的生物处理生物处理 废水处理废水处理 (去掉有害的有机物去掉有害的有机物) 通常有生通常有生物化学物化学(shn w hu xu)与物理化学与物理化学两种方法两种方法.背景背景(bijng)(bijng)与问题与问题 生物处理生物处理 利用微生物利用微生物(主要是细菌主要是细菌)的生命活动过程的生命活动过程, 把废水中的有机物转化为简单的无机物把废水中的有机物转化为简单的无机物. 已知废水中有害物质浓度为已知废水中有害物质浓度为10-310-2g/m3, 要将浓度降至要将浓度降至510-4g/m3以下以

2、下, 需建立废水与微生物混合的处理池需建立废水与微生物混合的处理池. 设废水将以设废水将以10m3/h的流量进入处理池的流量进入处理池, 确定处理池的容积确定处理池的容积, 使排出废水中使排出废水中有害物质的浓度达到规定的标准有害物质的浓度达到规定的标准.第1页/共61页第二页，共61页。模型模型(mxn(mxng)g)假设假设 生物化学提供了有机物分解、转化和微生物化学提供了有机物分解、转化和微生物增殖、衰亡的规律及相关生物增殖、衰亡的规律及相关(xinggun)参数参数2. 微生物依于有害物质分解、转化的能量而增殖微生物依于有害物质分解、转化的能量而增殖(zngzh)的的速率与有害物质浓度

3、成正比，比例系数速率与有害物质浓度成正比，比例系数r2=1.26m3/g . h4. 处理池内有害物质和微生物任何时候都均匀混合处理池内有害物质和微生物任何时候都均匀混合,排排出废水中有害物质和微生物的浓度与池内相同出废水中有害物质和微生物的浓度与池内相同.3. 微生物的自然死亡率为常数微生物的自然死亡率为常数 d=10-5/h1. 有害物质被微生物分解、转化而消失的速率与微生物浓有害物质被微生物分解、转化而消失的速率与微生物浓度成正比，比例系数度成正比，比例系数r1=0.1m3/g . hc(t) 时刻时刻 t 有害物质的浓度有害物质的浓度b(t) 时刻时刻 t 微生物的浓度微生物的浓度第2

4、页/共61页第三页，共61页。模型模型(mxn(mxng)g)假设假设 生物化学提供了有机物分解、转化和微生生物化学提供了有机物分解、转化和微生物增殖、衰亡的规律物增殖、衰亡的规律(gul)及相关参数及相关参数6. 进入进入(jnr)处理池的废水中有害物质浓度为处理池的废水中有害物质浓度为c0, c01c0c02, c01= 10-3g/m3, c02= 10-2g/m3, c0可可以改变以改变, 最坏情况是最坏情况是c0由由c01突然增加到突然增加到c027. 环境保护法规定的废水中有害物质浓度为环境保护法规定的废水中有害物质浓度为c*=510-4 g/m3, 它是长期稳定排放的标准它是长期

5、稳定排放的标准, 如果是短期排放并超标不如果是短期排放并超标不大大, 可以用处罚等方法解决可以用处罚等方法解决.5. 忽略蒸发等因素忽略蒸发等因素, 废水进入处理池和排出处理池的流废水进入处理池和排出处理池的流量均为常数量均为常数Q=10m3/h; 废水满池废水满池, 池的容积为池的容积为V第3页/共61页第四页，共61页。单池模型单池模型(mxng)建立建立(jinl)一个处理池一个处理池 (t, t+t) 内池内有害物质的平衡内池内有害物质的平衡(pnghng)改变量改变量 = 进入量进入量 排出量排出量 分解转化量分解转化量)()(tcttcVttQctQc)(0ttctbVr)()(1

6、c(t) 有害物质浓有害物质浓度度b(t) 微生物的浓度微生物的浓度V池的容积池的容积bcrccVQdtdc10)(t, t+ t) 内内池内微生物的平衡池内微生物的平衡)()(tbttbVttQbttVdbttctbVr)()()()(2bVQdcrdtdb)(2Q流量流量非线性方程组无解析解非线性方程组无解析解第4页/共61页第五页，共61页。单池模型单池模型(mxng)的的稳态状况稳态状况平衡点平衡点用微分方程稳定性理论用微分方程稳定性理论(lln)可以可以验证验证:bcrccVQdtdc10)(bVQdcrdtdb)(2cVrccQbVrVdQcP1021)(,:0,:02bccPVQ

7、dcr/02微生物的增殖率大于死亡微生物的增殖率大于死亡(swng)和和排除率排除率dcrQVcc020当当 时时P1稳定稳定, P2不稳不稳定定第5页/共61页第六页，共61页。单池模型单池模型(mxng)的稳的稳态状况态状况c01 c0 c02Q=10m3/hr2=1.26m3/g . hd=10-5/hc0=c01= 10-3g/m3V8103 m3V1.6104 m3c0=c*= 510-4 g/m3Vc0dcrQV02平衡点平衡点P1稳定条件稳定条件为使稳定状况下有害物质浓度为使稳定状况下有害物质浓度(nngd)达到达到规定标准规定标准c*, 处理池的容积至少需要达到处理池的容积至少

