函数最值与导数学习教案

1、会计学1函数函数(hnsh)最值与导数最值与导数第一页，共25页。aby=f(x)xoyy=f(x)xoyabf (x)0f (x)0复习复习:一、函数单调性与导数一、函数单调性与导数(do sh)关系关系如果在某个区间内恒有如果在某个区间内恒有 ,则则 为常数为常数.0)( xf)(xf设函数设函数y=f(x) 在在 某个某个(mu )区间区间 内可导内可导，f(x)为为增函数增函数f(x)为减函数为减函数(hnsh)第1页/共24页第二页，共25页。二、函数二、函数(hnsh)的极值的极值定义定义设函数设函数(hnsh)f(x)在点在点x0附近有定义，附近有定义，如果对如果对X0附近附近(

2、fjn)的所有点，都有的所有点，都有f(x)f(x0), 则则f(x0) 是函数是函数f(x)的一个极小值，记作的一个极小值，记作y极小值极小值= f(x0)；oxyoxy0 x0 x函数的函数的极大值极大值与与极小值极小值统称统称为为极值极值. 使函数取得极值的点使函数取得极值的点x0称为称为极值点极值点第2页/共24页第三页，共25页。xoyax1b y=f(x)x2x3x4x5x6观察(gunch)下列图形,你能找出函数的极值吗？135( ), ( ), ( )f xf xf x观察图象，我们发现， 是函数y=f(x)的极小值， 是函数y=f(x)的 极大值。246( ), ( ), (

3、 )f xf xf x第3页/共24页第四页，共25页。左正右负极大值，左正右负极大值，左负右正极小值左负右正极小值第4页/共24页第五页，共25页。 在社会生活实践中，为了发挥最大的经济效益在社会生活实践中，为了发挥最大的经济效益，常常遇到如何能使用料最省、产量最高，效益最，常常遇到如何能使用料最省、产量最高，效益最大等问题，这些大等问题，这些(zhxi)问题的解决常常可转化为问题的解决常常可转化为求一个函数的最大值和最小值问题求一个函数的最大值和最小值问题 函数函数(hnsh)在什么条件下一定有最大、最小值？在什么条件下一定有最大、最小值？他们与函数他们与函数(hnsh)极值关系如何？极值

4、关系如何？新新 课课 引引 入入 极值是一个(y )局部概念，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小,并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小。第5页/共24页第六页，共25页。知识知识(zh shi)回顾回顾 一般地，设函数一般地，设函数y=f(x)的定义域为的定义域为I，如果存在实数，如果存在实数(shsh)M满足：满足： 1最大值最大值: : （1）对于任意）对于任意(rny)的的xI，都有，都有f(x)M; （2）存在）存在x0I，使得，使得f(x0) = M那么，称那么，称M是函数是函数y=f(x)的的最大值最大值 2最小值最小值: 一般地，设函数一般地，设函数

5、y=f(x)的定义域为的定义域为I，如果存在实数，如果存在实数M满足：满足： （1）对于任意的）对于任意的xI，都有，都有f(x)M; （2）存在）存在x0I，使得，使得f(x0) = M那么，称那么，称M是函数是函数y=f(x)的的最小值最小值 第6页/共24页第七页，共25页。观察下列(xili)图形,你能找出函数的最值吗？xoyax1b y=f(x)x2x3x4x5x6xoyax1b y=f(x)x2x3x4x5x6),(baxbax,在开区间内的在开区间内的连续函数不一连续函数不一定定(ydng)有有最大值与最小最大值与最小值值. 在闭区间在闭区间(q (q jin)jin)上的连上的

6、连续函数必有最续函数必有最大值与最小值大值与最小值因此：该函数没因此：该函数没有最值。有最值。f(x)max=f(a), f(x)min=f(x3)第7页/共24页第八页，共25页。xoyax1b y=f(x)x2x3x4x5x6如何如何(rh)求出函数在求出函数在a,b上的最值上的最值？一般的如果在区间，a,b上函数y=f(x)的图象是一条(y tio)连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值。第8页/共24页第九页，共25页。 观察右边观察右边(yu bian)一个定义在区间一个定义在区间a,b上上的函数的函数y=f(x)的图象：的图象：发现图中发现图中_是极小值，是极小值，_是极是极大值

7、，在区间上的函数的最大值是大值，在区间上的函数的最大值是_，最小值，最小值是是_。f(x1)、f(x3)f(x2)f(b)f(x3) 问题在于如果在没有给出函数图象问题在于如果在没有给出函数图象(t xin)的情况下，的情况下，怎样才能判断出怎样才能判断出f(x3)是最小值，而是最小值，而f(b)是最大值呢？是最大值呢？ x xX X2 2o oa aX X3 3b bx x1 1y yy=f(x)第9页/共24页第十页，共25页。 (2) 将将y=f(x)的各极值与的各极值与f(a)、f(b)(端点端点(dun din)处处) 比较比较,其中最大的一个为最大值，最小的其中最大的一个为最大值，

