基本积分方法

1、1 利用直接积分法求出的不定积分是很有限的.一一.凑微分法凑微分法例例 cos2xdx分析分析:此不定积分的被积函数是复合函数,在积分表中查不到.5.3 5.3 基本积分法基本积分法为了求出更多函数的不定积分, 下面建立一些有效地积分法.这是因为被积函数cos2x的变量是“2x” , 与积分变量“x”不同.但如果能把被积表达式改变一下, 使得被积函数的变量与积分变量变得相同, 那么就可用公式cossinuduuC求出此不定积分. (u是x的函数)21cos 2cos 2(2 )2xdxxdx12cos2uxudu令1cos 2(2 )2xdx1sin2uC1sin 22uxC回代注注: : 这

2、种方法的实质是当被积函数为复合函数时这种方法的实质是当被积函数为复合函数时, ,可采用可采用 恒等变形将原来的微分恒等变形将原来的微分dx凑成新的微分凑成新的微分d d ( (x x) )(可不必换元可不必换元) ),使原积分变成一个可直接用积分公式来计算使原积分变成一个可直接用积分公式来计算. .这种方法称为凑微分法. 其理论依据为122dxdx解3定理定理4 4 ( )( ), ( ),f u duF uCux设且具有连续导数 则 ( )( ) ( ).fx dxFxC证证 利用不定积分的定义及复合函数的求导法则即可. ( ( )( ( )( )uxFxCFufxx注注1.1.定理定理4

3、4中中, ,若若u u为自变量时为自变量时, ,当然有当然有 ( )( )f u duF uC当当u 换为换为 (x)时时, , 就有就有 ( )( ) ( )fx dxFxC成立成立. 不定积分的这一性质称为积分形式的不变性不定积分的这一性质称为积分形式的不变性. .注注2.2. 凑微分法的关键是凑微分法的关键是“凑凑”, , 凑的目的是把被积函数的凑的目的是把被积函数的中间变量变得与积分变量相同中间变量变得与积分变量相同. . 即即 ( )( )fxx dx凑 ( )( ).fx dx成立成立.4(1)根据被积函数是复合函数的特点和基本积分公式的形式,依据恒等变形的原则, 把 dx凑成d(

4、x) . 如 22211(2 ).22xxxe dxe dxeC(2)把被积函数中的某一因子与dx凑成一个新的微分d(x) .如“凑微分凑微分”的方法有的方法有:ln xdxx方法1较简单, 而方法2则需一定的技巧, 请同学们务必记牢以下常见的凑微分公式！322lnln(ln )3xdxxC51 1.()dxd axa112.(1),1x dxdx 1()( ,0)d axb a baa为常数24.(arcsin )(arccos )1dxdxdxx 1(2)dxdxx 3.,lnxxaa dxda,xxe dxde()xxeedxd25.(arctan )(cot )1dxdxd arcxx

5、 6.ln ,dxdxxln(1)1dxdxx7.sincos ,cossinxdxdxxdxdx 6例例8 求下列各式的不定积分321(2).xedx1( 2 )(1)32232dxdxxx 解332211322(2)13xxedxedx 解（）结论结论1:1()() ()f axb dxf axb d axba8.(sincos )( cossin )xx dxdxx29.(21)()xdx d xx210.tancosdxdxx211.cotsindxdxx 1(32 )232dxx 1ln3 22xC32123xeC (1) ;32dxx722(3)dxax111 2dxaaxax解

6、原式1111()()22d axd axaaxaax11lnln22axaxCaa1ln2axCaax22(4) (0)dxaax22(1( ) )dxxaa解原式2( )(1( ) )xa daxaa2( )(1( ) )xdaxaarcsinxCa822(5)dxax22(1( ) )dxxaa解原式22( )11( )xa daxaa2( )11arctan1( )xdxaCxaaaa例例9 求下列各式的不定积分2332(1)23xdxxx33(23) 23d xxxx解 原式3ln23xxC结论结论2:( )ln( )( )fxdxf xCf x(2) tan xdxsincosxdx

