高等数学-第七版--7-5高阶线性微分方程

1、第五讲 高阶线性微分方程高阶线性微分方程高阶线性微分方程一、高阶微分方程的概念二、线性微分方程的结构高阶线性微分方程高阶线性微分方程一、高阶微分方程的概念二、线性微分方程的结构引例引例u例例1 设有一个弹簧，它的上端固定，下端挂一个质量设有一个弹簧，它的上端固定，下端挂一个质量为为m的物体的物体.当物体处于静止状态时，作用在物体上的当物体处于静止状态时，作用在物体上的重力与弹性力大小相等、方向相反重力与弹性力大小相等、方向相反.物体的初始速度为物体的初始速度为阻力的大小与运动速度成正比、方向相反，阻力的大小与运动速度成正比、方向相反，,00 v确定物体的振动规律确定物体的振动规律.xxo齐次方

2、程通解齐次方程通解Y)()()(xfyxqyxpy )()()()(1) 1(1)(xfyxayxayxaynnnn 非齐次非齐次 0)( xf 齐次齐次一阶线性方程一阶线性方程)()(xQyxPy通解通解: xxQxxPxxPde)(ed)(d)( xxPCyd)(e非齐次方程特解非齐次方程特解y0)( xf二阶线性微分方程二阶线性微分方程形式：形式：特点：特点：n阶线性微分方程阶线性微分方程形式：形式：特点：特点：( )(1)nnyyyy 为一次为一次关于关于y yy为一次为一次关于关于分类：分类：对比：对比：推广：推广：高阶线性微分方程高阶线性微分方程一、高阶微分方程的概念二、线性微分方

3、程的结构高阶线性微分方程高阶线性微分方程一、高阶微分方程的概念二、线性微分方程的结构二、线性微分方程解的结构二、线性微分方程解的结构（一）线性齐次方程解的结构（二）线性非齐次方程解的结构二、线性微分方程解的结构二、线性微分方程解的结构（一）线性齐次方程解的结构（二）线性非齐次方程解的结构(叠加原理叠加原理) 定理定理1l注注)(1xy是某二阶齐次方程的解是某二阶齐次方程的解,)(2)(12xyxy也是齐次方程的解也是齐次方程的解 )()2()()(1212211xyCCxyCxyC并不是通解并不是通解例例:不一定是所给二阶方程的通解不一定是所给二阶方程的通解.)()(2211xyCxyCy )

4、(),(21xyxy是二阶线性齐次方程是二阶线性齐次方程0)()( yxQyxPy的两个解的两个解,也是该方程的解也是该方程的解.)()(2211xyCxyCy 21,(CC则则为任意常数为任意常数)若函数若函数)(,),(),(21xyxyxyn设是定义在区间是定义在区间 I 上的上的 n 个函数个函数,则称这则称这 n个函数在个函数在 I 上上线性相关线性相关, 否则称为否则称为线性无关线性无关.例如：例如： ,sin,cos,122xx在在( , )上：上：0sincos122xx故它们在任何区间故它们在任何区间 I 上都线性相关上都线性相关;,12xx若在某区间若在某区间 I 上上,0

5、2321xkxkk321,kkk必需全为必需全为 0 ,2,1xx故在任何区间在任何区间 I 上都上都 线性无关线性无关.,21nkkk使得使得Ixxykxykxyknn, 0)()()(2211若存在不全为若存在不全为 0 的常数的常数线性相关与线性无关线性相关与线性无关定义：定义：两个函数在区间两个函数在区间 I 上线性相关与线性无关的充要条件上线性相关与线性无关的充要条件:)(),(21xyxy线性相关线性相关存在不全为存在不全为 0 的的21, kk使使0)()(2211xykxyk1221)()(kkxyxy)(),(21xyxy线性无关线性无关)()(21xyxy常数常数0)()(

6、)()(2121xyxyxyxy线性无关线性无关21, yy可微函数可微函数)(),(21xyxy若是二阶线性齐次方程的两个线性无关的特解是二阶线性齐次方程的两个线性无关的特解 方程方程0 yy特解特解,cos1xy ,sin2xy 常数常数,通解通解xCxCysincos21推论推论 xytan21y定理定理2 则则)()(2211xyCxyCy 是该方程的通解是该方程的通解. （C1、C2是任意常数）是任意常数）u例例nyyy,21是是 n 阶齐次方程阶齐次方程 0)()()(1)1(1)( yxayxayxaynnnn的的 n 个线性无关解个线性无关解, 则方程的通解为则方程的通解为kn

7、nCyCyCy(11 若若 为任意常数为任意常数) 二、线性微分方程解的结构二、线性微分方程解的结构（一）线性齐次方程解的结构（二）线性非齐次方程解的结构二、线性微分方程解的结构二、线性微分方程解的结构（一）线性齐次方程解的结构（二）线性非齐次方程解的结构则则)(* xy设是二阶非齐次方程是二阶非齐次方程的一个特解的一个特解, )(*)(xyxYyY (x) 是相应齐次方程的通解是相应齐次方程的通解,)()()(xfyxQyxPy 是非齐次方程的通解是非齐次方程的通解 .定理定理3定理定理4 (非齐次方程解的叠加原理非齐次方程解的叠加原理) ), 2, 1()(nkxyk 分别是方程分别是方程的特解的特解,是方程是方程),2, 1()()()(nkxfyxQyxPyk nkkyy1)()()(1xfyxQyxPynkk 的特解的特解. 设设则则)(*)()()(2211xyxyCxyCxyCynn给定给定 n 阶非齐次线性方程阶非齐次线性方程)()()() 1(1)(xfyxayxaynnn)(,),(),(21xyxyxyn设是对应齐次方程的是对应齐次方程的 n 个线性无关特解个线性无关特解)(* xy是非齐次方程的特解是非齐次方程的特解,则非齐次方程的通解为：则非齐次方程的通解为：定理定理5)(xY齐次方程的通齐次方程的通解解