圆中常用的作辅助线的八种方法实用教案

1、会计学1圆中常用圆中常用(chn yn)的作辅助线的八种的作辅助线的八种方法方法第一页，共28页。 在解决有关圆的计算或证明题时，往往需要在解决有关圆的计算或证明题时，往往需要添加辅助线，根据题目特点选择恰当的辅助线至添加辅助线，根据题目特点选择恰当的辅助线至关重要圆中常用关重要圆中常用(chn yn)的辅助线作法有：作半径，的辅助线作法有：作半径，巧巧用同圆的半径相等；连接圆上两点，巧用同弧所用同圆的半径相等；连接圆上两点，巧用同弧所对的圆周角相等；作直径，巧用直径所对的圆周对的圆周角相等；作直径，巧用直径所对的圆周角是直角；证切线时角是直角；证切线时“连半径，证垂直连半径，证垂直”以及以及

2、“作垂直，证半径作垂直，证半径”等等第1页/共28页第二页，共28页。1方法方法(fngf)(fngf)作半径作半径(bnjng)，巧用同圆的半，巧用同圆的半径径(bnjng)相等相等1如图所示，两正方形彼此如图所示，两正方形彼此(bc)相邻，且大正方形相邻，且大正方形ABCD 的顶点的顶点A，D在半圆在半圆O上，顶点上，顶点B，C在半圆在半圆O的直径的直径 上；小正方形上；小正方形BEFG的顶点的顶点F在半圆在半圆O上，上，E点在半点在半 圆圆O的直径上，点的直径上，点G在大正方形的边在大正方形的边AB上若小正上若小正 方形的边长为方形的边长为4 cm， 求该半圆的半径求该半圆的半径第2页/

3、共28页第三页，共28页。如图，连接如图，连接OA，OF.设设OAOFr cm，ABa cm.在在RtOAB中，中，r2 a2，在在RtOEF中，中，r242 ， a216164a .解得解得a18，a24(舍去舍去)r2 8280.r14 ，r24 (舍去舍去) 即该半圆即该半圆(bnyun)的半径为的半径为4 cm.解：解：22a骣桫242a骣桫+ +24a24a282骣桫555第3页/共28页第四页，共28页。 在有关圆的计算题中，求角度或边长时，常连在有关圆的计算题中，求角度或边长时，常连接半径构造接半径构造(guzo)等腰三角形或直角三角形，利等腰三角形或直角三角形，利用特殊三角形的

4、性质来解决问题用特殊三角形的性质来解决问题第4页/共28页第五页，共28页。2方法方法(fngf)(fngf)连接连接(linji)圆上两点，巧用同弧所对的圆周角圆上两点，巧用同弧所对的圆周角相等相等2如图，圆内接三角形如图，圆内接三角形ABC的外角的外角ACM的平分线的平分线 与圆交于与圆交于D点，点，DPAC，垂足，垂足(chu z)是是P，DHBM， 垂足垂足(chu z)为为H.求证：求证：APBH.第5页/共28页第六页，共28页。如图，连接如图，连接(linji)AD，BD.DAC、DBC是是DC所对的圆周角所对的圆周角DACDBC.CD平分平分ACM，DPAC，DHCM，DPDH

5、.在在ADP和和BDH中，中，ADP BDH. APBH.证明证明(zhngmng)：90.DAPDBHDPADHBDPDH行行 ，第6页/共28页第七页，共28页。 本题通过作辅助线构造圆周角，然后利用本题通过作辅助线构造圆周角，然后利用“同弧所对的圆周角相等同弧所对的圆周角相等”得到得到(d do)DACDBC，为证两三角形全等创造了条件，为证两三角形全等创造了条件第7页/共28页第八页，共28页。3作直径作直径(zhjng)(zhjng)，巧用直径，巧用直径(zhjng)(zhjng)所对的圆周角是直角所对的圆周角是直角方法方法(fngf)(fngf)3如图，如图， O的半径的半径(bn

6、jng)为为R，弦，弦AB，CD互相垂互相垂直，直， 连接连接AD，BC. (1)求证：求证：AD2BC24R2；第8页/共28页第九页，共28页。(1) 如图，过点如图，过点D作作 O的直径的直径(zhjng)DE，连接，连接AE，EC，AC. DE是是 O的直径的直径(zhjng)， ECDEAD90. 又又CDAB，ECAB. BACACE. BCAE. BCAE. 在在RtAED中，中，AD2AE2DE2， AD2BC24R2.证明证明(zhngmng)：第9页/共28页第十页，共28页。(2)若弦若弦AD，BC的长是方程的长是方程x26x50的两个根的两个根 (ADBC)，求，求 O

7、的半径的半径(bnjng)及点及点O到到AD的的距离距离(2)如图，过点如图，过点O作作OFAD于点于点F. 弦弦AD，BC的长是方程的长是方程(fngchng)x26x50的两个根的两个根 (ADBC)， AD5，BC1.解：解：第10页/共28页第十一页，共28页。由由(1)知，知，AD2BC24R2，52124R2.R .EAD90，OFAD，OFEA.又又O为为DE的中点的中点(zhn din)，OF AE BC . 即点即点O到到AD的距离为的距离为 .26212121212第11页/共28页第十二页，共28页。 本题作出直径本题作出直径(zhjng)DE，利用，利用“直径直径(zh