7、x解原式coscosdxx ln cosln sec.xCxC 9同理可得cotln sinln cscxdxxCxC 1ln(3)xdxx 1lnlnxdx解 原式1ln(1ln )xdx322(1ln )3xC例例10 求下列各式的不定积分(4)1xxedxe (1)1xxd ee解 原式21xeC 2(1)34xdxx 221 234dxx解 原式221(34)32 34dxx21343xC10结论结论3:11()() ()nnnnxf axb dxf axb d axbansin(4)xdxx232(2)(1)xxdx3231(1)(1)3xd x解原式331(1)9xC211(3)c

8、os dxxx11cos( )dxx 解原式1sinCx 2 sinxd x解 原式2cos xC11(5) secxdx1cosdxx解原式或原式tansecsectansecxxxdxxx同理可得cscln csccotxdxxxC22cossincos1 sinxdxdxxx11 sinln21 sinxCx211sinln2cosxCx2sec tansectansecxxxdxxx(sectan )tansecdxxxxln sectanxxCln sectanxxC122(1) sin xdx1cos22xdx解原式1cos22dxxdx11cos2(2 )24dxxdx11sin

9、224xxC例例11 求下列各式的不定积分同理可得211cossin224xdxxxC结论结论4: 一般地, 对形如sin, cosnnxdxxdx3(2) sin xdx2sincosxdxx 解 原式2(cos1) cosxdx31coscos.3xxc这样的不定积分13当n为偶数时应先降次后再积分；当n为奇数时应先凑微分再积分；2(3) sincosxxdx231sinsinsin3xdxxC解原式sincosnmxxdx一般地,对形如这样的不定积分若nm，且一奇一偶时，则应凑奇次幂的三角函数；若同为偶，则化为sin, cosnnxdxxdx 来积分.1sin22nnmx dx若，则化为

10、 （） 来积分.14(4) sinsinmxnxdx1cos()cos() 2mn xmn x dx解原式对形如这样的不定积分应先积化和差后再积分.sin()sin()2()2()mn xmn xCmnmn15课堂练习: 求下列各式321. 12;2. ;3. 3;xexxxdxedxx edx122324. ;5. cos;6. sincos;xadxxxdxxxdx16222217.;sincos8.;16259.;49dxxxdxxdxx210.;1 cosarcsin11.;1cot12.sindxxxdxxd17注:对于同一个不定积分,采用的方法不同,有时得到的原函数的表达式就完全不

11、同,但这些不同的表达式之间仅相差一个常数.如21sincossinsinsin2xxdxxdxxC21sincoscoscoscos2xxdxsxdxxC 111sincossin2sin22s2244xxdxxdxxd xcoxC 法一:法二:法三:18二二.换元法换元法1 xdxx例12 求注注:用直接积分和凑微分法是不易计算此积分的.但作变换1(0)xt t2 1xt 即2dxtdt2 21ttdtt原式( )f x dx ( )( )ftt dt从而222122 111tdtdttt22arctan212arctan1tttCxxC 回代注:这种经过适当选择变量代换x=(t)将积分求出

12、此积分后回代t .称此方法为换元积分法.化为积分19定理5 设函数(x)连续, x=(t)单调可微, 且 ,而( )0t ( )( )( ),ftt dtF tC1( )( )f x dxFxC证明 ( )( )( ), ( ) ( )( ),ftt dtF tCF tftt则1( ) ( ) .F ttx由和复合而成1 ( ) ( )txFxCF tt即1( )( )f x dxFxC只是在此方法中要注意两个问题: ( )( )ftt1.函数 的原函数存在.2 .要求代换式x=(t)的反函数存在且唯一.1 ( )Fx而，由复合函数和反函数求导法则得1( )tF tx1 ( )( )( ( )