8、需要达到1.6104 m3.一个一个(y )长宽各长宽各100 m, 深深1.6m的的池子池子!第6页/共61页第七页，共61页。考察考察(koch)最坏情况最坏情况取稳定取稳定(wndng)平衡点平衡点P1为初值为初值, 即即单池模型单池模型(mxng)的的动态过程动态过程当当c0=c01时池内浓度已处于稳态时池内浓度已处于稳态, c0突然增加到突然增加到c02)0()0()0(,)0(102cVrccQbVrVdQcbcrccVQdtdc10)(bVQdcrdtdb)(2设设V=1.6104 m3 和和 3104 m3, 用数值方法解微分方程组用数值方法解微分方程组:第7页/共61页第八页

9、，共61页。有害物质浓度有害物质浓度(nngd)将有将有约约1300小时超过小时超过2c*, 最高达最高达到到5c*单池模型单池模型(mxng)的动的动态过程态过程01000200030004000500000.511.522.53x 10-3c*V=1.6104m3c(10-3g/m3)t(h)01000200030004000500000.511.522.53x 10-3c*V=3104m3c( 10-3g/m3)t(h)有害物质浓度将有约有害物质浓度将有约900小小时时(xiosh)超过超过2c*, 最高最高达到达到3c*13002c*要达到规定的标准需要太大的池子要达到规定的标准需要太

10、大的池子!长宽各长宽各100 m, 深深3m的的池子池子第8页/共61页第九页，共61页。两个两个(lin )串接的池子串接的池子双池模型双池模型(mxng)V1, c1, b1Q, c0V2, c2, b2Q, c1, b1池池池池1111011)(cbrccVQdtdc1222222)(bVQbVQdcrdtdb2212122)(cbrccVQdtdc11121)(bVQdcrdtdb与单池模型与单池模型(mxng)相同相同(只是加只是加上下标上下标1)增加从池增加从池的流入量的流入量第9页/共61页第十页，共61页。池池方程方程(fngchng)的平衡的平衡点点双池模型双池模型(mxng

11、)的的稳态状况稳态状况11110121111)(,:crVccQbrVdVQcPdcrQVcc02101当当 时时P1稳定稳定c0=c01, V18103 m3池池方程方程(fngchng)的平的平衡点衡点)(4)(21,)(:21222111221112222122122VQdcrVQdbrcrVQdbrcrrccrVccQbP*11*2*1*12*2)()(cbrdcrccccQVcc要求稳态下要求稳态下第10页/共61页第十一页，共61页。双池模型双池模型(mxng)的的稳态状况稳态状况*11*2*1*12)()(cbrdcrccccQV在在c0=c01, V18103 m3下取值计算下

12、取值计算(j sun)c1, b1, V2V1(103m3)c1(10-3g/m3)b1(10-3g/m3)V2(103m3)81.000.0216.03100.802.509.63120.674.145.39140.575.312.37160.506.180.10,)(,1111012111crVccQbrVdVQc应选择应选择(xunz)较大的较大的V1和较小的和较小的V2相配合的相配合的方案方案第11页/共61页第十二页，共61页。双池模型双池模型(mxng)的动的动态过程态过程仍考察仍考察(koch)c0由由c01突然增加到突然增加到c02的最坏情况的最坏情况0100020003000

13、4000500000.511.52x 10-3c*V1=1.4104m3,V2=7103 m3c2 (10-3g/m3)01000200030004000500000.511.52x 10-3c*c2 (10-3g/m3)V1=1.4104m3,V2=2.5104 m3有害物质浓度有害物质浓度(nngd)约约1200小时超过小时超过c*, 很短很短时间超过时间超过2c*要使有害物质浓度要使有害物质浓度完全完全不超过不超过c*, 需要需要V2太大太大第12页/共61页第十三页，共61页。双池模型双池模型(mxng)与单池模与单池模型型(mxng)的比较的比较有害物质浓度有害物质浓度(nngd)约

14、约1200小时超过小时超过c*, 很短时间很短时间超过超过2c*有害物质浓度有害物质浓度(nngd)约约900小时超过小时超过2c*, 最最高达到高达到3c*双池总容积比单池减少近双池总容积比单池减少近1/3, 处理效果好得多处理效果好得多虽然有超标虽然有超标, 但这是最坏情况但这是最坏情况, 可按处罚等方法解决可按处罚等方法解决01000200030004000500000.511.52x 10-3c*V1=1.4104m3,V2=7103 m3c2 (10-3g/m3)双池双池01000200030004000500000.511.522.53x 10-3c*V=3104m3c( 10-3