8、jng)所对的圆周角是直角所对的圆周角是直角”构造了两个直角构造了两个直角三角形，给解题带来了方便三角形，给解题带来了方便第12页/共28页第十三页，共28页。4证切线时辅助线作法证切线时辅助线作法(zu f)(zu f)的应用的应用方法方法(fngf)(fngf)4如图，如图，ABC内接于内接于 O，CACB，CDAB且且 与与OA的延长线交于点的延长线交于点D. 判断判断(pndun)CD与与 O的位的位置关置关 系，并说明理由系，并说明理由第13页/共28页第十四页，共28页。CD与与 O相切，理由如下：相切，理由如下：如图，作直径如图，作直径(zhjng)CE，连接，连接AE.CE是直

9、径是直径(zhjng)，EAC90.EACE90.CACB，BCAB.ABCD，ACDCAB. BACD.又又BE，ACDE.ACEACD90，即，即OCDC. 又又OC为为 O的半径，的半径，CD与与 O相切相切解解：第14页/共28页第十五页，共28页。5遇弦加弦心距或半径遇弦加弦心距或半径(bnjng)(bnjng)方法方法(fngf)(fngf)5如图所示，在半径如图所示，在半径(bnjng)为为5的的 O中，中，AB，CD是互相是互相 垂直的两条弦，垂足为垂直的两条弦，垂足为P，且，且ABCD8，则，则OP 的长为的长为() A3 B4 C3 D422C第15页/共28页第十六页，共

10、28页。同类变式同类变式6【中考【中考贵港】如图所示，贵港】如图所示，AB是是 O的弦，的弦， OHAB于点于点H，点，点P是优弧是优弧(yu h)上一点，上一点， 若若AB2 ，OH1， 则则APB的度数是的度数是_3第16页/共28页第十七页，共28页。6遇直径遇直径(zhjng)(zhjng)巧加直径巧加直径(zhjng)(zhjng)所对的圆周角所对的圆周角方法方法(fngf)(fngf)7如图，在如图，在ABC中，中，ABBC2，以，以AB为直径的为直径的 O分别分别(fnbi)交交BC，AC于点于点D，E，且点，且点D是是BC的的中点中点第17页/共28页第十八页，共28页。(1)

11、求证求证(qizhng)：ABC为等边三为等边三角形角形(1) 如图，连接如图，连接(linji)AD， AB是是 O的直径，的直径， ADB90. 点点D是是BC的中点，的中点， AD是线段是线段BC的垂直平分线的垂直平分线 ABAC. ABBC，ABBCAC， ABC为等边三角形为等边三角形证明证明(zhngmng)：第18页/共28页第十九页，共28页。(2)求求DE的长的长(2)如图，连接如图，连接(linji)BE. AB是直径，是直径， AEB90，BEAC. ABC是等边三角形，是等边三角形， AEEC，即，即E为为AC的中点的中点 D是是BC的中点，故的中点，故DE为为ABC的

12、中位线的中位线 DE AB 21.解解：1212第19页/共28页第二十页，共28页。7遇切线巧作过切点遇切线巧作过切点(qidin)(qidin)的半径的半径方法方法(fngf)(fngf)8如图，如图， O是是RtABC的外接圆，的外接圆，ABC90， 点点P是圆外一点是圆外一点(y din)，PA切切 O于点于点A，且，且PAPB.第20页/共28页第二十一页，共28页。(1)求证求证(qizhng)：PB是是 O的切线的切线；(1) 如图，连接如图，连接(linji)OB，OAOB， OABOBA. PAPB， PABPBA. OABPABOBAPBA. 即即PAOPBO. 又又PA是

13、是 O的切线，的切线，PAO90. PBO90. OBPB. 又又OB是是 O的半径，的半径， PB是是 O的切线的切线证明证明(zhngmng)：第21页/共28页第二十二页，共28页。(2)已知已知PA ，ACB60，求，求 O的半径的半径(bnjng)(2)如图，连接如图，连接(linji)OP， PAPB， 点点P在线段在线段AB的垂直平分线上的垂直平分线上 OAOB， 点点O在线段在线段AB的垂直平分线上的垂直平分线上 OP为线段为线段AB的垂直平分线的垂直平分线解解：3第22页/共28页第二十三页，共28页。又又BCAB，POBC. AOPACB60.由由(1)知知PAO90.AP

14、O30. PO2AO.在在RtAPO中，中，AO2PA2PO2，AO23(2AO)2.又又AO0，AO1， O的半径的半径(bnjng)为为1.第23页/共28页第二十四页，共28页。8巧添辅助线计算阴影部分巧添辅助线计算阴影部分(b fen)(b fen)的面积的面积方法方法(fngf)(fngf)9【中考【中考(zhn ko)自贡】如图所示，点自贡】如图所示，点B，C，D都在都在 O上，上， 过点过点C作作ACBD交交OB的延长线于点的延长线于点A，连接，连接CD， 且且CDBOBD30，DB6 cm.3第24页/共28页第二十五页，共28页。(1)求证求证(qizhng)：AC是是 O的切线；的切线；(1)如图，连接如图，连接(linji)CO，交，交DB于点于点E， O2CDB60. 又又OBE30， BEO180603090. ACBD，ACOBEO90. 即即OCAC. 又又点点C在在 O上，上， AC是是 O的切线的切线证明证明(zhngmng)：第25页/共28页第二十六页，共28页。(2)求由弦求由弦CD，BD与与BC所围成的阴影部分的面积所围成