13、( )( )fttftf xt1( ) ( ) .Fxf x则是的一个原函数则20注1:换元积分法是先换元,再积分,最后回代.这与凑微分法(先凑后换元)不一样.naxb2222,.nnaxxa2222,.axxa注2: 本节利用换元积分法来求解被积函数为无理函数的不定积分.换元的目的是将无理函数的不定积分转换为有理函数的积分.分两类讲分两类讲:1.根号里是一次式的,即2.根号里是二次式的,即主要讲1.被积函数含有 的因子时,可令 (0, )naxb an为正整数,ntaxb例13 求下列各式化简函数后再积分.211(1)11xdxx222112 ,1(1)xtdttxdxxtt 解令则2 11

14、2xtxtdxtdt 解 令22 2 11tttdtdttt原式21 1122 (1)11tdttdttt 22(1)ln 1( 11)ln 11ttCxxC22222(1)22(1)1t ttdtt dttt 原式212 11dtt 11(2)xdxxx221111112ln2ln21211xtxxtCCtxxx 434 224,xtxtdxt dt 令则4(3)22dxxx()请同学们自行求解3(4)dxxx322241 14411t dtt dttdttttt 原式14 (1)1tdtt 214ln(1)2tttC 441422ln(21)2xxxC2322ax22ax22xa sin

15、() ,22xatt 令2222 (1tan)sec .axatat则2222 (sec1)tan .xaatat则2222 (1 sin)cos .axatat则 tan () ,22xatt 令 sec (0) ,2xatt 令但在具体求解时要根据被积函数所含二次根式的不同情况作不同的三角代换,作法如下：2222,(0)axxaa2.被积函数含有 的因子时,可作三角变换,利用三角函数恒等式使二次根式有理化.24 sin () arcsin,22xxattta但令则22(1)ax dx22222 axtxat 解若令2222coscoscosax dxat atdtatdt21cos22ta

16、dt222(0)2tdttdtdxxxat 若cosdxatdt221(sin2 )(sin cos )222aattCtttC例14 求下列各式25tax22ax222(arcsin)2taxxaxCaaa回代原式sinxta22cosaxta如图2221arcsin.22axx axCa262 tan () sec22xattdxatdt 解 令则tax22ax222secsecsecdxatdttdtatxa1ln sectanttC如图tanxta22cosatax22(2)dxxa221lnaxxCaa221ln(ln ).xaxCCa2722sectansectandxattdtt

17、dtatxa sec (0) sectan2xattdxattdt解 令则ta22xax22(3)dxxa22221lnlnxxaCxxaCaa1ln sectanttC283.倒代换 当被积函数的分母的次数与分子的次数之差大于1时,利用倒代换可消去被积函数分母中的变量因子x.例例15 求241xdxx211 , . xdxdttt 解 令则从而122(1)ttdt 24 1xdxx12221(1)(1)2td t 224111()1tdttt332222311 (1)(1)33xtCCx 29例16 求2(0)1dxxx x法一: 三角代换令sectansectanttdtdttCtt 法二

18、: 根式代换令法三:凑微分法,原式=2221( )111 ( )1 ( )ddxxxxx 2221,11tdttxtt t 原式原式=sec (0),2xtt 2arctan1dttCtt21x x11arccosCx2arctan1xC 1arcsinCx 30法四: 倒代换令2221111( )1dtdttttt 原式1tx1arcsinCx 回代arcsintC 解 由题意知( )arctanf x dxxC则2221(1)(1) (1)2xfxdxfxdx 21arctan(1)2xC 例17(1) 设函数(x)的一个原函数是arctanx,求不定积分2(1).xfxdx31(2) 若

19、己知 ( )( )f x dxF xC, 求：22()xxef edx22 ()xxef edx故 ( )( )f x dxF xC解 因21()2xF eC 221()2xxf ede 211(3)( )( ),( )( ),( )( ), ( )( ) ()1, ( ).4F xf xG xf xF xGxf xf xff x设且求2( )( )F xGx解 222( )1( )( )2( )( )fxfxfxfxfx而222( )( )1( )1fxfxfx由已知322( )1( )fx dxdxfx2( )arctan( )1( )df xf xxCfx()104fC又代入上式得( )