15、g/m3)t(h)单池单池V1+V2=2.1104m3第13页/共61页第十四页，共61页。13.2 红绿灯下的交通流红绿灯下的交通流背景背景(bijng)(bijng)与对象与对象 公路上行驶公路上行驶(xngsh)的一辆接一辆的的一辆接一辆的汽车队伍汽车队伍.将车队类比作连续的流体将车队类比作连续的流体(lit), 称为交通流称为交通流(车流车流).描述、分析每一时刻通过公路上每一点的交通流的描述、分析每一时刻通过公路上每一点的交通流的流量、流量、速度、密度速度、密度之间的关系之间的关系.研究出现红绿灯改变（可以看作交通事故的发生和排除）研究出现红绿灯改变（可以看作交通事故的发生和排除）时

16、交通流的变化过程时交通流的变化过程.第14页/共61页第十五页，共61页。交通流的基本交通流的基本(jbn)(jbn)函数函数 对象对象 无穷长公路上单向行驶的一条车流，不许超车无穷长公路上单向行驶的一条车流，不许超车, 公公路上没有岔路路上没有岔路(汽车不会汽车不会(b hu)从其他道路进入或驶出从其他道路进入或驶出).xo0车流方向车流方向流量流量q(x,t) 时刻时刻 t 单位单位(dnwi)时间内通过点时间内通过点 x 的的车辆数车辆数.密度密度 (x,t) 时刻时刻 t 点点 x 处单位长度内的车辆数处单位长度内的车辆数.速度速度u(x,t) 时刻时刻 t 通过点通过点 x 的车流速

17、度的车流速度.基本关系：基本关系：q(x,t)= u(x,t) (x,t) 单位时间内通过的车辆数等于车流速度单位时间内通过的车辆数等于车流速度(单位时间行驶的单位时间行驶的距离距离)乘以单位长度内的车辆数乘以单位长度内的车辆数.第15页/共61页第十六页，共61页。交通流的基本交通流的基本(jbn)(jbn)函数函数 基本基本(jbn)关系：关系：q(x,t)= u(x,t)(x,t) 流量流量(liling)q(x,t)密度密度 (x,t)速度速度u(x,t)qmq0 * m 速度速度u随着密度随着密度 的增加而减少的增加而减少, 设设u是是 的线性函数的线性函数, )/1 (mmuu)/

18、1 (mmuq平衡状态平衡状态(所有车辆速度相同所有车辆速度相同, 公路各处密度相同公路各处密度相同)下下u, 和和 q 的关系的关系. = *= m/2 , q=qm (最大值最大值) =0, u= um(最大值最大值); = m(最大值最大值), u= 0.第16页/共61页第十七页，共61页。连续连续(linx)(linx)交通流方程交通流方程流量流量(liling)q(x,t)密度密度(md)(x,t)速度速度u(x,t)badxtxdtdtbqtaq),(),(),(abq(a,t)q(b,t)x (x,t)badxtxqxtbqtaq),(),(),(dxtxtdxtxdtdbab

19、a),(),(badxxqt0)(0 xqt区间区间a,b的任意性的任意性关于关于q(x,t), (x,t), u(x,t) 的连续、可微、解析性假的连续、可微、解析性假设设积分形式积分形式微分形式微分形式第17页/共61页第十八页，共61页。连续连续(linx)(linx)交交通流方程通流方程0 xqt流量流量(liling)q(x,t)密度密度(md)(x,t)速度速度u(x,t)ddqxt)(,0)(已知已知q=q( )xxfx),()0 ,(已知初始密度已知初始密度 f(x)一阶拟线性偏微分方程一阶拟线性偏微分方程用特征方程和首次积分法求解用特征方程和首次积分法求解)0(,)()(),

20、(),(0000 xxxtxftxxfttx0txx0斜率斜率k=1/ (f(x0)x(t)是一族直线是一族直线 特征线特征线特征线的斜率随特征线的斜率随x0变化变化沿每条特征线沿每条特征线x(t), (x,t)是常数是常数f(x0)第18页/共61页第十九页，共61页。连续连续(linx)(linx)交通流方程交通流方程讨论讨论(toln)q(), f(x)给定后解给定后解(x,t)的性质的性质ddqxt)(,0)(xxfx),()0 ,()/1 (mmuq)/21 (/)(mmuddq m * 0 1 2 * = m/2 , ( * )=0, k00)()(xtxftxt(x)的斜率的斜率

