差分方程的相容性收敛性和稳定性教学学习教案

1、会计学1差分差分(ch fn)方程的相容性收敛性和稳定方程的相容性收敛性和稳定性性PPT教学课件教学课件第一页，共23页。 一个微分方程采用不同的方法可以得到不同的差分方程。那么，我们要问，对于这些不同的差分方程是否都同样有效，同样可靠，而且能得到同样的计算结果呢？ 答案是否定的。事实上，不同的差分方程和原方程有完全不同的对应关系，它们具有(jyu)各自不同的性质，因此，数值结果也完全不同。在这些差分方程中有些差分方程是有效的、可靠的；些差分方程只有在一定的条件下是有效的、可靠的；有些差分方程则是完全无效的、不可靠的。所以，如何判断和分析差分方程有效性和可靠性就成为非常必要和现实的问题了。 在

2、这一节中我们首先对差分方程有效性的一些基本概念（如相容性、收敛性、稳定性）作简单介绍，为本章以后各节的分析讨论奠定基础。 第1页/共23页第二页，共23页。,0tx utxnjR,jnxt0njLu 0Lu 111220nnnnnjjjjjuuuuutx2.4.1 相容性（相容性（Consistency ）第2页/共23页第三页，共23页。1njunt1nju1njujx2312342311()26nnnnnjjjjjuuuuuttttttt 2323412311()26nnnnnjjjjjuuuuuxxxxxxx 2323412311()26nnnnnjjjjjuuuuuxxxxxxx 将1

3、nju1nju代入FTCS格式(g shi)中，即可得到：、和1nju第3页/共23页第四页，共23页。n一点差分方程逼近于微分方程的程度，相容性是有限差分算法（包括有限体积算法）首先必须满足的有效性条件。22323222311()()26nnjjuuuutttxtxtt ,0tx 第4页/共23页第五页，共23页。,jnxt, tx njR, tx ,jnxtnjRnjr第5页/共23页第六页，共23页。2.4.2 收敛性（收敛性（Convergence ）差分方程(fngchng)收敛性是讨论当,0tx 时，差分(ch fn)方程的解和微分方程的解是否一致性的问题，也就是(jish)讨论差

4、分方程的解和微分方程的解的逼近程度。定义定义1：差分方程的数值解为，微分方程的精确解为，它们之间的误差用表示，则称为离散化误差。0njLu u定义定义2：节点为微分方程求解区域内任意一点，当当时，差分方程数值解趋近于微分方程精确解，即，则差分方程收敛于微分方程。,ppxt0nnjjeuu,ppxxttnju0nnjjeuunjuunje第6页/共23页第七页，共23页。差分方程(fngchng)收敛性有两种证明方法，直接证明法和数值试验法。一、直接证明一、直接证明(zh ji zhn mn)法法对流方程(fngchng) 的FTBS差分格式为：0 xuatu101(1),()nnnjjjjju

5、r uruux(a)设求解区域内任意一点 ， ，它的微分方程精确解为u，差分方程解为 ，则离散化误差为 ，把差分方程和微分方程相减可得离散化误差方程：pxptnjunjnjuue11(1)(,)nnnjjjer ereOxt(b)第7页/共23页第八页，共23页。由（b）式可以看出离散化误差方程(fngchng)在形式上和差分方程(fngchng)是完全相同的，由此可以得到：111()(,)1(,)nnnnjjjjnnjjteeaeeOxtxttaeaeOxtxx设a0， 1，则0 1，于是(ysh)有：xtaxta111(,)1maxmax(,)nnnjjjnnjjjjtteaeaeOxtx

6、xttaeaeOxtxx(c)第8页/共23页第九页，共23页。式中 表示在n层的所有节点上离散化误差(wch) 绝对值最大值，对于所有节点j有：njjemaxnje1max(,)nnjjjeeOxt于是(ysh)有：1maxmax(,)nnjjjjeeOxt1maxmax(,)nnjjjjeeOxt10maxmax(,)jjjjeeOxt第9页/共23页第十页，共23页。由此可得到(d do)：10maxmax(,)njjjjeeOxt(d)在t=0时，差分方程的初始条件应该是完全(wnqun)准确的，即：0),(0000jjjjuuexu即：1max(,)njjeOxt即差分方程(fngc

7、hng)离散化误差和截断误差是相同数量级，因此，若 0，则：njR0maxlim100njjxte(f)由此可知，FTBS格式在a0， 时，是收敛的。1xta(e)第10页/共23页第十一页，共23页。二、数值二、数值(shz)试试验法验法数值(shz)试验法基本思想是用差分方程求出FTBS数值(shz)解，然后和微分方程精确解进行比较，确定差分方程是否收敛。直接证明法比较简单，但是只有很少几个差分方程可以采用直接证明法来证明其收敛性，而数值试验法又非常麻烦，一般来说，很难用数值试验结果(ji gu)严格证明差分方程是否收敛。总的说来，不管是采用直接证明法，还是数值试验法，要证明差分方程收敛性

