同济第三版-高数-(22) 第二节 函数求导法则同济第三版-高数-

1、 设有函数设有函数 u( x ) 和和 v( x )，常数常数 和和 ，称称 u( x )+ v( x )为这两个为这两个函数的线性组合。函数的线性组合。 函数的线性组合是函数间的一种函数的线性组合是函数间的一种运算，即线性运算。微积分所讨论运算，即线性运算。微积分所讨论的函数性质许多都是和这种线性运的函数性质许多都是和这种线性运算相关的性质。理解这种运算对理解算相关的性质。理解这种运算对理解微积分的基本内容是很有意义的。微积分的基本内容是很有意义的。 如果函数如果函数 u( x ), ,v( x )都都在点在点 x 处可导处可导，则它们的则它们的线性组合线性组合 f( x )= u( x )

2、+ v( x )也在点也在点 x 处可导处可导，且导且导数为数为 f ( x )= u ( x )+ v ( x ). . 设设 f( x )= u( x )+ v( x )，则由，则由根据导数定义有根据导数定义有故故 f( x )在点在点 x 处可导处可导，且，且 f ( x )= u ( x )+ v ( x ). . 0limxffxxxfxx 0 limxuvuvxxxxxxx 00limlimxxuuvvxxxxxxxx uvxx. . 定性结果：两可导函数的线性组合也是可导的；定性结果：两可导函数的线性组合也是可导的； 定量结果：函数线性运算的求导法则。定量结果：函数线性运算的求导

3、法则。 需注意的是，这些求导规则都是在需注意的是，这些求导规则都是在 u = u( x )，v = v( x )都可导的条件下导出的，都可导的条件下导出的，若此条件不满足，则结论未必成立。若此条件不满足，则结论未必成立。 函数线性运算的求函数线性运算的求导法则导法则可推广到有限个函数的可推广到有限个函数的情形，即若情形，即若 u = u k( x )在点在点 x 处都可导，处都可导， k 为为常数常数 ，( k = 1, ,2, , , ,n )，则函数，则函数 f( x )= 1 u1( x )+ 2 u2( x )+ + n un( x )在点在点 x 处可导，且有处可导，且有 f ( x

4、 )= 1 u 1( x )+ 2 u 2( x )+ + n u n( x ). . 由定理由定理 1 容易得到如下三个推论：容易得到如下三个推论： 如果函数如果函数 u( x ), ,v( x )都都在点在点 x 处可导处可导，则函数则函数 u( x )+ v( x )也在点也在点 x 处可导处可导，且导数为且导数为 u( x )+ v( x )= u ( x )+ v ( x ). . 如果函数如果函数 u( x ), ,v( x )都都在点在点 x 处可导处可导，则函数则函数 u( x )- - v( x )也在点也在点 x 处可导处可导，且导数为且导数为 u( x )- - v( x

5、 )= u ( x )- - v ( x ). . 如果函数如果函数 u( x )都都在点在点 x 处可导处可导， 为为常数常数 ，则函则函数数 u( x )也在点也在点 x 处可导处可导，且导数为且导数为 u( x )= u ( x ). .例：例：设设 f( x )= 2 x 3 - - 5 x 2 + 3 x - - 7，求：求：f ( x ). . 这是个三次多项式的求导问题，由于多项式仅这是个三次多项式的求导问题，由于多项式仅由加法运算及数乘运算构成，因此可根据导数的线性运由加法运算及数乘运算构成，因此可根据导数的线性运算法则求该函数的导数。算法则求该函数的导数。 f ( x )=(

6、 2x 3 - - 5 x 2 + 3x - - 7 )=( 2x 3 )- -( 5 x 2 )+( 3x )- -( 7 )= 2( x 3 )- - 5( x 2 )+ 3( x )- -( 7 )= 2 3 x 2 - - 5 2 x + 3 1 - - 0= 6 x 2 - - 10 x + 3 .例：例：设设 求：求：f ( 1 ). . 这是个导函数与相应导数值的计算问题。这是个导函数与相应导数值的计算问题。 对这类问题，一般宜先根据导数运算法则求出导函对这类问题，一般宜先根据导数运算法则求出导函数，再由导数值与导函数的关系计算导数值。数，再由导数值与导函数的关系计算导数值。 3