21、(xil)k=1/ (f(x0)特征线特征线 10, k0 2 * , ( 2 )0, k0按初始密度按初始密度f(x)是是x的的减函数或增减函数或增函数函数讨论讨论解解 (x,t)的性质的性质) 0()(),(00 xxxfttx第19页/共61页第二十页，共61页。连续连续(linx)(linx)交通流方程交通流方程f(x)增函数增函数xf(x)x*x1x20 * 1 2xf(x)减函数减函数f(x)x*x1x20 * 1 2 10 2 *, k0 = *,k前面车流密度小前面车流密度小(速度速度大大), 后面密度大后面密度大(速度速度小小), 行驶行驶(xngsh)正正常常.前面前面(q

22、in mian)车流密度大车流密度大(速度小速度小), 后面密度小后面密度小(速度大速度大), 造成堵塞造成堵塞, (x,t), q(x,t)出现出现间断间断.) 0 ()(),(00 xxxfttxxx*x1x20t00)()(xtxftxxx*x1 x1x20tP(x,t)00)()(xtxftx在在P(x,t)点点, (x,t)=f(x1) (x,t)=f(x1 ) ?第20页/共61页第二十一页，共61页。间断间断(jindun)(jindun)交通流方程交通流方程设一连串间断点设一连串间断点(x,t)形成形成(xngchng)孤立、连续的间孤立、连续的间断线断线x=xs(t)badx

23、txdtdtbqtaq),(),(),(交通流方程的积分交通流方程的积分(jfn)(jfn)形式形式btxtxassdxtxdxtxdtdtbqtaq)()(),(),(),(),(btxstxasssdtdxttxdxtdtdxttxdxt)()(),(),(推导间断线推导间断线xs(t)的方程的方程对任意对任意t , x=xs(t)孤立孤立, 取取a xs(t) 0处的车辆继续行驶处的车辆继续行驶, x0处的车辆出现堵塞处的车辆出现堵塞. t= 时交通灯变绿时交通灯变绿, 堵塞的车辆快速行驶堵塞的车辆快速行驶. 用车流密度用车流密度 (x,t)描述红绿灯转换下交通流的变化描述红绿灯转换下交

24、通流的变化. 绿灯后堵塞的车辆多长时间才能追上远离的车队绿灯后堵塞的车辆多长时间才能追上远离的车队? 需要多长时间堵塞状态才会消失需要多长时间堵塞状态才会消失, 交通恢复正常交通恢复正常?对对象象第23页/共61页第二十四页，共61页。红绿灯模型红绿灯模型(mxng)(mxng)0(,)()(),(),(0000 xxxtxftxxfttx讨论密度讨论密度(md) (x,t) 的的变化变化连续连续(linx)点点间断线间断线qdtdxs1. t=0, (x,0)=f(x)= 0(常数常数)设设 0 *= m/2 初始密度小于流量达到最大的密度初始密度小于流量达到最大的密度, 称为称为稀疏流稀疏

25、流.x m 00t=0依时间为序分依时间为序分9步讨论步讨论第24页/共61页第二十五页，共61页。红绿灯模型红绿灯模型(mxng)(mxng)x m 000t xsrxxl2. 0t, 红灯红灯(hn dn)亮亮x0处车辆堵塞处车辆堵塞, 导致导致(dozh)最大密度最大密度=m = m与与 = 0形成形成左间断线左间断线 x=xsl(t) 堵塞车辆尾部的移动堵塞车辆尾部的移动.mmmmmuqqq/ )()()(,0000qdtdxsltutxmmsl0)(x=xsl(t)向左向左移动速度移动速度usl=um 0 / m 0 *= m/2 0)0(,0slmmxu第25页/共61页第二十六页

26、，共61页。红绿灯模型红绿灯模型(mxng)(mxng)2. 0t0处车辆继续行驶处车辆继续行驶, 出现空闲路段出现空闲路段 =0 x m 000tusl=um 0 / m 0 , 绿灯亮绿灯亮x m 00t xsrxxlx1x2x1(t)堵塞车队最前车辆的位置堵塞车队最前车辆的位置x2(t)堵塞车队最后车辆的位置堵塞车队最后车辆的位置初始密度初始密度(设设t = t- =0)srslsrslmxxxxxxxxxf,0, 00,)(0确定确定x1(t), x2(t)第27页/共61页第二十八页，共61页。红绿灯模型红绿灯模型(mxng)(mxng)4. t, 绿灯绿灯(ldng)亮亮x m 0

27、0t xsrxxlx1x2srslsrslmxxxxxxxxxf,0, 00,)(0初始初始(ch sh)密度密度0 x0 xsr)/21 ()(mmuf(x0)=0, (f(x0)=um特征线特征线x=um t +x0, (x, t )= f(x0)=0, x00+, x1=um t =um (t- )xslx00f(x0)= m, (f(x0)=-um ,x2=-um t =-um (t- )x2xx1)(21 ()(tutxmm)(1 2),(tuxtxmm第28页/共61页第二十九页，共61页。红绿灯模型红绿灯模型(mxng)(mxng)5. t=td,堵塞堵塞(ds)消失消失xsl(

