第18节 等腰三角形

1、数学第18节等腰三角形 等腰三角形1定义：有_相等的三角形叫做等腰三角形2性质：(1)等腰三角形的两个_相等(简称“等边对_”)(2)等腰三角形的顶角_线、底边上的_、底边上的_互相重合(简称“三线合一”)3判定：如果一个三角形有两个_相等，那么这两个角所对的_也相等(简称“等角对_”) 两边底角等角平分高中线角边等边等边三角形4定义：_都相等的三角形叫做等边三角形5性质：等边三角形的三个_都相等，且都等于_6判定：(1)三个_都相等的三角形是等边三角形；(2)有一个角是_的_三角形是等边三角形三边角60角60等腰等腰三角形的性质与判定【例1】(1)(2015南宁)如图，在ABC中，ABADD

2、C，B70，则C的度数为( )A35B40C45D50(2)在等腰ABC中，ABAC，一边上的中线BD将这个三角形的周长分为15和12两个部分，则这个等腰三角形的底边长为( )A7 B11C7或11 D7或10AC点拨：(1)利用等腰三角形的性质和外角的性质可求；(2)注意分类讨论【例2】如图，锐角ABC的两条高BD，CE相交于点O，且OBOC.(1)求证：ABC是等腰三角形；(2)判断点O是否在BAC的角平分线上，并说明理由分析：(1)由AAS可证BEOCDO，得EBODCO，再证ABCACB即可；(2)连接AO，由SSS证BAOCAO即可解：(1)BOOC，BEOCDO90，BOECOD，

3、BEOCDO，EBODCO.又OBCOCB，ABCACB，ABAC，ABC是等腰三角形(2)连接AO，ABAC，BOOC，AOOA，ABOACO，BAOCAO，点O在BAC的角平分线上等边三角形的性质与判定【例3】(1)如图是由9个等边三角形拼成的六边形，若已知中间的小等边三角形的边长是a，则六边形的周长是_；30a点拨：(1)设右下等边三角形边长为x，由图可知x3a2x，x3a，外面等边三角形的边长从小到大依次为3a，4a，5a，6a，从而可求六边形的周长；(2)由正方体的每个面都是全等的正方形，得到对角线相等，即ABBCAC，得到ABC是等边三角形，利用三角形的面积公式可求 【例4】如图，

4、ABC为等边三角形，点D，E分别在BC，AC边上，且AECD，AD与BE相交于点F.(1)求证：ABECAD；(2)求BFD的度数分析：(1)利用等边三角形的性质用SAS可证；(2)由ABECAD可得ABECAD，再由外角的性质和等量代换可求解：(1)ABC为等边三角形，ABAC，BAEC60，又AECD，ABECAD(SAS)(2)ABECAD，ABFCAD，BFDABFBAD，BFDCADBAD60等边三角形是特殊的等腰三角形，它除具备等腰三角形的所有性质外，还具备其三边中线、三条高、三条内角平分线的交点重合的性质，且此点到三个顶点的距离相等，到三边的距离相等，到顶点的距离是到对边中点的距

5、离的2倍等腰三角形的情况考虑不全面【例5】等腰三角形一腰上的高与腰的夹角为50，则顶角的度数为_点拨：三角形可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形，所以有两种情况，分别求出即可. 140或401(2015荆门)已知一个等腰三角形的两边长分别是2和4，则该等腰三角形的周长为( )A8或10 B8 C10 D6或122(2015黄石)如图，在等腰ABC中，ABAC，BDAC，ABC72，则ABD( )A36 B54 C18 D64CB3如图，在ABC中，ABC和ACB的平分线交于点E，过点E作MNBC交AB于M，交AC于N，若BMCN9，则线段MN的长为( )A6 B7 C8 D94(2015随州)

6、如图，ABC中，AB5，AC6，BC4，边AB的垂直平分线交AC于点D，则BDC的周长是( )A8 B9 C10 D11DC5如图，在ABC中，ABAC，A36，BD，CE分别是ABC，BCD的平分线，则图中的等腰三角形有( )A5个 B4个 C3个 D2个A6下列三角形：有两个角等于60；有一个角等于60的等腰三角形；三个外角(每个顶点处各取一个外角)都相等的三角形；一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形其中是等边三角形的有( )A BC D7(2015荆州)如图，ABC中，ABAC，AB的垂直平分线交边AB于D点，交边AC于E点，若ABC与EBC的周长分别是40 cm，24 cm，则AB

7、_ _cm.D168(2014杭州)如图，在ABC中，ABAC，点E，F分别在AB，AC上，AEAF，BF与CE相交于点P.求证：PBPC.并直接写出图中其他相等的线段解：在AFB与AEC中，AFAE，A为公共角，ABAC，AFB AEC，ABFACE.ABAC，ABCACB，PBCPCB，PBPC.其余相等的线段有：BFCE，PEPF，BECF 89在平面直角坐标系xOy中，已知点A(2，3)，在坐标轴上找一点P，使得AOP是等腰三角形，则这样的点P共有_ _个10(2014温州)如图，在等边三角形ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，且DEAB，过点E作EFDE，交BC的延长线于点F.(

8、1)求F的度数；(2)若CD2，求DF的长解：(1)ABC是等边三角形，B60.DEAB，EDCB60.EFDE，DEF90，F90EDC30(2)ACB60，EDC60，EDC是等边三角形，EDDC2.DEF90，F30，DF2DE41(2015衡阳)已知等腰三角形的两边长分别是5和6，则这个等腰三角形的周长为( )A11B16C17D16或172(2015台湾)如图，ABC，ADE中，C，D两点分别在AE，AB上，BC与DE相交于F点若BDCDCE，ADCACD114，则DFC的度数为何？( )A114 B123 C132 D147DBCC6(2015徐州)如图，在ABC中，C31，ABC

9、的平分线BD交AC于点D，如果DE垂直平分BC，那么A_ _.A877在ABC中，ABAC，AB的垂直平分线与AC所在的直线相交所得到的锐角为50，则B等于_8如图，ABC中，ABAC，BAC54，BAC的平分线与AB的垂直平分线交于点O，将C沿EF(E在BC上，F在AC上)折叠，点C与点O恰好重合，则OEC为_ _度70或201089(2015北京)如图，在ABC中，ABAC，AD是BC边上的中线，BEAC于点E.求证：CBEBAD.解：ABAC，ABCC，又AD是BC边上的中线，ADBC，BADABC90，BEAC，CBEC90，CBEBAD10(2015宿迁)如图，已知ABACAD，且ADBC，求证：C2D.解：(1)ABACAD，ABCC，ABDD，ADBC，CBDD，ABDCBD2D，即ABC2D，C2DB12(2015荆门)如图，点A，B，C在一条直线上，ABD，BCE均为等边三角形，连接AE和CD，AE分别交CD，BD于点M，P，CD交BE于点Q，连接PQ，BM，下面结论：ABE DBC；DMA60；BPQ为等边三角形；MB平分AMC，其中结论正确的有( )A1个 B2个 C3个 D4个D13(2015河北)如图，BOC9，点A在OB上