第二章、第二节：求导法则

1、第二节第二节 函数的求导法则函数的求导法则 一、导数的四则运算一、导数的四则运算 二、反函数的导数二、反函数的导数 三、复合函数的求导法则三、复合函数的求导法则 四、初等函数的求导法则四、初等函数的求导法则 五、小结五、小结 思考题思考题一、和、差、积、商的求导法则一、和、差、积、商的求导法则定理定理1则它则它处可导处可导在点在点如果函数如果函数,)(),(xxvxu)()( )()()1(xvxuxvxu )()()()( )()()2(xvxuxvxuxvxu ).0)()()()()()()()()3(2 xvxvxvxuxvxuxvxu处也处也在点在点分母不为零分母不为零们的和、差、积

2、、商们的和、差、积、商x)(并且有并且有可导可导,)(1 xv).0)()()(2 xvxvxv推论推论; )( )()1(11 niiniixfxf);( )()2(xfCxCf )()()( )()()()3(2121xfxfxfxfxfxfnn )()()()(211xfxfxfxfnnii 记记 nknkniixfxfxfxf111)()()()()()()()()()(2121xfxfxfxfxfxfnn 例例1 1.sin223的导数的导数求求xxxy 解解23x x4 例例2 2.ln2sin的导数的导数求求xxy 解解xxxylncossin2 xxxlncoscos2 xxx

3、ln)sin(sin2 xxx1cossin2 .cos x .2sin1ln2cos2xxxx 23)(sin2xxxy xxxxxxyln)(cossin2lncos)(sin2 )(lncossin2xxx 例例3 3.tan的导数的导数求求xy 解解)cossin()(tan xxxyxxxxx2cos)(cossincos)(sin xxx222cossincos xx22seccos1 xx2sec)(tan .csc)(cot2xx 同理可得同理可得例例4 4.sec的导数的导数求求xy 解解)cos1()(sec xxyxx2cos)(cos .tansecxx xx2coss

4、in .cotcsc)(cscxxx 同理可得同理可得2)()()(1xvxvxv 二、反函数的求导法则二、反函数的求导法则定理定理2内单调、可导内单调、可导在某区间在某区间如果函数如果函数yIyx)( 即即 反函数的导数等于直接函数导数的倒数反函数的导数等于直接函数导数的倒数.证证,xIx 任取任取xx 以以增增量量给给的单调性可知的单调性可知由由)(xfy , 0 y), 0(xIxxx )()(xfxxfy 在对应区间在对应区间那末它的反函数那末它的反函数且且)(,0)(xfyy .1)(1)(,dydxdxdyyxfIx或且有内也可导xyxfx lim0)(),0(0 xy, 0)(存

5、在且不为存在且不为又知又知y xyxfx 0lim)(yxy 1lim0)(1y .)(1)(yxf 即即,1yxxy 连连续续)(xfy 0lim)(0 yxyy .)(1)(,)(,0)()(yxfIxfyyIyxxy 且有且有内也可导内也可导在对应区间在对应区间那末它的反函数那末它的反函数且且内单调、可导内单调、可导在某区间在某区间如果函数如果函数证证的单调性可知的单调性可知由由)(xfy , 0 y定理定理xyxfx lim0)(例例5 5.arcsin的导数的导数求函数求函数xy 解解,)2,2(sin内单调、可导内单调、可导在在 yIyx, 0cos)(sin yy且且内有内有在在

6、)1 , 1( xI)(sin1 yycos1 y2sin11 .112x .11)(arccos2xx 同理可得同理可得;11)(arctan2xx )(arcsin x.11)cot(2xx arc例例6 6.log的的导导数数求求函函数数xya , 0ln)( aaayy且且,), 0(内有内有在在 xI)(1)(log yaaxaayln1 .ln1ax 解解,),(内单调、可导内单调、可导在在 yyIax特别地特别地.1)(lnxx 三、复合函数的求导法则三、复合函数的求导法则定理定理3即即 因变量对自变量求导因变量对自变量求导, ,等于因变量对中间变等于因变量对中间变量求导量求导,

7、 ,乘以中间变量对自变量求导乘以中间变量对自变量求导.(.(链式法则链式法则) ),2132xy ,3uy .212xu ,1sinxey ,uey ,sinvu .1xv ,)(0可导可导在点在点如果函数如果函数xxu ,)()(00可导可导在点在点而而xuufy 且其导数为且其导数为可导可导,0 x).()(000 xufdxdyxx 在点在点则复合函数则复合函数)(xfy 证证,)(0可可导导在在点点由由uufy )(lim00ufuyu )0lim()(00 uufuy故故uuufy )(0则则xyx 0lim)(lim00 xuxuufx xuxuufxxx 0000limlimli