28、t)向左移动向左移动(ydng)速速度度um 0 / mxsr(t)向右向右移动速度移动速度um ( m - 0 )/ mx2(t)向左向左移动速度移动速度um 0 *= m/2 x1(t)向右向右移动速度移动速度umx2(t)首先追上首先追上xsl(t), 此时此时堵塞消失堵塞消失tutxmmsl0)(x2(t) =-um (t- )t =td0mmdtx m 00t=tdxsrxxlx1=x2=第29页/共61页第三十页，共61页。红绿灯模型红绿灯模型(mxng)(mxng)6. t=tu,追上车队追上车队(ch du)xsl(t)向左移动向左移动(ydng)速速度度um 0 / mx2(

29、t)向左向左移动速度移动速度um 0tu , xsl(t), xsr(t)继续移动继续移动红绿灯模型红绿灯模型(mxng)(mxng)qdtdxsl,)(1 2),(tuxtxmm,)(1 2tuxmslm)()(),21 (2)( 20dmdslmmxlsltutxutxdtdx02/110)()(21 ()(tBtutxmmsl0)(1 (22/10001mmmuB2/ 110)(2)21 (tBudtdxmmsl0 (t充分充分(chngfn)大大)xsl由向左变由向左变为向右移动为向右移动 m 00ttuxsrxxlx第31页/共61页第三十二页，共61页。8. t=t* , x=0处

30、交通处交通(jiotng)恢复恢复红绿灯模型红绿灯模型(mxng)(mxng) 0=0t=t*xsrxxlx 2/110)()(21 ()(tBtutxmmsl当当xsl移动移动(ydng)至至x=0时时, x=0处处交通恢复交通恢复20*)/21 ()(0mttt 越小越小, 0/ m越小越小, 则则t*越小越小, x=0处交通恢复越快处交通恢复越快.2/ 10001)(1 (2mmmuB设设 =5min, 0/ m=3/8, 则则t*=80min5分钟的堵塞分钟的堵塞, 过过75分钟后分钟后x=0处交通才能恢复处交通才能恢复.第32页/共61页第三十三页，共61页。9. tt* , xsl

31、(t), xsr(t)继续继续(jx)向右移动向右移动红绿灯模型红绿灯模型(mxng)(mxng) 00tt*xsrxxlx xsl, xsr处处 的跳跃的跳跃(tioyu)值越来越小值越来越小.理论上理论上, t全线交通才能恢全线交通才能恢复到初始状态复到初始状态 = 0以上假定初始密度以上假定初始密度 0 *= m/2 拥挤流拥挤流, 得到的结得到的结果与稀疏流不同果与稀疏流不同, 但分析方法一样但分析方法一样(习题习题3).第33页/共61页第三十四页，共61页。红绿灯下的交通流红绿灯下的交通流 将离散车流类比作连续流体将离散车流类比作连续流体 类比是建模的基本类比是建模的基本(jbn)

32、方法之一方法之一. 引入流量引入流量(liling)、密度、速度函数、密度、速度函数, 并按照守恒关系建并按照守恒关系建立交通流模型立交通流模型(积分形式和微分形式积分形式和微分形式). 用特征线法解连续用特征线法解连续(linx)交通流模型交通流模型. 利用跳跃值研究间断线发展过程利用跳跃值研究间断线发展过程, 研究红绿灯模型研究红绿灯模型.第34页/共61页第三十五页，共61页。13.3 鲑鱼数量鲑鱼数量(shling)的周期变化的周期变化背景背景(bijng)(bijng)与问题与问题 海洋中鱼的数量海洋中鱼的数量(shling)按繁殖期呈周按繁殖期呈周期变化期变化.鲑鱼生长、繁殖过程：

33、鲑鱼生长、繁殖过程：成年鱼产卵成年鱼产卵产卵前鲑鱼的数量按一定规律呈周期变化产卵前鲑鱼的数量按一定规律呈周期变化既在离散的时间点上描述成年鲑鱼数量的周期变化，又在既在离散的时间点上描述成年鲑鱼数量的周期变化，又在连续的繁殖期内描述从卵、幼鱼到成年鱼的演变过程连续的繁殖期内描述从卵、幼鱼到成年鱼的演变过程.将描述连续变化的将描述连续变化的微分方程微分方程嵌入描述离散变化的嵌入描述离散变化的差分方程差分方程.卵变成幼鱼卵变成幼鱼幼鱼长大幼鱼长大产卵后死去产卵后死去被成年鱼吃掉、被环境淘汰被成年鱼吃掉、被环境淘汰第35页/共61页第三十六页，共61页。模型模型(mxn(mxng)g)假设假设 xn第