8、最小的 一个最小值一个最小值. 求求f(x)在闭区间在闭区间(q jin)a,b上的最值的步骤上的最值的步骤：(1) 求求f(x)在区间在区间(q jin)(a,b)内极值内极值(极大值或极小值极大值或极小值)； 新授课新授课注意注意:1.在定义域内在定义域内, 最值唯一最值唯一;极值不唯一极值不唯一2.最大值一定比最小值大最大值一定比最小值大.第10页/共24页第十一页，共25页。典型典型(dinxng)例题例题 231233,30,22(2)22( 2)10(3)15,( 3)3( )6 123310.fxxxfxxxfffff xxx 解：令解得：或又，所以函数在，上的最大值为22，最小

9、值为1、求出所有、求出所有(suyu)导数为导数为0的点；的点；2、计算、计算(j sun)；3、比较确定最值。、比较确定最值。例例1 1、3( )61233f xxx求函数在， 上的最大值与最小值.1 1、第11页/共24页第十二页，共25页。动手动手(dng shu)试试试试求下列求下列(xili)函数在给定区间上的最大值与最小值：函数在给定区间上的最大值与最小值：31( )274,4f xxxx 、312( )6 12,33f xxxx 、33( )32,3f xxxx、 axxxf2362. 42, 2x第12页/共24页第十三页，共25页。典型典型(dinxng)例题例题 322(

10、)262 2371a2( )2 2f xxxaf x例题 ：已知函数在， 上有最小值求实数 的值；求在， 上的最大值。反思：本题属于逆向探究题型：反思：本题属于逆向探究题型： 其基本方法最终落脚到比较极值与端点其基本方法最终落脚到比较极值与端点(dun din)函数函数值大小上，从而解决问题，往往伴随有分类讨论。值大小上，从而解决问题，往往伴随有分类讨论。 21()612()002(240,(0),(2)840373(2)(1)()2, 2fxxxfxxxfafafaaafx 解 ： （ ）令解 得或又）由 已 知 得解 得由知在的 最 大 值 为 3.第13页/共24页第十四页，共25页。拓

11、展拓展(tu zhn)提高提高1、我们知道，如果在闭区间【、我们知道，如果在闭区间【a，b】上函数】上函数y=f（x）的）的图像是一条图像是一条(y tio)连续不断的曲线，那么它必定有最大连续不断的曲线，那么它必定有最大值和最小值；那么把闭区间【值和最小值；那么把闭区间【a，b】换成开区间（】换成开区间（a,b）是否一定有最值呢？是否一定有最值呢？ 如下图：如下图：不一定不一定(ydng)2、函数、函数f(x)有一个极值点时，极值点必定是最值点。有一个极值点时，极值点必定是最值点。 3、 如果函数如果函数f(x)在开区间（在开区间（a,b）上只有一个极值点，那么）上只有一个极值点，那么这个极

12、值点必定是最值点。这个极值点必定是最值点。第14页/共24页第十五页，共25页。有两个极值点时，函数有无最值情况有两个极值点时，函数有无最值情况(qngkung)不定。不定。第15页/共24页第十六页，共25页。21x402fxx3讨论函数（ ）=4x在， 的最值情况。动手动手(dng shu)试试试试第16页/共24页第十七页，共25页。第17页/共24页第十八页，共25页。 4 4 、 函数函数(hnsh)y=x3-3x2(hnsh)y=x3-3x2，在，在2 2，4 4上的最大值为上的最大值为( )( )A.-4 B.0 C.16A.-4 B.0 C.16D.20D.20C C第18页/

13、共24页第十九页，共25页。1、求函数、求函数f(x)=x2-4x+6在区间在区间(q jin)1，5内内 的最大值和最小值的最大值和最小值 法一法一 、 将二次函数将二次函数f(x)=x2-4x+6配方，利用二次配方，利用二次函数单调函数单调(dndio)性处理性处理选做题：第19页/共24页第二十页，共25页。1. 求函数求函数f(x)=x2-4x+6在区间在区间(q jin)1，5内的极值与最值内的极值与最值 故函数故函数(hnsh)f(x) 在区间在区间1，5内的极内的极小值为小值为3，最大值为，最大值为11，最小值为，最小值为2 解法解法(ji f)二、二、 f (x)=2x-4令令

14、f (x)=0，即，即2x-4=0，得得x=2x1（1，2）2（2，5）5y，0y-+3112第20页/共24页第二十一页，共25页。2 2、1 1求求f(x)xsinxf(x)xsinx在在区区间间00，2 2 上上的的最最值值. .2 2最小值是0.最小值是0.是,是,函数f(x)的最大值函数f(x)的最大值xxfcos21)(0)( xf34,3221xx )(xf )(xf323423423234322332332解令解得x0(0, ) ( , )+-+00 ( , )0第21页/共24页第二十二页，共25页。 应用应用( 2009年天津(tin jn)（文）21T )处的切线的斜率；

15、设函数 其中 ,131223Rxxmxxxf. 0m（1）当 时，求曲线 在点 1m xfy 1, 1 f（2）求函数 的单调区间与极值。 xf答:（1）斜率(xil)为1; .1 ,1,1,1内是增函数减函数，在内是，在mmmmxf ;313223mmxf极小 313223mmxf极大(2)第22页/共24页第二十三页，共25页。一一 . . 是 利 用 函 数 性 质是 利 用 函 数 性 质(xngzh)(xngzh)二二. .是利用不等式是利用不等式三三. .是利用导数是利用导数 求函数最值的一般求函数最值的一般(ybn)方法方法小结小结(xioji)：第23页/共24页第二十四页，共25页