8、m)().()(00 xuf xuxuufxy )(0).()(|000 xufdxdyxx )()()( 1xuxfxf不同，前者是对变量与、注：求导，后者是对变量求导，后者是对变量x求导求导2、注意区别复合函数的求导与函数乘积的求导、注意区别复合函数的求导与函数乘积的求导3、复合函数的求导法则可以推广到多个变量的情形。、复合函数的求导法则可以推广到多个变量的情形。我们以两个中间变量为例，我们以两个中间变量为例，推广推广),(),(),(xvvuufy 设设的导数为的导数为则复合函数则复合函数)(xfy .dxdvdvdududydxdy y u v x dxdydudydvdudxdv例例

9、7 7.sinln的导数的导数求函数求函数xy 解解.sin,lnxuuy dxdududydxdy xucos1 xxsincos xcot 例例8 8.)1(102的导数的导数求函数求函数 xy解解)1(1029 xuxx2)1(1092 .)1(2092 xx. 1,210 xuuydxdududydxdy )1()1(10292 xxdxdyxx2)1(1092 .)1(2092 xx熟练之后，可以不必写出中间变量熟练之后，可以不必写出中间变量例例9 9.arcsin22222的导数的导数求函数求函数axaxaxy 解解)arcsin2()2(222 axaxaxy2222222222

10、121xaaxaxxa .22xa )0( a 2222)(21)(21xaxxax2221xa 2222)(2121xaxax uu21)( 22)()(112axaxa 211)(arcsinuu )(arcsin22 axa例例1010.)2(21ln32的导数的导数求函数求函数 xxxy解解),2ln(31)1ln(212 xxy22)2()2(31)1(1121 xxxxy)2(3112 xxx例例1111.1sin的导数的导数求函数求函数xey 解解)1(sin1sin xeyx)1(1cos1sin xxex.1cos11sin2xexx uu1)ln( )2(31211212

11、xxx例例1212).(,0),1ln(0,)(xfxxxxxf 求求设设解解, 1)( xf,0时时当当 x,0时时当当 x)1ln()(xxf ,11x )1(11xx ,0时时当当 xhfhffh)0()0(lim)0(0 , 1 hfhffh)0()0(lim)0(0 , 1 hhh)01ln()0(lim0 hhh)01ln()0(1lnlim0 hhh)1ln(lim0 . 1)0( f 0,10,10,1)(xxxxxf例例1212).(,0),1ln(0,)(xfxxxxxf 求求设设解解, 1)( xf,0时时当当 x,0时时当当 x)1ln()(xxf ,11x )1(11

12、xx ,0时时当当 x. 1)0( f 0,10,1xxx四、基本求导法则和求导公式四、基本求导法则和求导公式xxxxxxxCtansec)(secsec)(tancos)(sin0)(2 1.常数和基本初等函数的导数公式常数和基本初等函数的导数公式xxxxxxxxxcotcsc)(csccsc)(cotsin)(cos)(21 axxaaaaxxln1)(logln)( xxeexx1)(ln)( 2211)(arctan11)(arcsinxxxx 2211)cot(11)(arccosxxxx arc2.函数的和、差、积、商的求导法则函数的和、差、积、商的求导法则设设 都可导，则都可导，

13、则)(),(xvvxuu )0()()4(, )()3( )()2(, )()1(2 vvuvvuvuuvvuuvCCuCuvuvu是常数）是常数）3.复合函数的求导法则复合函数的求导法则).()()()()(),(xufxydxdududydxdyxfyxuufy 或或导数为导数为的的则复合函数则复合函数而而设设4.反函数的求导法则反函数的求导法则内单调、可导内单调、可导在某区间在某区间如果函数如果函数yIyx)( 在对应区间在对应区间那末它的反函数那末它的反函数且且)(,0)(xfyy .)(1)(,yxfIx 且有且有内也可导内也可导利用上述公式及法则初等函数求导问题可完全解决利用上述公

14、式及法则初等函数求导问题可完全解决.注意注意: :初等函数的导数仍为初等函数初等函数的导数仍为初等函数.综合求导举例综合求导举例例例1414.arcsin的导数的导数求函数求函数xey 解解)(arcsinxey 2)()(11xxee 2)()(11xeexx )21()(112xeexx )21(212xxexe 例例1515.的导数的导数求函数求函数xxxy 解解)(21 xxxxxxy)(21121 xxxxxxx)211(21121xxxxxx .812422xxxxxxxxxx .)()(162dxdyxfyxf的导数可导，求：设例解：解：)( 22xxfdxdy)( 22xxf的

15、导数)()(22xgxfy求函数可导，且和例：设, 0)()()()(22xgxfxgxf解：解：)()()()(1212222xgxfxgxfdxdy)( )(2)( )(2()()(12122xgxgxfxfxgxf)()()( )()( )(22xgxfxgxgxfxf例例1717.)(sin的导数的导数求函数求函数nnxfy 解解 1nnu nnxnxcos1)(sin1nnxf ,nuy ),(vfu ),(wv nxwsin dxdwdwdvdvdududydxdy )(vf )(w )(cosnnxx )(sinnx )(wf )(1vnfn nnxxncos12 )(sinnx )(sinnxf 五、小结五、小结注意注意:);()( )()(xvxuxvxu .)()()()(xvxuxvxu 分段