34、第n繁殖期繁殖期(周期周期(zhuq)初成年鲑鱼的数量初成年鲑鱼的数量( n =0,1,2, )y(t)每个周期内每个周期内t时刻时刻(shk)幼鱼的数幼鱼的数量量tb.ta.n.n+1.1. y(ta) 与与xn 成正比，比例系数成正比，比例系数 为一条鱼的为一条鱼的产卵量产卵量.3. 单位时间内单位时间内y(t) 减少的比例与减少的比例与xn 成正比，比例系数成正比，比例系数 反反映映鲑鱼吞食幼鱼鲑鱼吞食幼鱼的的能力能力.2. xn+1 与与y(tb)成正比，比例系数成正比，比例系数 表示表示繁殖期末幼鱼成繁殖期末幼鱼成长为成年鱼长为成年鱼的的比例比例.允许数量出现突变允许数量出现突变t.

35、第36页/共61页第三十七页，共61页。模型模型(mxn(mxng)g)建立建立 y(ta) 与与xn 成正成正比比单位单位(dnwi)时间时间内内y(t) 减少的比例减少的比例与与xn 成正比成正比xn+1 与与y(tb)成正比成正比naxty)(t.tb.ta.n.n+1.)()()(anttxaetytynabxttnnexx)(12 , 1 , 0,1neaxxnbxnn)(,abttba)(1bntyxbantttxyy,/t.无解析解无解析解, 寻求寻求(xnqi)数值解数值解第37页/共61页第三十八页，共61页。模型模型(mxn(mxng)g)建立建立 ,1nbxnneaxx)

36、(,(abttba 一条一条(y tio)鱼的产卵量鱼的产卵量, 设设 =105 繁殖期末繁殖期末(q m)幼鱼成长为成年鱼的比幼鱼成长为成年鱼的比例例, 设设 =0.5, 1.1, 1.5 ( 10-4)()()(anttxaetytya= = 5, 11, 15设设x0=1(数量单位数量单位), 且吞食且吞食90%的幼鱼的幼鱼, 即即y(tb)/ y(ta)=0.13 . 210ln)(abtt1 . 0)(abtteb=2.3a的大小反映鲑鱼从一个周期到下一周期的增长的大小反映鲑鱼从一个周期到下一周期的增长第38页/共61页第三十九页，共61页。模型模型(mxng)(mxng)建立建立

37、,1nbxnneaxxa=5, 11, 15,b=2.3na=5a=11a=15na=5a=11a=15011110.50001.10001.5000270.69901.72601.973020.79060.96110.7115280.69900.35680.314730.64021.15602.0740290.69901.72602.287040.73290.88760.2625300.69900.35690.1771170.69891.72402.2720370.69901.72602.1860180.69900.35810.1821380.69900.35680.2137190.6989

38、1.72701.7960390.69901.72601.9600200.69900.35620.4308400.69900.35680.3225a=5, xn0.6990,a=11, xn1.7260, 0.3568,a=15, xn?第39页/共61页第四十页，共61页。平衡点与稳定性平衡点与稳定性 nbxnneaxx1研究研究(ynji)a的大小对鲑鱼数量的大小对鲑鱼数量xn变化规律变化规律的影响的影响平衡点平衡点 x*:*)(bxeaxxfxbaxln*平衡点平衡点 x*稳定稳定(wndng)条件条件:1ln1)(*axf389. 72 ea1ln1a当当 时时x*稳定稳定(wndng)

39、数值解中数值解中a=5, b=2.3, x*=ln5/2.3=0.699稳定稳定数值解中数值解中 a=11, 15 (e2), x*不稳定不稳定考察倍周期收敛条件考察倍周期收敛条件第40页/共61页第四十一页，共61页。平衡点与稳定性平衡点与稳定性 nbxnneaxx1变量代换变量代换(di hun)(无量纲化无量纲化)abxznnln/)1()2(12)(),()(znnnzezgzgzgz 2, z*=1不稳定不稳定(wndng)平衡点平衡点 x*=lna/b z*=1,稳定稳定(wndng)条件条件 ae2 2, 讨论倍周期收敛讨论倍周期收敛aezznznnln)1(1平衡点平衡点 :

40、z1*, z2* (及及z*=1)1 (*1*2)1 (*2*1*1*2,zzezzezz2*2*1 zzz1*, z2* 是方程是方程 的两个的两个根根2)1 (zzezz1*=0.3427z2*=1.6573第41页/共61页第四十二页，共61页。平衡点与稳定性平衡点与稳定性 abxznnln/)1()2(12)(),()(znnnzezgzgzgz平衡点平衡点 z1*=0.3427, z2*=1.6573 稳定稳定(wndng)的条件的条件:1) )(*,)2(21zzzzg5265. 22aln51.12389. 7 ax1*=0.3569x2*=1.7259a=11,b=2.3*2,