7、23sinlncos3fxxxxx , , 323sinlncos3fxxxxx 3cos23sinln3xxxx 321123cos0 .3xxx 32 1 11123cos13xxxffxxx 182cos11cos1 .33 如果函数如果函数 u( x ), ,v( x )都都在点在点 x 处可导处可导，则函数则函数 f( x )= u( x ) v( x )也在点也在点 x 处可导处可导，且导数为且导数为 f ( x )= u ( x ) v( x )+ u( x ) v ( x ). . 设设 f( x )= u( x ) v( x )，为求导数，先考察函数增，为求导数，先考察函数增

8、量量 f( x + x )- - f( x )与自变量增量与自变量增量 x 之比之比 ffxxxx u xxv xxu xv xx 1uvxxxuvxxxxx uvxxxuvxx uuvvxxxxxxvuxxxxx 由于由于 u( x ), ,v( x )在点在点 x 处可导处可导，因此当因此当 x 0 时时 由于由于可导必连续，故当可导必连续，故当 x 0 时有时有 v( x + x ) v ( x ). . 于是于是= u ( x ) v( x )+ u( x ) v ( x ). . ,uuxxxuxx vvxxxvxx . . 0limxffxxxx 0limxuuvvxxxxxxvu

9、xxxxx 定性结果：两可导函数的乘积也是可导的；定性结果：两可导函数的乘积也是可导的； 定量结果：函数乘积的求导法则。定量结果：函数乘积的求导法则。 需注意的是，这些求导规则都是在需注意的是，这些求导规则都是在 u = u( x )，v = v( x )都可导的条件下导出的，若此条件不满足，则都可导的条件下导出的，若此条件不满足，则结论未必成立。结论未必成立。例：例：设设 f( x )= x 3 sin x ，求求: : f ( x ). . 这是两函数乘积的导数计算问题，只需按乘积求这是两函数乘积的导数计算问题，只需按乘积求导法则计算即可。导法则计算即可。 f ( x )=( x 3 si

10、n x ) =( x 3)sin x + x 3( sin x ) = 3 x 2 sin x + x 3 cos x . .例：例：设设 f( x )= x( x - - 1 )( x - - 2 )( x - - 100 )，求求: : f ( 0 ). . f ( x )= x ( x - - 1 )( x - - 2 )( x - - 100 ) + x( x - - 1 )( x - - 2 )( x - - 100 ) + x( x - - 1 )( x - - 2 )( x - - 100 ) + + + x( x - - 1 )( x - - 2 )( x - - 100 )

11、=( x - - 1 )( x - - 2 )( x - - 100 ) + x( x - - 2 )( x - - 100 ) + x( x - - 1 )( x - - 3 )( x - - 100 )+ + x( x - - 1 )( x - - 2 )( x - - 99 ). . 于是求得：于是求得： f ( 0 )= f ( x )|x = 0 =( x - - 1 )( x - - 2 )( x - - 100 )|x = 0 =( - - 1 )( - - 2 )( - - 100 )= 100! . . 对于导数值的计算，有时按导数定义求更为方便：对于导数值的计算，有时按导数

12、定义求更为方便： 00lim00 xffxfx 0lim12100100!xxxx012100lim0 xx xxxx 如果函数如果函数 u( x ), ,v( x )都都在点在点 x 处可导处可导，且 v( x ) 0, ,则函数则函数 f( x )= u( x )/ / v( x )也在点也在点 x 处可导处可导，且导数为且导数为 2uvuvxxxxfxvx . . 设设 f( x )= u( x )/ / v( x )，为证明方便，先考虑较简，为证明方便，先考虑较简单的情形，即考虑函数单的情形，即考虑函数 g( x )= 1/ / v( x )的可导性及导数的可导性及导数形式。由导数定义

13、：形式。由导数定义： 11ggxxxv xxv xxx v xv xxv xx v xx 1.v xxv xxv xx v x 由于由于 v( x )在点在点 x 处可导处可导，因此当因此当 x 0 时时 由于由于可导必连续，故函数可导必连续，故函数 v( x )在点在点 x 处连续处连续，即当当 x 0 时有时有 v( x + x ) v ( x )，v( x + x ) v ( x )v 2( x ) 因此因此 的极限存的极限存在，即函数在，即函数 g( x )= 1/ / v( x )在点在点 x 处可导处可导，且有 vvxxxvxx . . 1v xxv xxv xx v x 0limxggxxxgxx 201lim.xv xxv xvxxv xx v xvx 由乘积求导规则知，此时由乘积求导规则知，此时 f( x )= u( x ) g( x )在点在点 x 处可导处可导，且有 f ( x )=u ( x ) g( x )+ u( x ) g ( x ) 21vxuuxxvvxx. . 2uvuvxxxxvx. .例：例：设设 y = csc x ，求：求：y . .