20、tanf xx2( ) 11( )fxfx故两端积分,得通过上述几种积分方法的学习,可将以下几个公式补充在基本积分表里： tanln cosln secxxCxC cotln sinln cscxdxxCxC 33secln sectanxdxxxCcscln csccotxdxxxC222221arcsin22axax dxx axCa2222lndxxxaCxa221ln2dxaxCaaxax34ln, arctan,sinxxdxxdxexdx定理5 设函数u=u(x)及v=v(x)具有连续的导数,则udvuvvdu三三.分部积分法分部积分法直接积分和换元积分法可以解决大量的不定积分的计

21、算问题;但对形如等类型的不定积分,采用这两种方法却无法.换元积分法是在复合函数求导法则的基础上得到的,下面利用两个函数乘积的求导法则来推得分部积分法.证 由 d(uv)=vdu+udv, 得 udv= d(uv)vdu ,对此式两边同时求不定积分, 得35而不定积分 易于计算,udvvdu则可采用分部积分公式,使计算大为简化.udvuvvduuv dxuvvu dx注1:不定积分 不易计算,例15 求(1) ln(2)xdxarctgxdx解 (1) 设u=lnx,dv=dx,则v=x ,由分部积分公式得lnlnlnxdxxxxdx(2)arctanarctanxxxdx原式1lnlnxxxd

22、xxxxCx2arctan1xxxdxx21arctanln(1)2xxxC36(2). 要比 容易积出.( ) ( ).f x g x dxvduudv一般按“反对幂指三”的顺序,后者先凑入的方法确定u和v .注2:分部积分法是基本积分法之一,常用于被积函数是两种不同类型函数乘积的积分这类积分在具体计算过程中,如何正确地选定u和v却显得非常重要.一般说来要考虑以下两点:(1). V要容易求得;例18 求cosxxdx cossinxxdxxdx解sinsinsincosxxxdxxxxC37比原积分更难积出.例19 求下列不定积分(1)(2)arctanxxe dxxxdxxxxe dxxd

23、e(1)解21 (2)arctan2xdx原式否则若 2221coscoscossin222xxxxdxxdxxxdxxxxxxee dxxeeC221arctanarctan 2xxx dx2221arctan21xxxdxx222111arctan21xxxdxx21arctanarctan .2xxxxC3822ln(1)1xdxxxxx2(3) ln(1)xxdx22ln(1)ln(1)xxxxdxx解原式222212 1ln(1)1xxxxxxdxxx2221(1)ln(1)21dxxxxx1222ln(1)(1)xxxxC391122lnln2 lnxdxxxdxxdxx解ln(4

24、).xdxx2ln2lnxxxdx122ln2xxxdx练习：22(1)(2) (2)cosxx e dxxxdx2ln4.xxxC40例20 求sinxexdx sinsinxxexdxxde解这是一个关于 的方程,移项并两边同除以2,得sinxexdx1sin(sincos )2xxexdxexxC注:有些不定积分需要将积分的几种方法综合起来使用.sinsinxxexe dxsincosxxexexdxsincosxxexxdesincossinxxxexexexdx413cos(2)sinxxdxx例21 求(1)xedx解 令2, ,2xtxtdxtdt则2tetdt原式2ttde22ttteeC22tttee dt22111csc2sin2xdxdxx 3sin sinxdxx解 原式221( csccsc)2xxxdx 21( csccot )2xxxC 22xxxeeC42arcsin2arcsin(3)1xx edxxarcsinarcsinarcsinxx edx解 原式arcsinarcsinxxdearcsinarcsinarcsinarcsinxxxeedxarcsinarcsinarcsinxxxeeC(4)设 f(x) 有连