41、 1*2, 1lnzbax)51.12(5265. 2a研究研究zn的的2k倍周期倍周期(zhuq)收收敛敛 (k=2,3)77.14(6924. 2azn的变化趋势出现的变化趋势出现(chxin)混混沌现象沌现象第42页/共61页第四十三页，共61页。鲑鱼数量鲑鱼数量(shling)的周的周期变化期变化首先将各个短周期内性质相同的连续变化规律用同一微分方首先将各个短周期内性质相同的连续变化规律用同一微分方程描述；然后将微分方程嵌入到长期的、描述离散变化规律程描述；然后将微分方程嵌入到长期的、描述离散变化规律的差分的差分(ch fn)方程中方程中 嵌入式模型嵌入式模型.嵌入式模型嵌入式模型(m

42、xng)的应用的应用 生物的周期性繁殖生物的周期性繁殖 再生资源的周期性收获再生资源的周期性收获 人体对周期性注入药物的反应人体对周期性注入药物的反应周期性排污的环境变化周期性排污的环境变化平衡点的平衡点的稳定性分析稳定性分析倍周期收敛和混沌现象倍周期收敛和混沌现象第43页/共61页第四十四页，共61页。13.4 价格指数价格指数问问题题(wnt)价格价格(jig)指数是消费品价格指数是消费品价格(jig)变化的度量变化的度量.几百年来，经济学家们提出几百年来，经济学家们提出(t ch)了许多种价格指数了许多种价格指数.如何评价这些价格指数的合理性？如何评价这些价格指数的合理性？从种、种商品的

43、价格指数谈起从种、种商品的价格指数谈起对一种给定商品，原价对一种给定商品，原价p0, 现价现价p, 价格变化价格变化 I=p/p0对两种给定商品，原价对两种给定商品，原价p01, p02, 现价现价p1, p2, 价格变化价格变化022011ppppI020121ppppI020121ppppI 不合理不合理: 人们对大米涨价比钢琴降价更为关切人们对大米涨价比钢琴降价更为关切加权加权!第44页/共61页第四十五页，共61页。问题的一般问题的一般(ybn)提法提法基年基年(基准基准(jzhn)年年)现年现年(考察年考察年) 各种各种( zhn)价格指数价格指数 I(p,q|p0,q0)哪个更合理

44、？哪个更合理？价格权重价格权重n 种代表性消费品种代表性消费品Tnpppp),.,(002010Tnqqqq),.,(002010Tnpppp),.,(21Tnqqqq),.,(210001.qpqpI qpqpI.02003.qpqpI 215III apapI.04ai 0niiiippI10700,iiiqqniiiippI108iiiqq,niiiippI106,1, 0ii第45页/共61页第四十六页，共61页。1. 价格单调性：一种商品价格单调性：一种商品(shngpn)涨价，其他不降，则涨价，其他不降，则I应上升应上升价格指数的公理化价格指数的公理化p, q, p0,q00, I

45、(p,q|p0,q0)0),|,(),|,(0000qpqpIqpqpIpp2. 权重权重(qun zhn)不变性：所有商品价格不变，则不变性：所有商品价格不变，则I应不变应不变1),|,(000qpqpI3. 价格齐次性：所有商品涨价价格齐次性：所有商品涨价(zhn ji)k倍，则倍，则I应上升应上升k倍倍0),|,(),|,(0000kqpqpkIqpqkpI4. I应位于单种商品价格比值的最小、最大值之间应位于单种商品价格比值的最小、最大值之间0000max),|,(miniiiiiippqpqpIpp第46页/共61页第四十七页，共61页。5. 货币单位货币单位(dnwi)独立性：独立

46、性：I应与货币单位应与货币单位(dnwi)的选取无关的选取无关价格指数的公理化价格指数的公理化p, q, p0,q00, I(p,q|p0,q0)00),|,(),|,(0000qpqpIqpqpI6. 计量单位独立性：计量单位独立性： I应与商品应与商品(shngpn)计量单位计量单位的选取无关的选取无关为非负对角阵),|,(),|,(000101qpqpIqpqpI7. 两年的价格指数之比与基年选取两年的价格指数之比与基年选取(xunq)无关无关),|,(),|,(),|,(),|,(00000000qpqpIqpqpIqpqpIqpqpI8. 价格指数不因某种商品被淘汰失去意义价格指数不

47、因某种商品被淘汰失去意义iqpqpIip, 0),|,(lim000第47页/共61页第四十八页，共61页。I1, I2, I5不满足不满足(mnz)公理公理7该定理没有涉及该定理没有涉及(shj)公理公理1,4,5, 为什么为什么?Eichhorn 证明证明了了定理定理: 不存在同时满足公理不存在同时满足公理2,3,6,7,8的价格指数的价格指数.I6, I7, I8不满足不满足(mnz)公理公理8I3不满足公理不满足公理2I4不满足公理不满足公理6I满足公理满足公理1,2,3 I满足公理满足公理4 I满足公理满足公理2,3,7 I满足公理满足公理5目前常用的价格指数目前常用的价格指数: I