8、都是比较困难的。第11页/共23页第十二页，共23页。关于关于(guny)差分方程收敛性需要作以下说明差分方程收敛性需要作以下说明：(1) 差分方程收敛性表示差分方程数值解和微分方程精确(jngqu)解逼近程度，只有在差分方程收敛于微分方程时，差分方程解才可能是微分方程精确(jngqu)解。(2) 差分方程相容性是差分方程首先要满足的，差分方程相容性是收敛性的必要性条件，但并不是充分条件。差分方程相容性并不能保证差分方程数值解一定收敛于微分方程精确(jngqu)解。若差分方程不相容，则数值解肯定不收敛微分方程的精确(jngqu)解。第12页/共23页第十三页，共23页。 粗看起来，差分方程相容

9、性要求时，差分方程逼近于微分方程，似乎差分方程数值解也应该收敛于微分方程精确解。事实上，当我们在证明相容性时，已经假定了差分方程数值解就是微分方程精确解，在对微分方程进行(jnxng)展开时，截断误差中已经忽略了离散化误差的存在。因此，差分方程相容性并不能保证其收敛性。(3) 差分方程同样(tngyng)也有两种不同形式的收敛性：有条件收敛和无条件收敛。第13页/共23页第十四页，共23页。2.4.3 稳定性（稳定性（Stability ）用计算机数值求解差分方程时，计算误差总是不可避免(b k b min)的。计算误差包括舍入误差、离散误差和初值误差。设微分方程精确解为，具有计算误差差分方程

10、数值解为，则计算误差定义为：nnnnnjjjjjuuuuuuunju式中，是离散化误差，而就是舍入误差。根据收敛性条件，当，差分方程收敛于微分方程。而数学性质(xngzh)讨论，就属于稳定性所要讨论的范围。由此可知，稳定性是讨论在计算过程中，某一时刻，某一点产生计算误差，随着计算时间增加，这个误差是否能被抑制的问题。nnjjeuunnrjjuu00lim0njtxe r第14页/共23页第十五页，共23页。定义：在某一个时刻定义：在某一个时刻(shk)tn存在计算误差存在计算误差 ，若在，若在 时时刻刻(shk)满足：满足：nj1nt01jnjnjnjkk或条件，则差分(ch fn)方程是稳定

11、的。这里(zhl)定义： 2122xnjnj是某种定义的范数。第15页/共23页第十六页，共23页。下面(xi mian)我们用几个简单的例子来说明差分方程稳定性概念。 njnjnjnjuuruu11111nnnjjjrr（1）对流方程(fngchng)FTFS差分方程(fngchng)为：其中 。设在n时刻(shk)计算误差为 ，n+1时刻(shk)计算误差为 ，则计算误差传播方程为：xtrnj1nj可以采用直观的数值试验法来分析误差传播规律。 (a)第16页/共23页第十七页，共23页。在（a）式中设在tn时刻xj的计算误差为 ，而计算到n+100时刻，（xj，tn+100）点的计算误差将

12、发展到 ，假定只有在节点（xj，tn）上存在误差 ，其他各节点的计算误差为零，则若取r=0.8，则 。由此可以看出，这个计算误差必定会将差分方程精确解原来面目完全淹没了，所求得差分方程数值解已经没有任何意义了，因此(ync)，FTFS差分方程是不稳定的。 njnjrr11001001njnjnjnj251001001037. 38 . 1nj第17页/共23页第十八页，共23页。（2）对流(duli)方程FTBS差分格式的误差传播方程为：njnjnjnjnjnjrrr1111(b)当a0， 时， ，通过迭代运算(yn sun)可得到：1xtanjjnjmax1njjnjjmaxmax11max

13、maxnjjnjj01maxmaxjjjj第18页/共23页第十九页，共23页。由此可知，在n时刻的计算误差 是不会大于 ，因此，当a0， 时，FTBS差分(ch fn)格式是稳定的（见图a）。这是有条件的稳定，稳定的条件是a0， 。但是，对于不同的a，t，x，FTBS差分(ch fn)格式的稳定条件是不同的（见图b）。nj0j1xta1xta第19页/共23页第二十页，共23页。当a=1，x=0.1，r=0.8，则有： ；当a=1，x=0.1，r=1.0，则有： ；当a=1，x=0.1，r=2.0，则有： 。njujnjuuu118 . 02 . 0njnjuu11njujnjuuu112通过对（b）式的数值(shz)分析可知：njnjnjnjnjnjrrr1111(b)第20页/共23页第二十一页，共23页。图b中给出了上述不同条件下差分方程计算误差的图解。从图中可以发现，当r=1.0时，差分方程解和微分方程(wi fn fn chn)解是一致的；当r=0.8时，在差分方程解的两端有耗散现象，当r=2.0时，差分方程解会出现振荡，并且在t=