48、1, I2I1, I2满足除公理满足除公理7外的所有公理，且计算简单外的所有公理，且计算简单.价格指数的公理化价格指数的公理化第48页/共61页第四十九页，共61页。定理不存在同时满足定理不存在同时满足(mnz)公理公理2,3,6,7,8的价格指的价格指数数证明证明(zhngmng)思路思路: 满足满足2,3,6,7,8的价格指数的价格指数I必必不满足公理不满足公理8记记e=(1,1,1)T, C=Diagc1,c2,cn, ci0 D=Diagd1,d2,dn, di0),|,(),|,(),|,(),|,(111111eeeCCeIeeeCCeIeeeDCCDeIeeeDCCDeI(*)证

49、明证明(zhngmng),|,(),|,(),|,(1111117eeeCCeIeCCeeCCeIeCCeeDCCDeI公理),|,(),|,(1162eeeCCeIeeeDDeI，公理第49页/共61页第五十页，共61页。证证明明(zhngmng)记记i=Diag1,1 (第第i位置位置(wi zhi)元素元素 0，其余，其余为为1),|,(),|,(),|,(),|,(11eeppIeeppIeeepIeeepI(*)为单位阵）EEnii(1(*)定理不存在同时满足定理不存在同时满足(mnz)公理公理2,3,6,7,8的价的价格指数格指数),|,(),|,(),|,(),|,(12117e

50、eppIeeppIepppIepepI公理公理第50页/共61页第五十一页，共61页。与公理与公理(gngl)矛盾！矛盾！),|,(1niieeeeIs令),|,(11(*)niiieeeeI),|,111(*)niniiieeeeIeeeeI,|,1*)*(*213,|,公理公理eeeeI当当 0 0时时, ,s0 0存在存在(cnzi)某个某个i, 当当0时时0),|,(lim0eeeeIi证毕证毕证证明明(zhngmng)定理定理不存在同时满足公理不存在同时满足公理2,3,6,7,8的价格指数的价格指数第51页/共61页第五十二页，共61页。13.5 设备检查设备检查(jinch)方案方

51、案背景背景(b(bijijng) ng) 与与问题问题 设备检查的目的设备检查的目的: 及时发现和排除故障及时发现和排除故障, 保保证证(bozhng)生产的顺利进行生产的顺利进行. 确定设备检查方案确定设备检查方案-检查周期检查周期 (接连两次接连两次检查的时间间隔检查的时间间隔). 一旦出现故障一旦出现故障, 设备将带故障运行到下次检查时设备将带故障运行到下次检查时 才能才能发现发现, 给生产造成损失给生产造成损失. 检查周期越长检查周期越长, 故障造成的损失费用越大故障造成的损失费用越大. 检查周期越短检查周期越短, 用于设备检查的费用越大用于设备检查的费用越大.存在最佳检查周期使总费用

52、存在最佳检查周期使总费用(损失费、检查费损失费、检查费)最小最小.第52页/共61页第五十三页，共61页。背景背景(bijng)(bijng)与问题与问题 设备出现故障的时刻是随机设备出现故障的时刻是随机(su j)的，的， 服从一定的服从一定的连续型概率分布连续型概率分布. 检查检查(jinch)周期不一定是常数，故障概率大时周周期不一定是常数，故障概率大时周期短，故障概率小时周期长期短，故障概率小时周期长. 将检查周期表示为时刻将检查周期表示为时刻t的连续函数的连续函数s(t) 单位时间内的检查次数表示为单位时间内的检查次数表示为 n(t)=1/s(t) 与设备正常运行时间相比，与设备正常

53、运行时间相比，s(t)很小，很小，n(t)很大，于是很大，于是n(t)可视为可视为t的连续函数的连续函数.第53页/共61页第五十四页，共61页。模型模型(mxng)(mxng)假设假设 1. 设备故障时刻的概率分布函数设备故障时刻的概率分布函数(hnsh)是是F(t)，概率密度函数，概率密度函数(hnsh)是是f(t)，设备使用，设备使用期限是期限是T，F(T)=1.2. 设备带故障运行到下次检查设备带故障运行到下次检查(jinch)时为止的损失时为止的损失费与这段允许时间长度成正比，单位时间损失费费与这段允许时间长度成正比，单位时间损失费c1 .3. 相邻两次检查之间出现故障的时刻是均匀分布的，带相邻两次检查之间出现故障的时刻是均匀分布的，带故障运行的时间取该分布的均值故障运行的时间取该分布的均值.4. 每次检查费每次检查费c2，到时刻，到时刻t为止的检查次数表示为为止的检查次数表示为tdn0)(第54页/共61页第五十五页，